Chương 1 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG HỆ TỌA ĐỘ. TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ VÀ CỦA ĐIỂM doc

Chương 1 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG  HỆ TỌA ĐỘ... 2 Chùm đường thẳng : Hai hoặc nhiều đường thẳng cùng đi qua một điểm I, tạo nên chùm đường thẳng có tâm I... Bình phương 2 vế

Chương 1 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG

MẶT PHẲNG

 HỆ TỌA ĐỘ TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ VÀ

CỦA ĐIỂM:

1.Hệ tọa độ: Hai trục tọa độ x’Ox và y’Oy vuơng

gĩc nhau tạo nên hệ trục tọa độ Đêcac Oxy: O là

gốc tọa độ; x’Ox là trục hồnh và y’Oy là trục

tung.Trong đĩ: i = (1; 0) và j = (0;1) là các vectơ

đơn vị trên các trục.Ta cĩ:i =j =1

vài j =0

2.Tọa độ của vectơ :u= (x ; y)  u= x.i + y.j

3.Tọa độ của điểm :OM = (x ; y)  M(x ; y)

x: hồnh độ và y: tung độ của điểm M

4.Các kết quả: Trong hệ tọa độ Oxy cho A(xA;

yA), B(xB; yB) và các vectơ a=(a1; a2) và b= (b1 ;

b2) Ta cĩ:

a) a b= ( a1  b1; a2  b2)

b) k a= (ka1 ; ka2) (k là số thực)

c) Tích vơ hướng: a.b= a1 b1 + a2 b2

Hệ qua:

1.| a  | = a  2 a 2

2

2 2 2 1 2 2 2 1

2 2 1 1

b b a a

b a b a ) b , a cos(













3.a b a1 b1 + a2 b2 = 0

d) a=b









 2 2 1 1 b a

b a

e) a,bcùng phương 



































0 b a b b b a a

a

b a

b a k b : R k

1 2 2 1 2 1 2 1

2 2 1 1

f) Tọa độ của vectơ:AB=(xB-xA;yB-yA)

A B 2 A

B - x ) (y - y ) (x

| AB |



h) Điểm M chia AB theo tỉ số k ( k1)  MA =

k.MB Khi đĩ tọa độ của M tính bởi:

k 1 kx x

M







và

k 1

ky y

M







M là trung điểm AB ta cĩ:

2

x x

M



 và

2

y y

M





5.Kiến thức về tam giác: Cho A(xA;yA),B(xB; yB) và

C(xC; yC)

(giao các đường trung tuyến):

G là trọng tâm  ABC:

3 x x x

G





3 y y y

G







(giao các đường cao):





















CA BH

BC AH tâm trực là H













0 CA BH

0 BC AH

tam giác ( giao của các trung trực):

I(a;b) là tâm của (ABC)  AI = BI = CI = R (bán kính của (ABC)).Giải hệ AI2=BI2 và BI2=CI2  Tọa độ của I

d) Tâm của đường tròn nội

tiếp tam giác (giao các phân giác trong của các

góc của tam giác):

Tâm K của đường tròn nội tiếp  ABC tìm được

khi thực hiện hai lần công thức điểm chia đoạn

theo tỉ số k:

Vì

1

k AC AB DC

DB











nên D

chia BC theo tỉ số k1

Tọa độ của D

BD BA KD

KA











nên K chia

AD theo tỉ số k2  Tọa độ của K

2

1

= bhb 2

1

= chc 2 1

 S= ab sin C

2

1

= ac sin B 2

1

= bc sin A 2 1

R

4

abc

= pr = p ( p  a )( p  b )( p  c )



2 2

) AC AB ( AC AB 2

2

,

trong đó: det(AB ,AC ) =

2 1

2 1 b b

a a

=a1b2a2b1

với AB =(a1; a2) và 

AC= (b1 ; b2)

1) Định nghĩa: Cho các vectơ u và nkhác vectơ 0

 u là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng  khi u nằm trên 1 đường thẳng song song hoặc trùng với  Mọi vectơ chỉ phương của

 đều có dạng k.u ( k  0)

 n là 1 vectơ pháp tuyến của đường thẳng  khi n nằm trên 1 đường thẳng vuông góc với  Mọi vectơ pháp tuyến của  đều có dạng k.n ( k  0)

toàn xác định khi biết M0 và 1 vectơ chỉ phươngu hoặc 1 vectơ pháp tuyến n của 

Trang 1

2) Phương trình tổng quát của đường thẳng:

a) Định ly: Phương trình tổng quát của đường

thẳng  có dạng:

Ax+By+C = 0 với A2+B2  0

Chú ý:  có vectơ pháp tuyến n= (A;B) và có vectơ chỉ phương



u= (B; -A) hoặc u= (- B; A)

b) Hệ qua: Phương trình đường thẳng  đi qua

M0(x0 ; y0) và có vectơ pháp tuyến n= (A;B) là:

A(x-x0) + B(y-y0) = 0 với A2+B2  0

3) Phương trình tham số - chính tắc của đường thẳng:

a) Phương trình tham số của đường thẳng:

Phương trình tham số của đường thẳng  đi qua M0(x0 ; y0) và có vectơ chỉ phương u=(a; b) là:















 bt y y

at x x 0

0

với a2+b2  0, tR

b) Phương trình chính tắc của đường thẳng:

Phương trình chính tắc của đường thẳng  đi qua

M0(x0 ; y0) và có vectơ chỉ phương u=(a; b) là:

b y y a x





(a2+b2  0)

 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA 2 ĐƯỜNG THẲNG

CHÙM ĐƯỜNG THẲNG:

1) Vị trí tương đối của hai đường thẳng: Cho 2

đường thẳng 1:A1x+B1y+C1 = 0 (1) và

2:A2x+B2y+C2=0 (2) ( 2

1 2

A  0 và 2

2 2

A   0)

Giải hệ gồm (1) và (2) ta có kết quả sau:

A1B2A2B101và 2 cắt nhau

 Hệ vô nghiệm A1B2A2B1=0 và B1C2B2C10 1 // 2

 Hệ có vô số nghiệm

A1B2A2B1=B1C2 B2C1=C1A2C2A1= 0 1

2

2) Chùm đường thẳng : Hai hoặc nhiều đường

thẳng cùng đi qua một điểm I, tạo nên chùm đường thẳng có tâm I Nếu 1:A1x+B1y+C1=0 và

2:A2x+B2y+C2=0 cắt nhau tại I (A1B2 A2B1) thì phương trình của chùm đường thẳng tâm I là:

m(A1x+B1y+C1 )+ n(A2x+B2y+C2) = 0 (với

m2+n2  0)

 GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG  KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT

ĐƯỜNG THẲNG:

1.Góc giữa hai đường thẳng:

Cho 2 đường thẳng 1:A1x+B1y+C1=0 và

2:A2x+B2y+C2 =0 Nếu gọi  (00    900) là góc giữa 1 và 2 thì:

2 2 2 2

2 1 2 1

B A B A

B B A A cos











Hệ quả: 1  2  A1A2 + B1B2 = 0

2 Khoảng cách từ một điểm đến một đường

thẳng:

a) Công thức: Khoảng cách từ M(x0;y0) đến

:Ax+By+C=0 là:

2 2 0 0

B A

C By Ax ) , M ( d









b) Hệ quả: Nếu 1 : A1x+B1y+C1=0 và 2 :

A2x+B2y+C2 = 0 cắt nhau tại I (A1B2 A2B1) thì

phương trình các phân giác tạo bởi (1) và (2) là:

2 2 2 2 2 2

2

1

1

1

B A

C y B x A B

A

C

y

B

x

A















 ĐƯỜNG TRÒN:

1.Phương trình của đường tròn:

a) Phương trình đường tròn (C) tâm I(a;b) bán

kính R có dạng:

(xa)2+(yb)2=R2 b) Phương trình đường tròn tâm O bán kính R :

x2+y2 = R2

c) Phương trình x+y+2Ax+2By+C = 0 với

A2+B2C>0 là phương trình của một đường tròn (C) có tâm I(A;B) và bán kính R= A 2 B 2 C



2.Phương tích của một điểm đối với một đường tròn:

Cho (C) : F(x,y) = x2+y2+2Ax+2By+C = 0

Phương tích của một điểm M(x0 ; y0) đối với (C) là:

P M/(C)= F(x0,y0) =x y 2 2Ax0 2By0 C

0 2

3.Trục đẳng phương của hai đường tròn khác tâm:

a) Tập hợp các điểm có cùng phương tích đối với 2 đường tròn khác tâm (C1) và (C2) là một đường thẳng d vuông góc với đường thẳng nối 2 tâm I1 và I2 của (C1) và (C2) và gọi là trục đẳng phương của (C1) và (C2)

(C1):F1(x,y)=x2+y2+2A1x+2B1y+C1=0 và (C2):F2(x,y)=x2+y2+2A2x+2B2y+C2=0 khác tâm,

phương trình của trục đẳng phương của (C1) và(C2) là:

F1(x,y)= F2(x,y) 2(A1 A2)x+2(B1 B2)y+C1

C2 = 0

4 Tiếp tuyến của 1 đường tròn :

Cho (C):F(x;y)=(xa)2+(yb)2R2=0 và điểm M(x0;y0), để viết phương trình tiếp tuyến của (C)

đi qua M ta tìm phương tích của M đối với (C):

 Nếu P M/(C) < 0 thì M nằm trong (C), qua M không kẻ được tiếp tuyến nào với (C)

 Nếu P M/(C) = 0 thì M thuộc (C), qua M kẻ được một tiếp tuyến với (C) và tiếp tuyến này đi qua M



IM= (x0-a; y0-b)

 Nếu P M/(C) > 0 thì M nằm ngoài (C), qua M ta

kẻ được 2 tiếp tuyến với (C), phương trình các tiếp tuyến này thực hiện như sau:

 Gọi  là đường thẳng qua M và có vectơ pháp tuyến n=(A;B): A(x-x0)+B(y-y0) = 0 (1) với A2+B2 0

  tiếp xúc (C) d(I,)=

2 2

B A

C Bb Aa







=R

với C=-(Ax0+By0) Bình phương 2 vế, chọn hai

cặp A, B thỏa phương trình này và thay vào (1)

để có hai phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua

M

 ElÍP:

1)Định nghĩa : Tập hợp các điểm M của mặt

phẳng sao cho MF 1 +MF 2 =2a (2a không đổi và a>

c> 0) là một đường elíp

 F1,F2: cố định là hai tiêu điểm và F1F2=2c là

tiêu cự của elíp

 MF1, MF2: là các bán kính qua tiêu

2) Phương trình chính tắc của elíp: 1

b

y a

x 2 2

2 2



 với

b2 = a2 - c2

3) Tính chất và hình dạng của elíp::

 Trục đối xứng Ox (chứa trục lớn); Oy (chứa trục bé).Tâm đối xứng O

1 b

y a

x

2

2   (a> b > 0)

 Đỉnh: A1(a;0), A2(a;0), B1(0;b) và B2(0; b) Độ dài trục lớn là 2a và độ dài trục

bé là 2b

 Tiêu điểm: F1(c; 0), F2(

c; 0)

 Nội tiếp trong hình chữ nhật cơ sở PQRS có kích thước 2a và 2b với

b2 = a2 - c2

 Tâm sai:

a b a a

c e

2

2 



 Hai đường chuẩn: x=

c

a e







 M(x;y)(E): MF1 = a+ ex và MF2 = aex

4) Tiếp tuyến của elíp (E): 1

b

y a

x 2 2

2

2



 Tại M0(x0;y0)(E) có phương trình: 1

b

y y a

x x 2 0 2

 Đi qua M(x1; y1) là :A(xx1)+B(yy1)=0 với điều kiện:

 tiếp xúc (E)Aa+B b =C A+B

0,C=(Ax1+By1)0

 HYPEBOL:

1.Định nghĩa : Tập hợp các điểm M của mặt phẳng sao cho MF 1 MF 2 =2a (2a không đổi và

c > a> 0) là một Hypebol

 F1, F2 : cố định là 2 tiêu điểm và F1F2=2c là tiêu

cự

 MF1, MF2: là các bán kính qua tiêu

2.Phương trình chính tắc của hypebol: 1

b

y a

x 2 2

2 2





b2 = c2 - a2

Trang 2

Tài liệu dành cho học sinh 12 – HK1

3) Tính chất và hình dạng của hypebol (H):

1 b

y

a

x

2

2

2

2





 Trục đối xứng Ox (trục thực) Oy (trục ảo) Tâm đối xứng O

 Đỉnh:A1(a;0),A2(a;0)

Độ dài trục thực:2a và độ dài trục ảo:2b

 Tiêu điểm F1(c; 0), F2(

c; 0)

 Hai tiệm cận: y= 

a

bx

 Hình chữ nhật cơ sở PQRS có kích thước 2a, 2b

với b2= c2  a2

 Tâm sai:

a b a a

c e

2

2 



 Hai đường chuẩn: x=

c

a e







 Độ dài các bán kính qua tiêu của M(x;y)(H):

* MF1= ex + a và MF2= exa khi x > 0

* MF1= exa và MF2=ex+ a khi x < 0

4) Tiếp tuyến của hypebol (H): 1

b

y a

x 2

2  

 Tại M0(x0; y0) (H) có phương trình: 1

b y y a x x 2 0 2

 Đi qua M(x1; y1) là : A(xx1)+B(yy1) = 0 với điều kiện:

 tiếp xúc (H)  A2a2  B2b2 = C2

A2+B20,C=(Ax1+By1)0

 PARABOL:

Parabol là tập hợp các điểm M của mặt phẳng

cách đều 1 đường thẳng  cố định và 1 điểm F cố định không thuộc 

: đường chuẩn; F: tiêu điểm và d(F, ) = p > 0 là tham số tiêu

2) Phương trình chính tắc của Parabol: y 2 2px



3) Hình dạng của Parabol (P) :

 Trục Ox, đỉnh O.Tiêu điểm

F(

2

p

; 0)

2px y   Đường chuẩn : x = 

2

p

 M(x;y)(P): MF = x+

2

p

với

x  0

4) Tiếp tuyến của parabol (P): y 2 =2px:

 Tại M0(x0; y0) (P):y2=2px có phương trình: y0y = p(x0+x)

 Đi qua M(x1; y1) là : A(xx1)+B(yy1) = 0 với điều kiện:

 tiếp xúc (P)  pB2 = 2AC A2+B2 0 và C=(Ax1+By1)0

Biên soạn : Phạm Văn Luật Giáo viên THPT Đốc Binh Kiều Cai Lậy 

Tiền Giang