Ngoài việc cung cấp cho học sinh hệ thống kiến thức, kĩ năng, môn Toán còn rèn luyện cho học sinh các đức tính, phẩm chất của người lao động như: Tính cẩn thận, tính chính xác, tính kỉ l
Trang 1A MỞ ĐẦU
1 Lý do chọn đề tài
Môn Toán trong trường phổ thông giữ một vai trò, vị trí hết sức quan trọng, là môn học công cụ Nếu học tốt môn Toán thì những tri thức trong Toán cùng với phương pháp làm việc trong Toán sẽ trở thành công cụ để học tốt những môn học khác Hơn nữa, môn Toán còn góp phần phát triển nhân cách học sinh Ngoài việc cung cấp cho học sinh hệ thống kiến thức, kĩ năng, môn Toán còn rèn luyện cho học sinh các đức tính, phẩm chất của người lao động như: Tính cẩn thận, tính chính xác, tính kỉ luật, tính sáng tạo…
Do đó trong quá trình dạy học đòi hỏi đội ngũ các thầy, cô giáo phải tích cực học tập, không ngừng nâng cao năng lực chuyên môn, đổi mới phương pháp dạy học theo hướng phát huy tích cực, tự giác, chủ động và sáng tạo của học sinh, bồi dưỡng khả năng tự học, khả năng vận dụng kiến thức vào thực tế, đem lại sự say mê, hứng thú học tập cho học sinh
Trong quá trình thực tế giảng dạy học sinh khối 10 trường THPT Thạch Thành 2 trong những năm học đã qua và đặc biệt là năm học 2019-2020 , tôi thấy học sinh còn gặp rất nhiều lúng túng trong việc giải quyết một bài toán hình
học nói chung và đặc biệt là bài toán “Hình học giải tích trong mặt phẳng” nói
riêng Bài toán hình học giải tích trong mặt phẳng là một dạng toán thường xuyên có mặt trong các kỳ thi và gây khó khăn cho học sinh Đây là phần tiếp nối của hình học phẳng ở cấp THCS nhưng được nhìn dưới quan điểm đại số và giải tích Như vậy mỗi bài toán hình học giải tích trong mặt phẳng đều mang bản chất của một bài toán hình học phẳng nào đó Tuy nhiên nhiều học sinh còn có tâm lý “bỏ luôn, không đọc đề” với những bài toán này Một số khác chỉ quan tâm tới việc tìm lời giải của bài toán đó mà không tìm hiểu bản chất hình học của nó Chính vì các em không phân loại được dạng toán cũng như bản chất nên nhiều khi một bài toán tương tự nhau xuất hiện trong nhiều đề thi dưới các cách cho khác nhau mà học sinh vẫn không nhận ra được dạng đó đã từng làm
Có thể có rất nhiều nguyên nhân dẫn đến tình trạng nói trên, nhưng theo tôi, nguyên nhân chủ yếu là khi học hình học, học sinh không để ý đến các các định nghĩa, các định lý và các tính chất hình học Các phương pháp giải còn mang tính chất chủ quan, rời rạc, gặp bài toán nào thì chỉ chú trọng tìm cách giải cho riêng bài toán đó mà không có một cách nhìn tổng quát Chính vì vậy dẫn đến tình trạng các em bị lúng túng trước các cách hỏi trong một bài toán mới
Với vai trò là một giáo viên dạy Toán và qua nhiều năm giảng dạy, để trao đổi cùng các thầy cô đồng nghiệp với mong muốn tìm ra hướng giải quyết đơn giản nhất cho một bài toán, làm cho học sinh nhớ được kiến thức cơ bản trên cơ sở đó để sáng tạo Tôi xin trình bày kinh nghiệm của mình về việc giải quyết bài toán “Tìm tọa độ của điểm trong hình học giải tích phẳng” đó là
Hướng dẫn học sinh lớp 10 giải bài toán “ Tìm tọa độ của điểm ” từ việc khai thác “bài toán cơ bản” trong hình học giải tích phẳng.
Trang 22 Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu là tìm ra phương pháp dạy học phù hợp cho từng đối tượng học sinh, để từ đó tạo hứng thú học tập cho các em, giúp cho các em hiểu
rõ các dạng toán và định hướng cách giải cho một bài toán, cũng từ đó giáo viên rút ra kết luận và đề xuất một số biện pháp cụ thể khi tiến hành giúp đỡ từng đối tượng học sinh, nhằm nâng cao chất lượng dạy và học
3 Đối tượng nghiên cứu
+ Phương pháp giải các bài tập “ tìm tọa độ của điểm ” trong hình học
giải tích phẳng thông qua việc vận dụng bài toán cơ bản của hình học phẳng.
+ Các bài tập hình học giải tích trong mặt phẳng từ các đề thi HSG giao lưu giữa các trường, HSG cấp tỉnh và các đề thi THPT Quốc gia qua các năm
4 Phương pháp nghiên cứu
+ Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu tài liệu, sách tham khảo liên quan đến việc sử dụng phương pháp tọa độ, nghiên cứu chương trình giáo khoa của bộ môn
+ Phương pháp nghiên cứu thực tế: Thông qua việc dạy và học môn hình học ở trường THPT Thạch Thành 2, từ đó rút ra một số nhận xét và phương pháp giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải toán
+ Phương pháp kiểm chứng sư phạm: Tiến hành dạy và kiểm tra khả năng ứng dụng của học sinh khối 10, đội tuyển HSG các khối, học sinh đang ôn luyện thi tốt nghiệp THPT
B NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM 1 Cơ sở lí luận
Trong học tập môn Toán thì hoạt động chủ đạo và thường xuyên của học sinh là hoạt động tư duy giải bài tập, thông qua đó hình thành kỹ năng, kỹ xảo đồng thời rèn luyện phát triển trí tuệ Vì vậy, nó được quan tâm nhiều trong dạy học Việc hướng dẫn cho học sinh tự học, tự nghiên cứu, biến quá trình đào tạo thành quá trình tự đào tạo là một vấn đề cần thiết Đối với môn toán việc rèn luyện khả năng tư duy trìu tượng, tư duy logic, khả năng phân tích tổng hợp, dự đoán, tương tự hóa, khái quát hóa, biết liên hệ, xâu chuỗi kiến thức sẽ góp phần quyết định trong việc tìm ra lời giải của một bài tập hình học nói chung và các bài tập phần phương pháp tọa độ trong mặt phẳng nói riêng Do đó trong quá trình hướng dẫn học sinh làm bài tập giáo viên cần quan tâm đến vấn đề phát huy khả năng tư duy độc lập, định hướng tìm lời giải cho mỗi bài toán đồng thời tạo điều kiện thuận lợi để phát huy tính tích cực, tư duy sáng tạo cho các em
2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng
Sau nhiều năm dạy học môn Toán phần hình học giải tích trong mặt phẳng ở trường THPT Thạch Thành 2, tôi nhận thấy một số vấn đề thực trạng như sau:
Trang 3+ Trường THPT Thạch Thành 2 là một trường đóng trên địa bàn miền núi, học sinh đại đa số là con em nông thôn có đời sống khó khăn Điểm chuẩn đầu vào của trường còn thấp, học sinh có học lực trung bình chiếm trên 60% nên việc học toán của các em còn nhiều hạn chế Bên cạnh đó còn có nhiều học sinh đi học với tâm lý là chỉ để thi tốt nghiệp, không tham gia xét tuyển vào các trường
ĐH, cao đẳng…
+ Khi gặp một bài toán hình học, các em thường lúng túng trong việc định hướng tìm lời giải và đa số lựa chọn "con đường" mò mẫm, thử nghiệm, đôi khi việc thử nghiệm đó có thể đi đến kết quả hoặc không đưa ra được kết quả, rõ ràng là sẽ mất nhiều thời gian và không nhận ra được bản chất của bài toán + Bài tập phần hình học giải tích trong mặt phẳng đa dạng và khó nên học sinh thường lúng túng khi làm bài tập phần này
+ Khi dạy xong nội dung phương pháp tọa độ trong mặt phẳng tôi thấy đa số học sinh mới chỉ làm được một số dạng bài tập đơn giản, những bài tập mang tính suy luận, đòi hỏi khả năng vận dụng cao thì các em không tự mình tìm được lời giải mặc dù trước đó khi giáo viên tiến hành giảng dạy các tiết chữa bài tập các em tỏ ra khá hiểu bài Trong khi đó, các bài toán liên quan đến phần này ở các đề thi trung học phổ thông quốc gia, các đề thi HSG trong những năm gần đây lại đòi hỏi tính suy luận cao Để giải được những bài toán này học sinh không chỉ phải nắm được các kiến thức của hình học giải tích mà còn phải phát hiện ra “điểm nút” của bài toán đó là các tính chất hình học thuần túy ở trung học cơ sở ẩn chứa trong mỗi bài toán Điều này dẫn đến kết quả làm bài của học sinh chưa được tốt
+ Khi dạy các dạng bài tập phần này, một thực tế thường xảy ra là nhiều giáo viên đi theo lối mòn như: Nêu dạng toán, phương pháp giải chứ chưa phân tích cho học sinh thấy được trong bài toán tại sao lại phải đi tìm toạ độ điểm này
trước, điểm kia sau, ưu tiên đường này trước, đường kia sau, tính độ dài các
đoạn thẳng , tính các góc để làm gì? Tại sao lại kẻ thêm đường thẳng này, kẻ với mục đích gì?
3 Các giải pháp thực hiện để giải quyết vấn đề
Để giúp học sinh định hướng tốt hơn trong quá trình giải toán hình học giải tích trong mặt phẳng, đặc biệt là bài toán “ tìm tọa độ của điểm ” giáo viên cần tạo cho học sinh thói quen xem xét bài toán dưới nhiều góc độ, khai thác các yếu tố đặc trưng liên hệ các tính chất của hình học phẳng Trong đó việc hình thành cho học sinh khả năng tư duy theo các kiến thức hình học phẳng là một điều cần thiết Việc trải nghiệm qua quá trình giải toán sẽ giúp học sinh hoàn thiện kỹ năng định hướng và giải toán
Để giải quyết các vấn đề thực trạng nêu trên, tôi đưa ra các giải pháp thực hiện sau đây
1 Tổ chức cho học sinh hình thành kỹ năng giải toán thông qua các buổi học có sự hướng dẫn của giáo viên
2 Tổ chức rèn luyện khả năng phân tích, định hướng giải toán của học sinh
Trang 43 Tổ chức kiểm tra, đánh giá để thu thập thông tin về khả năng nắm vững kiến thức của học sinh
4 Trong mỗi bài toán hình học giải tích trong mặt phẳng đều yêu cầu học sinh thực hiện phân tích bản chất hình học phẳng cũng như đưa ra các hướng khai thác mở rộng cho bài toán
5 Cung cấp hệ thống các bài tập mở rộng để học sinh tự rèn luyện
Từ những giải pháp đó, tôi xin giới thiệu “ bài toán cơ bản ” và những
kinh nghiệm của mình khi hướng dẫn học sinh tại trường THPT Thạch Thành 2
áp dụng bài toán này vào việc “tìm tọa độ của điểm” trong hình học giải tích
phẳng.
3.1 Bài toán cơ bản
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm N x0 ; y0 và đường thẳng : Ax By
C 0 Tìm tọa độ của điểm M thuộc đường thẳng và cách điểm N một khoảng không đổi d
trình của đường thẳng và khoảng cách d đã biết nên ta có thể hướng dẫn học sinh trình bày lời giải bài toán này theo 2 cách sau đây
Cách 1:
- Do M thuộc đường thẳng đã biết phương trình nên ta sẽ tham số hóa tọa độ điểm M theo ẩn t.
- Khi đó việc sử dụng dữ kiện MN = d sẽ giúp ta thiết lập được một phương trình chứa t ( f t0 ), từ đây giải phương trình tìm t và suy ra được tọa độ điểm M.
Cách 2: Do MN = d nên M thuộc đường tròn (C) tâm N, bán kính d Khi đó tọa
độ điểm M chính là nghiệm của hệ phương trình gồm một phương trình và một phương trình đường tròn (C)
Ta xét cụ thể ví dụ sau: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm I 5; 2và đường thẳng : 2x y 3 0 Tìm tọa độ của điểm M thuộc đường thẳng sao cho MI5
.
Cách 1:
+ Vì Mnên gọi M t ; 2t 3
+ Ta có MI 5 MI 2 25 t 5 2 2t 1 2 25 5t2 6t 1 0
t 1 M 1;5
1 17 1
t5 M 5 ; 5
Cách 2:
+ Vì MI 5 nên M thuộc đường tròn (C) tâm I và R = 5 có phương trình
x 5 2 y 2 2 25
Trang 5+ M nên tọa độ điểm M là nghiệm của hệ
x 1
1
x 5 2 y 2 2 25 x 5 M 1 ;17
5
Nhận xét
+ Với cách 1 chúng ta không cần quan tâm tới bài toán về sự tương giao giữa
đường thẳng và đường tròn và giải theo phương pháp đại số thông thường Với cách 2 ta thấy rõ hơn bản chất của bài toán , ở đây điểm cần tìm là giao của đường thẳng và đường tròn
+ Cách 1 và cách 2 là hai cách trình bày khác nhau của cùng một phương pháp
thế trong giải hệ phương trình Nếu tìm được duy nhất một điểm M khi đó
IM (hay đường tròn (I;R) tiếp xúc với tại M).
Vấn đề đặt ra bây giờ là làm thế nào để giúp học sinh áp dụng được bài toán
cơ bản trên vào các bài toán khác, để thực hiện được ý tưởng đó ta cần chỉ ra
được hai điều kiện sau:
1 Điểm cần tìm thuộc một đường thẳng nào đã biết phương trình hoặc có thể lập được phương trình, tức là điểm cần tìm thuộc đường nào? Đường thẳng đó
đã biết phương trình chưa? Nếu chưa thì có viết được không? Viết bằng cách nào?
2 Điểm cần tìm cách một điểm đã biết tọa độ một khoảng không đổi, tức là điểm cần tìm cách một điểm cho trước (đã biết tọa độ) một khoảng bằng bao nhiêu? Cắt nghĩa dữ kiện của bài toán như thế nào để tính được khoảng cách đó?
3.2 Áp dụng
I
2
AB là x 2 y 2 0 và AB = 2AD Tìm tọa độ các điểm A, B, C, D biết rằng A có
hoành độ âm
Phân tích bài toán
+ Có A AB:x 2y 2 0
+ AD 2 d I , ABAB ? AI ? chuyển về bài toán cơ bản → tọa độ điểm
A → tọa độ B, C, D.
Trang 6Lời giải mong muốn
Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên AB.
Khi đó
IH d I , AB
2
12 22 2
Suy ra AH AB AD 2IH 5 IB IA IH2 AH2 5 5 5
Do đó A, B là các giao điểm của đường thẳng AB với đường tròn tâm I, bán kính
2
Suy ra A 2; 0 ,B2; 2 (Vì x A 0 )
Mặt khác I là trung điểm của AC và BD nên suy ra C3; 0 , D 1; 2
Vậy A 2; 0 , B 2; 2 , C 3; 0 , D 1; 2
Nhận xét: Khi bài toán yêu cầu tìm từ hai điểm trở lên, mà các điểm có vai trò
như nhau (trong bài trên A, B có vai trò như nhau) thì ta nên hướng dẫn học sinh trình bày theo cách 2 để từ điểm này ta suy ra được điểm kia.
đường thẳng có phương trình x y3 0 , điểm M1; 2 thuộc đường thẳng AB,
điểm N2; 2 thuộc đường thẳng AD Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết điểm B có hoành độ dương.
Phân tích bài toán
+ Trong các dữ kiện của bài toán ta nhận thấy điểm có “lợi” để ta khai thác
đầu tiên chính là điểm B, bởi B thuộc BD đã biết phương trình và B có hoành
độ dương.
+ Ta đã biết tọa độ hai điểm M 1; 2 và N 2; 2 nên nếu tính được độ dài đoạn BM
hoặc BN ta sẽ tìm ra được tọa độ điểm B nhờ bài toán cơ bản Nghĩa
là ta đang cần yếu tố về định lượng, điều này gợi ý ta đi tính d M ,BD hoặc d N ,
BD Trong hai đại lượng này, đại lượng d M , BD sẽ giúp ta dễ dàng tìm
được độ dài BM (do MBH90 ), từ đó “tháo” được điểm B theo góc nhìn của bài toán cơ bản.
+ Khi tìm được tọa độ điểm B ta sẽ tìm được tọa độ các điểm còn lại nhờ viết được phương trình AB, AD và tính chất trung điểm của hai đường chéo.
Trang 7Lời giải mong muốn
Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên BD MH d M,BD 1 2 3 2
1 2 1 2
Do MHB là tam giác vuông cân tại H BM 2MH 2
Gọi B t;3 t với t 0 , khi đó:
AB đi qua B và M nên có phương trình y 2
AD đi qua N và vuông góc với AB nên có phương trình x 2
Suy ra A2; 2
D là nghiệm của hệ 0
Gọi I là trung điểm của BD I 3
; 3
C 1;1 (doIlà trung điểm củaAC)2 2
Vậy A2; 2 ,B1; 2 ,C1;1 , D2;1
Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD vuông tạiA và D,
có AB AD CD , điểm B 1; 2 , đường thẳng BD có phương trình y 2 Biết đường thẳng : 7 x y 25 0 cắt các đoạn thẳng AD, CD lần lượt tại hai điểm M, N sao cho
BM vuông góc với BC và tia BN là tia phân giác trong của MBC Tìm tọa độ
điểm D biết D có hoành độ dương.
Phân tích bài toán
+ Với dữ kiện bài toán ta có D BD:y 2 và điểm B1; 2 , nên nếu tính được độ
dài đoạn BD ta sẽ nhìn thấy luôn bài toán cơ bản và việc tìm ra điểm D không
có gì là khó khăn Nghĩa là ta đang cần có yếu tố về “định lượng” Lúc này đường thẳng đã biết phương trình nên ta nghĩ tới việc tính khoảng cách từ B tới
và tạo mối liên hệ gắn kết với độ dài BD.
+ Với dữ kiện còn lại của bài toán và bằng phương pháp hình học thuần túy ta
dễ dàng chỉ ra được BH d B,CD d B, , khi đó sẽ tính được độ dài BD
Trang 8Lời giải mong muốn
Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên CD, khi đó ABHD là hình vuông
Suy ra CBH MBA (hai góc cùng phụ với MBH )
Từ đây ta có được CBH MBA (g.c.g) CB MB CBN MBN (c.g.c) Khi đó BH d B,CN d B,MN 7225 4
Mà tam giác DHB vuông cân tại H nên BD 2BH 4
Gọi D t; 2 BD vớit 0, khi đó:
Vậy D5; 2
trên cạnh CD sao cho CN 2ND Giả sử M11
2 và AN có phương trình 2 x y 3 0
Tìm tọa độ điểmA.
Phân tích bài toán
+ A AN : 2 x y 3 0
+ Điểm M biết tọa độ nên nếu tính được đoạn AM thì coi như điểm A sẽ tìm
được nhờ bài toán cơ bản Lúc này ta sẽ gắn AM vào tam giác vuông AMH với
cạnh MH d M , AN ta dễ dàng tính được Như vậy nếu biết thêm một yếu tố về cạnh hoặc về góc trong tam giác vuông này thì ta sẽ tính được độ dài AM Do các cạnh của tam giác AMH đều có thể biểu diễn thông qua độ dài cạnh hình vuông nên ta sẽ nghĩ ngay tới việc tính góc A nhờ định lí cosin trong tam giác.
M
H
N
Trang 9Lời giải mong muốn
Gọi H là hình chiếu của M lên AN MH d M AN 2 11 1 3 3 5
2 2
22 12 2
Đặt AB 6a ND 2 a ; NC 4a
MB MC 3a
(Vì ABCD là hình vuông và CN 2ND )
(Ta có thể đặt AB a , ở đây ta đặt AB 6a để việc biểu diễn các độ dài khác được đơn giản)
Khi đó áp dụng Pitago ta được AM 3 5a; MN 5a và AN 2 10a
cos MAN AM2 AN2 MN2 45a 2 40 a 2 25a 2 60 a2 2
2AM.AN 2.3 5 a.2 10 a 60 2a2 2
2 2
45
Gọi A t ; 2t 3 AN Ta có AM 2 (theo (*))
2
Vậy A1; 1 hoặc A4;5
Nhận xét
+ Khi muốn chuyển việc tìm điểm về bài toán cơ bản mà yếu tố độ dài MI chưa
biết (trong bài toán này AM chưa biết) thì thường ta hay “cắt nghĩa” thông qua
dữ kiện về định lượng Nếu không có điều này thì trong đề bài thường ẩn chứa những yếu tố bất biến như góc (ví dụ như trong bài toán này góc MAH ta luôn tính được), khoảng cách (trong ví dụ này d M , AN cũng là một đại lượng không đổi)… Từ đây việc tìm độ dài MI (trong bài toán trên là AM) sẽ khá đơn giản
+ Ngoài cách tìm ra được AM 3 10 như ở ví dụ trên, có thể hướng dẫn học
2
m
t
AB a S AMN S ABCD S ADN S CNM S BAM 5a2 và AN a 10
2S
AMN
2 a 10
3
Biết AC 2BD , điểm B có hoành độ dương và thuộc đường thẳng
Viết phương trình cạnh AB.
10 2
2 x 2 y 18 0
: 2 x y 5 0
Trang 10Phân tích bài toán
+ Ở đây B đang thuộc đường thẳng và I là tâm của đường tròn (C) đã biết tọa
độ do đó nếu tính được độ dài đoạn BI ta sẽ chuyển được về bài toán cơ bản.
Lúc này ta sẽ cắt nghĩa dữ kiện của bài toán để làm điều này.
+ Khi đã tìm được điểm B ta chuyển về bài toán viết phương trình đường thẳng
AB đi qua điểm B đã biết tọa độ và cách điểm I cho trước một khoảng không đổi
R
Lời giải mong muốn
Đường tròn (C) có tâm I1; 1 và bán kính R2 5 Gọi H
là hình chiếu của I trên AB, suy ra IH R2 5
Vì ABCD là hình thoi và AC 2BD nên AI 2BI , khi đó xét tam giác vuông ABI ta có:
AI 2 BI 2 IH 2 4BI 2 BI 2 2 5 2
5t 2 18t 8 0 t 4 hoặc t 2 (loại) B 4;3
5
Gọi vecto pháp tuyến của AB là n AB a ; b với a2 b2 0 , khi đó phương trình
AB có dạng:
a x 4 b y 3 0 ax by 4a 3b 0
Ta có d I,AB R a b 4 a 3b 2 53a 4b 2 20 a 2 b2
a 2 b2
aa 2
Với a 2 chọn a 2 , khi đó phương trình AB là: 2x 11y 41 0
Như vậy trong các đề thi, nhiệm vụ của người ra đề là sẽ làm “mờ” bài toán cơ bản, bằng các dữ kiện và số liệu đi kèm Nhiệm vụ của học sinh là dùng