Tài liệu Hình học không gian về giải toán vectơ docx

Trong không gian cho một quy tắc f.Với mỗi điểm M bất kỳ theo quy tắc f ta xác định được duy nhất điểm M’.Khi đó ta nói M’ là ảnh của M qua phép biến đổi f và được ký hiệu f : M → M’đọc

Bài giảng của thầy Thạc sỹ: Đỗ Thanh Sơn, chuyên viên Hình học

Chương I Véc tơ trong không gian

- 1.Ðịnh nghĩa véc tơ

Véc tơ là một đoạn thẳng có quy định một chiều.Chiều của véc tơ là thứ tự hai đầu mút của đoạn thẳng.Ðầu mút thứ nhất được gọi là điểm đầu hoặc điểm gốc, đầu mút thứ hai được gọi là điểm cuối hoặc điểm ngọn.Ðộ dài của đoạn thẳng là độ dài véc tơ.Ðường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của véc tơ được gọi là phương của véc

tơ

Véc tơ được ký hiệu bằng một trong hai cách sau: Dùng hai chữ in la tinh viết liền nhau

→

và phía trên hai chữ đó ta đặt một mũi tên,chẳng hạn AB (đọc là véc tơAB), chữ A chỉ →

gốc, chữ B chỉ ngọn của véc tơ.Ðộ dài véc tơ đó được ký hiệu AB hoặcAB.Một cách

→

khác là dùng một chữ thường và phía trên đặt một mũi tên, chẳng hạn U (đọc là véc tơ →

U ).Ðộ dài của véc tơ đó được ký hiệu là U hoặc U

Véc tơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau được gọi là véc tơ không.Véc tơ không →

có độ dài bằng 0, phương và chiều không xác định.Véc tơ không được ký hiệu AA hoặc

→

0

2.Quan hệ của các véc tơ trong không gian

Hai véc tơ đồng phương hoặc không đồng phương

→ → →

Hai véc tơ U, V (khác 0)được gọi là đồng phương,nếu chúng nằm trên cùng một

đường thẳng hoặc nằm trên hai đường thẳng song song.Ta ký hiệu U // V

→ → →

Hai véc tơ U, V (khác 0)được gọi là không đồng phương,nếu chúng nằm trên hai → →

đường thẳng cắt nhau hoặc chéo nhau.Ta ký hiệu U // V

→ Hiển nhiên nếu hai véc tơ (khac 0) cùng đồng phương với một véc tơ thứ ba (khác

→ →

0 ), thì hai véc tơ đó đồng phương.Ta quy ước một véc tơ 0 luôn cùng phương với một véc tơ khác không

Hai véc tơ cùng chiều hoặc ngược chiều

→ → → → → Cho hai véc tơ khác 0 và đồng phương U , V.Khi đó tồn tại một mặt phẳng P chứa U,

V

→ →

Nếu trong P cả hai véc tơ đó cùng chiều, thì ta nói U và V cùng chiều trong không gian

→ →

Nếu trong P cả hai véc tơ đó ngược chiều, thì ta nói U và V ngược chiều trong không gian

→ →

Hiển nhiên hai véc tơ khác 0 cùng chiều với một véc tơ thứ ba (khác 0), thì hai véc

tơ đó cùng chiều.Nếu một trong hai véc tơ cùng chiều với véc tơ thứ ba, véc tơ còn lại ngược chiều với véc tơ thứ ba, thì hai véc tơ ngược chiều

→ → → →

Ta ký hiệu hai véc tơ U , V cùng chiều là U ↑↑ V.Nếu hai véc tơ đó ngược chiều, thì

→ →

được ký hiệu là U ↑↓ V Ta quy định một véc tơ không luôn cùng chiều với một véc tơ khác không

Hai véc tơ bằng nhau hoặc hai véc tơ đối nhau

→ → → →

Hai véc tơ U, V được gọi là bằng nhau và được ký hiệu U = V, nếu chúng cùng chiều và cùng độ dài

→ → → →

Hai véc tơ U, V được gọi là đối nhau và được ký hiệu U = - V, nếu chúng ngược chiều và cùng độ dài

Ba véc tơ đồng phẳng hoặc không đồng phẳng

→ → →

Cho các véc tơ khác không : U , V , W Nếu chúng cùng nằm trong một mặt phẳng

→ → →

hoặc nằm trong các mặt phẳng song song, thì ta nói U , V, W đồng phẳng Nếu ba véc

tơ không có các tính chất đó, thì ta nói ba véc tơ không đồng phẳng

→ → →

Từ định nghĩa ta suy ra rằng, nếu U, V, W đồng phẳng, thì luôn tồn tại một mặt → → →

phẳngP mà trong đó ta dựng được các véc tơ U’, V’, W’ bằng các véc tơ đã cho Nếu → → → các véc tơ đó không đồng phẳng và nếu P chứa các véc tơ U’, V’ thì P không chứa W’ →

hoặc song song với W’

3.Các phép toán véc tơ

Phép cộng véc tơ

Ðịnh nghĩa

→ → → → →

Cho hai véc tơ U, V.Tổng của U và V là véc tơ a được xác định theo quy tắc sau(quy tắc tam giác).Từ một điểm A bất kỳ trong không gian ta đặt liên tiếp các véc tơ → → → → → → → →

AB = U và BC =V Véc tơ AC là tổng của hai véc tơ đã cho và ta ký hiệu a = U + V

Tính chất

→ → → → → → → → → → → → → → → →

i) U + 0 = U ; ii) U + (-U) = 0; iii) U + V = V + U ; iv) ( U + V)+W = U+( V + W) Trường hợp tổng của nhiều véc tơ

→ → → →

Cho n véc tơ U1,U2, ,Un.Tổng của n véc tơ đó là một véc tơ U’ được xác định theo quy tắc sau ( quy tắc đường gấp khúc):

→ → → →

Từ một điểm A0 bất kỳ ta dựng liên tiếp các véc tơ A0A1, A1A2, A2A3,…, A

n-1An.Véc

→ → → → → →

tơ A0An là tổng của n véc tơ đã cho và được ký hiệu U’ = U1+U2 + U3 +…+ Un

Phép trừ hai véc tơ

Ðịnh nghĩa

→ → → → → → → → → Hiệu của U và V là một véc tơ W và được ký hiệu U – V = W, nêu W+ V = U → → → Theo định nghĩa ta xác địnhWnhư sau: từ một điểm A bất kỳta dựng các véc tơAB =U, → → → →

AC = V Khi đó W = CB

Nhân một véc tơ với một số thực

Ðịnh nghĩa

→ → → → Cho U ≠ 0 và số thực k ≠ 0.Tích của U với k là một véc tơ V có độ dài bằng → → →

|k|.| U | và cùng chiều với U,khi k >0;ngược chiều với U,khi k <0.Ta ký hiệu phép toán → →

đó V=k.U

→ → → → → →

Nếu U = 0, thì k.U = 0 ; Nếu k = 0, thì 0.U = 0

Tính chất

→ → → → → → → → → → →

i) 1.U = U ; ii) m.(n.U) = (m.n).U ; iii) m(U + V) = m U+ m.V ; (m+n) U = mU+ nU (m , n là các số thực)

Hệ quả

→ → → → →

i) U+ U+ U +…+ U = n U

→ → → →

ii) Nếu U // V , thì tồn tại một số thực k sao cho V = k.U và k là duy nhất thoã mãn điều kiện đó

4.Ðiều kiện đồng phẳng của 3 véc tơ

→ → → → →

Cho U , V , W khác không và U // V.Ðể ba véc tơ đó đồng phẳng cần và đủ là tồn

→ → →

tại hai số thực m , n sao cho W = m U + n V.Cặp số m , n là duy nhất thoã mãn điều kiện đó

Hệ quả

→ → → → → → →

i) Nếu U, V , W không đồng phẳng và m.U + n.V + k.W = 0 , thi m = n = k = 0 →

ii) Với mọi véc tơ a tồn tại duy nhất một bộ 3 số thực x,y,z sao cho

→ → → →

a = xU + yV + zW

→ → → → → Các véc tơ U, V , W được gọi là cơ sở của a Bộ sô (x,y,z) được gọi là toạ độ của a → →

Véc tơ a có biễu diên như vậy được gọi là phân tích a theo một cơ sở

5.Góc tạo bởi hai véc tơ trong không gian

Ðịnh nghĩa

→ → →

Cho hai véc tơ U , V khác 0 Gọi O là một điểm bất kỳ trong không gian và từ

đó

→ → → → ∧ → →

ta dựng OA = U, OB = V, khi đó góc AOB là góc tạo bởi U và V.Ta thấy rằng nếu O’

là

→ → → → → → → một điểm khác O và từ O’ ta dựng O’A’ = U, O’B’ = V, thì ta có OA = O’A’ , OB = → → → ∧ ∧

O’B’ và AB = A’B’.Từ đó ta suy ra AOB =A’O’B’.Chứng tỏ góc tạo bởi hai véc tơ

không phụ thuộc cách chọn điểm O.Ta ký hiệu ( U , V ) là góc tạo bởi hai véc tơ U ,

V

Góc tạo bởi một véc tơ không và một véc tơ khác không không xác định

Tính chất

→ → → → → → → →

i) Nếu U’ ↑↑ U và V’ ↑↑ V, thì ( U’ , V’ ) = ( U , V )

→ → → → → →

ii) Nếu ( U , V ) = α , thì ( - U , V ) = ( U , - V ) = 1800 - α

→ → → → → → → →

iii) Nếu U ↑↑ V , thì ( U , V ) = 0 Nếu U ↑↓ V , thì ( U , V ) = 1800

Ðộ dài hình chiếu của một véc tơ trên một trục toạ độ

→

Cho AB và trục toạ độ Ox.Gọi A’, B’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B trên Ox Ta gọi A’B’ là hình chiếu của AB trên Ox Ta có hệ thức sau A’B’= AB.cosα, trong đó α là góc tạo bởi AB và véc tơ đơn vị trên Ox, A’B’ là độ dài đại số của A’B’ trên Ox

6.Tích vô hướng của hai véc tơ trong không gian

Ðịnh nghĩa

→ → →

Cho hai véc tơ U và V khác 0.Tích vô hướng của hai véc tơ đó là một số thực bằng tích độ dài hai véc tơ nhân với cosα ; α là góc tạo bởi hai véc tơ đó

→

Nếu một trong hai véc tơ bằng 0, thì tích vô hướng của chúng bằng 0.Ta ký hiệu Tính chất

→ → → →

• U V = V U

→ → → → → → →

• U.( V + W ) = U V + U W

→ → → →

• (k.U) V = k.( U V ), k là số thực

→ → → →

• U U = ( U )2 = | U |2

→ → → → → →

• | U V | ≤ | U | | V | Dấu bằng trong bất đẳng thức xảy ra khi U // V

Hệ quả: Các hằng đẳng thức về tích vô hướng trong mặt phẳng vẫn còn hiệu lực trong

không gian

→ → → → → → → → → → → →

U V = 0 ⇔ (U , V ) = 900 ; U V > 0⇔ (U , V ) < 900 ; U V < 0⇔ (U , V ) > 900 → →

tích vô hướng của hai véc tơ là U V

Chương II Các phép biến hình trong không gian

-

A Ðại cương về biến hình trong không gian

1.Ðịnh nghiã Trong không gian cho một quy tắc f.Với mỗi điểm M bất kỳ theo

quy tắc f ta xác định được duy nhất điểm M’.Khi đó ta nói M’ là ảnh của M qua phép biến đổi f và được ký hiệu f : M → M’(đọc là f biến M thành M’).Ðiểm M được gọi là tạo ảnh của M’, f là một phép biến đổi hình học

Từ định nghĩa ta suy ra rằng nếu M1’, M2’ tương ứng là ảnh của của M1,M2 trong phép biến đổi f và M1’ khác M2’, thì M1 và M2 là hai điểm phân biệt

Nếu f được xác định cho mọi điểm trong không gian, thì ta nói f là phép biến đổi trong không gian

2 Phép biến đổi 1-1

Ta biết rằng mỗi ảnh của một điểm M qua phép biến đổi f có thể có nhiều tạo ảnh

khác M.Nếu mỗi ảnh của M chỉ có duy nhất một tạo ảnh ứng với nó, thì ta nói f là phép biến đổi 1-1

3.Phép biến đổi đồng nhất

Ta nói f là phép biến đổi đồng nhất , nếu f biến mọi điểm M trong không gian thành

chính M

4 Phép biến đổi ngược

Gỉa sử f : M → M’ với mọi điểm M trong không gian Nếu tồn tại một phép biến

đổi g biến M’ thành M, thì ta nói g là phép biến đổi ngược của f và f là phép biến đổi

có ngược

5.Tích của hai ( hoặc nhiều ) phép biến đổi

Cho hai phép biến đổi f và g Với mỗi điểm M bất kỳ f : M→ M’ và g :M’→ M’’ Phép biến đổi biến M thành M’’ được gọi là tích của hai phép biến đổi f và g và ta ký hiệu tích của hai phép biến đổi đó là g•f : M → M’’ hoặc g(f) : M→ M’’

Tóm lại tích của hai phép biến đổi là một phép biến đổi nhận được từ việc thực hiện liên tiếp theo một thứ tự xác định các phép biến đổi đã cho

Cho n phép biến đổi (n > 2) f1,f2, ,fn.Tích của n phép biến đổi đã cho là một phép biến đổi F bằng cách thực hiện liên tiếp theo một thứ tự nhất định n phép biến đổi đó

và ta viết F =fn•fn-1• f2•f1

6.Hai phép biến đổi trùng nhau

Cho hai phép biến đổi f và g.Ta nói f và g trùng nhau (hoặc bằng nhau) và được ký

hiệu f = g, nếu ảnh của mọi điểm M trong không gian của hai phép biến đổi đó trùng nhau Nghĩa là với mọi điểm M , f : M → M’ và g : M → M’

Cho một tập hợp điểm X.Ta nói f và g trùng nhau cục bộ trên X , nếu f và g trùng nhau trên tập hợp X

7.Ðiểm bất động, đường thẳng bất động, mặt phẳng bất động của một phép biến đổi

Ta nói điểm O là điểm bất động của một phép biến đổi f , nếu f biến O thành O

Ta nói đường thẳng d là bất động của một phép biến đổi f, nếu mọi điểm thuộc d là điểm bất động của f

Ta nói mặt phẳng P là bất động của một phép biến đổi f, nếu mọi điểm thuộc P là bất động của f

Ta nói đường thẳng d( mặt phẳng P) là bất biến của một phép biến đổi f, nếu f biến đường thẳng d (hoặc mặt phẳng P) thành chính nó

Rõ ràng nếu đường thẳng d (hoặc mặt phẳng P) là bất động của phép biến đổi f, thì

d (hoặc mặt phẳng P) là bất biến đối với f

8.Ảnh của một hình qua một phép biến đổi

Cũng như hình học phẳng, trong hình học không gian ta xem mỗi hình không gian

là một tập hợp điểm Cho một hình không gian F.Tập hợp ảnh của mọi điểm thuộc F qua một phép biến đổi f lập thành một hình F’ được gọi là ảnh của F qua phép biến đổi

đó

Ta ký hiệu f : F → F’ hoặc F’ = M’/ f : M→ M’ với mọi M∈F

9.Hai hình trùng nhau

Ta nói hai hình không gian F1 và F2 trùng nhau, nếu mọi điểm của hình này thuộc hình kia và ngược lại Hai hình trùng nhau được ký hiệu là F1≡ F2

Nếu mọi điểm của F1 thuộc F2, thì ta nói F1 là hình con của F2

B Một số phép biến đổi hình học cơ bản trong không gian

-

1 Phép đối xứng qua tâm

Ðịnh nghĩa Cho trước một điểm O.Với mỗi điểm M khác O ta xác định điểm M’

→ →

sao cho OM’ =- OM Nếu M trùng với với O, thì M’ trùng với O.Khi đó ta nói M’ là ảnh của M trong phép đối xứng qua tâm O ( hoặc đối xứng tâm O) và được ký hiệu ZO

: M → M’ Ðiểm O được gọi là tâm đối xứng

Cho một hình F.Tập hợp ảnh của mọi điểm thuộc F trong phép biến đổi ZO lập thành một hình F’ được gọi là ảnh của F hoặc hình đối xứng với F qua O.Nếu F và F’ trùng nhau, thì ta nói F là hình có tâm đối xứng.Ta ký hiệu ZO : F → F’

Tính chất

1 ZO có một điểm bất động duy nhất là điểm O

2 ZO là phép biến đổi 1-1 và có ngược.Phép biến đổi ngược chính là ZO

→ →

3 Nếu A’,B’ là ảnh của A,B trong phép biến đổi ZO , thì A’B’ = - AB

4 Nếu A,B,C,D là 4 điểm cùng nằm trong một mặt phẳng và A’,B’,C’,D’ là các ảnh tương ứng của các điểm đó trong phép biến đổi ZO, thì 4 điểm A’,B’,C’,D’ cũng nằm trong một mặt phẳng

Chứng minh

Gọi P là mặt phẳng chứa 4 điểm A,B,C,D.Ta xét trường hợp tồn tại 3 trong 4 điểm không thẳng hàng chẳng hạn A,B,C Khi đó A’,B’,C’ không thẳng hàng và tồn tại các → → → → → → → → →

số thực x, y sao cho AD =xAB +yAC.Vì A’D’ = -AD , A’B’=- AB , A’C’= - AC, nên → → →

A’D’= xA’B’+ yA’C’.Hệ thức đó chứng tỏ D’ thuộc mặt phẳng đi qua 3 điểm A’,B’,C’

Hệ quả Phép biến đổi ZO biến

i) Mặt phẳng P thành mặt phẳng P’ và P’//P hoặc P’ trùng với P.Nếu O

thuộc P , thì Zo là phép đối xứng qua tâm O xác định trong P

ii) Nửa mặt phẳng P thành nửa mặt phẳng P’ và P’//P hoặc P’ và P lập thành

một mặt phẳng

Chứng minh

Bổ đề Cho mặt phẳng P và đường thẳng d chia P thành hai nửa mặt → → phẳng P1 và P2.Trên d ta lấy một điểm O và dựng các véc tơ OA nằm trên d ,OB → → → thuộc P1(các véc tơ đó khác 0).Với điểm M bất kỳ thuộc P ta có OM = xOA + →

yOB (*) , trong đó x,y là một cặp số thực.Ðể M thuộc nửa mặt phẳng P1 điều kiện cần và đủ là trong hệ thức (*) y >0

Thật vậy nếu M thuộc P1, thì M không thuộc d.Ta dựngM1, M2 là hình chiếu → → → → của M theo phương d và OB tương ứng, khi đó OM2↑↑ OB Ðảo lại nếu OM2↑↑

→

OB, thì M thuộc P1.Từ nhận xét đó ta suy ra điều cần chứng minh

iii) Góc nhị diện (P,Q) thành nhị diện (P’,Q’) và số đo các góc phẳng của hai

nhị diện bằng nhau

iv) Mặt cầu (S,R) thành mặt cầu (S’,R),hình nón N thành hình nón N’có bán

kính đáy và độ dài đường sinh bằng các yếu tố tương ứng của N, hình trụ

T thành hình trụ T’ có bán kính đáy và độ dài đường sinh bằng các yếu tố tương ứng của T

5.Tích của 3 phép đối xứng qua 3 tâm phân biệt là một phép đối xứng qua tâm

Chứng minh

Ta ký hiệu ZA, ZB, ZC là các phép đối xứng qua 3 điểm phân biệt A,B,C.Ta đặt Z =

ZC•ZB•ZA và chứng tỏ rằng Z có điểm bất động.Gọi O là điểm bất động của Z, theo → → → → định nghĩa ta có ZA : O→ O’, ZB :O’→O’’, ZC : O’’→ O và -AO’ = AO ,-BO’’= BO’, → → → → → → → → → → → →

CO’’= - CO.Từ BO’ = -BO’’⇔ (BA+AO’) = -(BC +CO’’) ⇔BA+BC =O’A+ O’’C = → → → → → → → → → → → →

AO+CO= AB +BO+BO-BC ⇔ 2(BA+BC) = 2BO⇔ BO = BA+BC.Hệ thức đó chứng

tỏ điểm cố định O tồn tại Với điểm M bất kỳ khác O, ta có ZA : M→M’ và O→O’, do

đó

→ → → →

O’M’ =- OM ZB : M’→M’’ và O’→ O’’, do đó O’’M’’= - O’M’.ZC : M’’→M’’’ và → → → →

O’’→O , do đó OM’’’= - O’’M’’.Từ các kết quả trên ta suy ra OM’’’ = - OM.Ðây là điều cần chứng minh

Bài tập

Chứng minh các tính chất hình học

1.Cho một hình hộp (H).CMR giao điểm các đường chéo của (H) là tâm đối xứng của

nó

Hướng dẫn : Ký hiệu ABCDA’B’C’D’ là hình hộp và O là giao các đường chéo

của nó Theo tính chất của hình hộp ta có Zo : A→ C’, B→ D’,C →A’.vì vậy miền bình hành ABCD → miền bình hành A’B’C’D’ (mỗi miền bình hành là phần chung của 4 nửa mặt phẳng mà bờ là các đường thẳng chứa các cạnh hình bình hành)

2.CMR phép biến đổi ZO biến hai đường thẳng chéo nhau thành hai đường thẳng chéo nhau

Hướng dẫn:Ký hiệu x, y là hai đường thẳng chéo nhau; x’,y’ là ảnh của hai

đường thẳng đó.Gọi P là mặt phẳng chứa x và cắt y tại O không nằm trên x.Phép biến đổi Zo biến P →P’chứa x’ và không chứa y’, O→ O’ thuộc P’không nằm trên x’

3.CMR phép biến đổi ZO biến một tứ diện đều thành một tứ diện đều có cạnh bằng cạnh tứ diện ban đầu

Hướng dẫn :Ký hiệu ABCD là tứ diện đều.Phép biến đổi Zo biến A→A’,B→B’,C→C’, D→D’.Vì A,B,C,D không cùng nằm trong một mặt phẳng, do

đó A’,B’,C’,D’ không cùng nằm trong một mặt phẳng.A’B’C’D’ là một hình tứ diện có các cạnh bằng nhau

4.CMR phép biến đổi ZO biến một hình lập phương thành một lập phương mà cạnh bằng cạnh lập phương ban đầu

5.Cho tứ diện ABCD và G là trọng tâm của tứ diện.Gọi O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ

diện và O’ là ảnh của O trong phép đối xứng qua G.CMR mặt phẳng đi qua AB và O’ song song hoặc chứa đường thẳng đi qua O và trung điểm của cạnh CD

Hướng dẫn Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD, P là mặt phẳng đi qua

AB và O’.Ta biết rằng G là trung điểm của đoạn MN, vì vậy GM// ON.Ðó là điều cần chứng minh

6.CMR một hình tứ diện không thể có tâm đối xứng

Hướng dẫn: giả sử tứ diện ABCD có tâm đối xứng là O.Nếu O thuộc một mặt phẳng chứa một mặt nào đó của tứ diện, thì mặt đó là hình có tâm đối xứng.Ðiều đó không thể xảy ra vì mặt của tứ diện là tam giác mà tam giác là hình không có tâm đối xứng.Vậy O không thuộc các mặt phẳng chứa mặt tứ diện.Gọi A’,B’ lần lượt là ảnh của A,B qua phép đối xứng đó.Thế thì A’,B’thuộc các mặt đối là (BCD) và (ACD).Vì

ABB’A’ là hình bình hành, do đó AB’//BA’⇒ AB’//CD và BA’//CD⇒ A’trùng với B

và B’ trùng với A.Ðiều đó chứng tỏ O là trung điểm của AB và O thuộc mặt phẳng chứa mặt tứ diện.Mâu thuẫn đó chứng minh kết luận bài toán

7.CMR một hình chóp không có tâm đối xứng

Hướng dẫn:Trước hết ta thấy rằng nếu một hình chóp có tâm đối xứng O , thì số mặt chẵn.Thật vậy nếu M là điểm bất kỳ thuộc một mặt nào đó của hình chóp, thì điểm M’ đối xứng với M phải thuộc một mặt hình chóp (vì phép đối xứng biến mặt thành mặt, cạnh thành cạnh và đỉnh thành đỉnh) Ðiều đó chứng tỏ mỗi cặp mặt của hình chóp ứng với một đoạn thảng MM’.Vì số các đoạn như vậy là nguyên, nên số mặt là chẵn.Vậy đáy của hình chóp có tâm đối xứng đa giác với số lẻ cạnh.Vì đáy lẻ, nên O không thuộc mặt phẳng đáyvà không thuộc các mặt bên.Gọi T là thiết diện của hình chóp đi qua O và song song với đáy(T tồn tại vì Phép đối xứng qua O biến đỉnh hình chóp thành điểm thuộc đáy chóp), khi đó T là đa giác có tâm đối xứng lại có số lẻ cạnh (vì các cạnh của T chỉ nằm trên các mặt xung quanh của hình chóp).Mâu thuẫn đó chứng minh bài toán

8.CMR mọi thiết diện của một hình hộp đi qua giao điểm các đường chéo của hình hộp

là hình bình hành hoặc hình lục giác có các cặp cạnh đối bằng nhau

Hướng dẫn.Gọi O là giao các đường chéo hình hộp (H) P là mặt phẳng thiết diện .Rõ ràng O là tâm đối xứng chung của P và (H), do đó nó là tâm đối xứng của phần chung hai hình đó

9.CMR nếu thiết diện của một hình hộp là tam giác hoặc ngũ giác, thì thiết diện đó

không chứa giao điểm các đường chéo hình hộp

10.Cho tứ diện ABCD.Tìm ảnh của tứ diện đã cho qua phép biến đổi Z = ZC•ZB•ZA

11.Cho mặt cầu (O,1) và tập hợp n điểm trong không gian A1,A2,…,An (n >2).CMR trên mặt cầu đã cho luôn tìm được điểm M sao cho MA1+MA2+ +MAn > n

12.CMR ảnh của một đa giác phẳng lồi n- cạnh qua phép đối xứng Zo là một đa giác

phẳng lồi n- cạnh và hai đa giác đó có các cạnh tương ứng bằng nhau, số đo các góc tương ứng bằng nhau

13.CMR nếu một hình đa diện (T) có tâm đối xứng, thì số mặt của (T) chẵn, số cạnh

chẵn và số đỉnh chẵn

Hướng dẫn.Gọi O là tâm đối xứng của (T) và X là điểm bất kỳ thuộc một mặt M nào đó của T.Gọi X’ là ảnh của X qua phép đối xứng đó Hiển nhiên X’ thuộc một mặt M’ của (T).Vậy thì mỗi một cặp mặt M và M’ của T ứng với một đoạn XX’.Số đoạn đó

là số nguyên, nên số mặt của (T) chẵn Ta biết rằng mỗi điểm bất kỳ thuộc một cạnh nào đó của T, điểm đối xứng với nó qua O cũng thuộc đúng một cạnh của T.Vì vậy hai cạnh của T ứng với cùng một đoạn thẳng nối một điểm của cạnh này với một điểm của cạnh kia

14.CMR một hình hộp có đúng một tâm đối xứng

Hướng dẫn.Gỉa sử O và O’ là hai tâm đối xứng của một hình hộp (H).Với mỗi điểm

X thuộc hình hộp , phép đối xứng Zo và Zo’ biến X, thành X’ và X’’ thuộc hình hộp.Ta xét thiết diện của hình hộp đi qua 3 điểm X,X’,X’’.Thiết diện đó là một đa giác nhận O và O’ là tâm đối xứng.Ta biết rằng một đa giác phẳng bất kỳ có không quá một tâm đối xứng.Mâu thuẫn đó chứng tỏ O và O’ trùng nhau