C¤NG TH¦C H×nh häc gi¶I tÝch TRONG KH«NG GIAN.
Trang 1C¤NG TH¦C H×nh häc gi¶I tÝch TRONG KH«NG GIAN
I TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ VECTƠ 1 Hệ trục toạ độ Oxyz gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau với ba
vectơ đơn vị r r ur
, ,
i j k (r r r )
= = =
i j k 1 2 a a a aur( 1; ;2 3) ⇔ =au r a i a j a k ; M(x;y;z)1r+ 2r+ 3ur ⇔uuurOM xi= r+yj zkr+ ur
.3 Tọa độ của vectơ: cho ru x y z v x y z( ; ; ), ( '; '; ')r
= ⇔ = '; = '; = '
u v x x y y z z
2 u vr r± =(x x y y z z± '; ± '; ± ')
3 r
ku kx ky kz 4 r r
u v xx yy zz
⊥ ⇔ '+ '+ '=
= 2 + 2 + 2
7 r r
,
u v cùng phương⇔[ , ]r ru v =r0 9 ( )r r = r r ur r.
.
u v
.4 TÝch cã híng cho a r = ( ; ; ),b ( ; ; ) a a a1 2 3 r = b b b1 2 3
a a a a a a
b b b b b b
Nếu (P) có cặp vtcpa r r ,b
(không cùng phương và có giá // (P) hoặc ⊂ (P) ) thì vectơ pháp tuyến của (P) được xác định n uur r rp = ∧ = a b a b r r ,
.5 Tọa độ của điểm: cho A(xA;yA;zA), B(xB;yB;zB)
1.uuu r
=( B − A; B − A; B − A)
AB x x y y z z 2 = ( − )2 +( − )2 +( − )2
3.G là trọng tâm ∆ABC:x G=xA +xB +xC
3 ;y G=
A B C
3 ; z G=
+ +
A B C
3
4 M chia AB theo tỉ số k: = − = − = −
Đặc biệt: M là trung điểm của AB: = A + B ; = A+ B; = A+ B .
M x x yM y y M z z
5 ABC là một tam giác⇔AB ACuuu r uuu∧ r≠r 0 khi đó S=1 uuuAB ACr uuu∧ r
2
6 ABCD là một tứ diện⇔AB AC uuu r uuu∧ r uuu r
AD≠0, V ABCD=1 (uuu r uur uuu∧AC), r
II PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG & MẶT
ng Mặt phẳng α được xác định bởi: {M(x0;y0;z0), r
n A B C } Cã pttq:
hay A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0 )=0⇔ Ax+By+Cz+D=0 D=-(Ax0+By0+Cz0 )
một số mặt phẳng thường gặp:
1 a/ Mặt phẳng (Oxy): z=0;
b/ mặt phẳng (Oxz): y=0;
c/ mặt phẳng (Oyz): x=0.
=
(ABC) [ , ]
3 α //β⇒uunr uuα =nrβ 4 α ⊥β⇒ uunr uuα =u vµ ngîc l¹i rβ
5 α //d ⇒uuur uuα =urd 6 α ⊥ d ⇒ uunr uuα =u rd
( ) 1;0;0
i
r
( ) 0;1;0
j
r
( ) 0;0;1
k
r
O
z
x
y
Trang 2+Đường thẳng ∆ được xỏc định bởi: {M(x0;y0;z0),uu r
∆
u =(a;b;c)}
1 .Phương trỡnh tham số:
= +
= +
0
0
0
x x at
y y bt
z z ct
;
2 .Phương trỡnh chớnh tắc:x x− 0 =y y− 0 = z z− 0
3 Đường thẳng qua giao tuyến hai mặt phẳng: + + + =
A x B y C z D 0
A x B y C z D 0 trong đú ur
1 1 1 1
n A B C ,uu r
2 2 2 2
n A B C là hai VTPT và VTCP uu r uuruu r
∆ =[ 1 2]
u n n
+Chỳ ý: a/ Đường thẳng Ox: =
=
z 0 ; Oy: =
=
z 0 ; Oz: =
=
y 0
b/ (AB): r uuu r
= AB
u AB ; c/ ∆1//∆2⇒uuu r∆1 =k u.uu r∆2; d/ ∆1⊥∆2⇒uuu r uu∆1.ur∆2 =0
úc Gúc giữa 2 đ thẳng
*cos(∆,∆’)=cosϕ=
ur uu r
r ur '
'
u u
u u ;
Gúc giữa hai mp
*cos(α,α’)=cosϕ=
ur uu r
r ur '
'
n n
n n ;
Gúc giữa đ t và mp
*sin(∆,α)=sinψ=
ur r
r r.
.
n u
n u . III KHOẢNG CÁCH
Cho M (xM;yM;zM), (α):Ax+By+Cz+D=0,∆:{M0(x0;y0;z0), r
∆
u },∆’ {M’0(x0';y0';z0'), ur
∆
'
u }
* Kh/ c từ M đến mp(α):
d(M,α)= + + +
2 2 2
* K/ c từ M đến đ t ∆:
d(M,∆)=
uuuur r r
[MM u1, ]
u
* K/C giữa hai đường thẳng:
d(∆,∆’)=
r ur uuuuuur
ur ur
[ , '] ' [ , ']
u u
IV PHơng trình dờng vuông góc chung
1 2
2 2 2 2 2 2 2
H(x a h;y b h;z c h) d
KH là đ ờng vuông góc chung của d và d K(x a k;y b k;z c k) d
d1 d2
KH.u 0 KH.u 0
⇔
=
uuur r uuur r
• u ur r= d1 ∧u là VTCP của đ ờng vuông goc chung của 2 đt chéo nhau d và drd2 ∆ 1 2
• ∆đi qua A=(P) d trong đó (P) là mp đi qua M(x ;y ;z ) và có căp vtcp là u và uI 2 1 1 1 r rd1
d 2
2 2 2
(P) là mp đi qua M(x ;y ;z ) và có căp vtcp là u và u
=(P) (Q) trong đó
(Q)là mp đi qua M(x ;y ;z ) và có căp vtcp là u và u
r r
V PHƯƠNG TRèNH MẶT CẦU
Mặt cầu (S){tõm I(a;b;c),bỏn kớnh R}
Dạng 1: (x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2 (S)
Dạng 2: x2+y2+z2-2ax-2by-2cz+d=0 (a2 + + − >b2 c2 d 0)khi đú R= a2 + + −b2 c2 d
1 d(I, α)>R: α∩(S)=∅
2 d(I, α)=R: α∩(S)=M (M gọi là tiếp điểm)
*Điều kiện để mặt phẳng α tiếp xỳc mặt cầu (S): d(I, α)=R ( tại M khi đú uu r
α
n =uur
IM )
3 Nếu d(I, α)<R thỡ α sẽ cắt mc(S) theo đường trũn (C) cú phương trỡnh là giao của α
và (S) Để tỡm tõm H và bỏn kớnh r của (C) ta làm như sau:
a Tỡm r = R d I2- ( , )2 α
b Tỡm H: +Viết phương trỡnh đường thẳng ∆ qua I, vuụng gúc với α
Trang 3C¤NG TH¦C H×nh häc gi¶I tÝch TRONG KH«NG GIAN
+H=∆∩α (toạ độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình ∆ với α)