TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈ I.. TÍCH PHÂN CÓ CHỨA CÁC CĂN THỨC CỦA BIẾN ĐỘC LẬP 1.. Nếu p∈Z thì gọi k là mẫu số chung nhỏ nhất của các phân số tối giản biểu thị bởi m và n, khi đó đặt x = k.
Trang 1BÀI 7 TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈ
I TÍCH PHÂN CÓ CHỨA CÁC CĂN THỨC CỦA BIẾN ĐỘC LẬP
1. Xét dạng cơ bản thường gặp: m( n)p
I =∫x a+bx dx với m, n, p hữu tỉ
1.1 Nếu p∈Z thì gọi k là mẫu số chung nhỏ nhất của các phân số tối giản biểu thị bởi m và n, khi đó đặt x = k
n
+
∈Z thì gọi S là mẫu số của p và đặt a+bx n =t s
n
+
+ ∈ thì gọi S bằng mẫu số của p và đặt
n s n
t x
+
=
2 Xét
1 1
j j
r r q q
=∫ với r 1 , q 1 ,…r j , q j là các số nguyên dương
Gọi k là bội số chung nhỏ nhất của các mẫu số q 1 , …, q j Khi đó ta có:
1 1
1
j
r r
; ;
α α
1
j
x=t ⇒ =I ∫R t ,tα , ,tα kt − dt=∫R t a
3. Xét I R x,(ax b)m n , ,(ax b)r s dx
=
Đặt ax b t
+ =
−
∫
Gọi k là bội số chung nhỏ nhất của các số: {n, s} Đặt t = u k thì
k
k
−
II CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA
4 1 4
−
1
4 3
xdx
I =
⇒ m 1; n 3; p 1 Z k 4
−
Trang 2Đặt t=4 x ⇒ x=t4⇒dx=4t dt3 ⇒
4 4
3 4
+
2
2
t 1 t 1
t 1 t t 1
2 2
2
t 1
t 1 3
1 t
+ +
3
−
4
3
3
−
•
1 2 1 1 3
3
xdx
I =
⇒ m 1; n 1; p 2 Z
= = = − ∈ ⇒ k = 6
Đặt t=6 x⇒ =x t6 ⇒dx=6t dt5 Khi đó: ( )
t 6t dt 6t dt I
2
t 1
+
=
5 3
t 2t
Ta có:
2
2
+ −
⇒
2
⇒
5 3
5 3
2
8 4
5
t 1
6 x 20 x 90 x 3
5
x 1
+
+
Trang 3• 3 ∫ =∫x(1+x2 3)1 2dx
3 2
xdx
I =
m
n
+
Đặt t= 1+3 x2 ⇒t2 = +1 3 x2 ⇒(t2 −1)3 =x2 ⇒2x dx=6t t( 2 −1)2dt
2
3
2 3
x dx 3t t 1 dt
t
−
+
3 5 3 3( 3 2)5 2 ( 3 2)3 2 ( 3 2)
2
−
4
dx
I =
3
m
n
Đặt
3 3
2 x
t
x
−
1
⇒
6
3
I
2
x
t 1 x
−
+
2 3
∫
5
m
n
+
Đặt
3 3
3
3
+
+
I
+
1
dt I
t
= +
∫
( 1)( 2 1)
dt
I
=
u u 3u 3
t 1 t 1 3 t 1 3
+
2 2
du
Trang 4( )
2
2
2
u
2
2
2
2
− +
⇒
2
2 t 1
1
6
dx
I =
Đặt
1
3 2
2
6
t
x x
•
4
1
1 1 2 7
1 1
1
dx
I =
⇒ m 1, n 1, p 1 Z
2
Đặt t= x⇒t2 =x⇒dx=2t dt ⇒
7 2
t 1 t t 1 t
t 1 t
+ −
+
2
2 1 1
2 dt 2 ln t ln t 1 2 ln 2 ln 3 ln1 ln 2 2 ln
+
∫
Trang 52 Dạng 2:
∫
j 1
j 1
r r
q q
•
1 2
1 3
1 1
x
dx
=
+
1
3 2
Gọi k = BSCNN(2, 3) = 6
Đặt t=6 x ⇒ =x t6⇒dx=6t dt5
=2t3−6t 3ln 1 t− + 2 +6arctg t+ =c 2 x−66 x−3ln 1+3x +arctg x+c
•
1 4 1 8
4 1
= +
dx
Gọi k = BSCNN(4, 8) = 8
8
t= x ⇒ =x t ⇒dx= t dt ⇒
2
7
t 1
t t 1
+ +
=4 ln 1+t2 −8 arctg t+c=4 ln 1+4x −8 arctg8x +c
1 2
1 3
1 1
1 1
= + +
x dx x
Gọi k = BSCNN(2, 3) = 6
Đặt t=61+x⇒ =x t6 − ⇒1 dx=6t dt5
⇒
3
7 5 4 3 2
2
6 1 x 3 ln 1 x 1 arctg 1 x c
−
• 5 ∫8 3 3
1
dx
I =
Đặt t=3 x⇒t3 =x⇒dx=3t dt2
Trang 6⇒
t 1 t
t 1 t
+ +
∫ ∫ Đặt u=31+t⇒u3 = + ⇒1 t dt=3u du2
⇒
3
3
3
3 ln u 1
1 u
+
3 3
3
3
3 3
2
3
3 3
3
3 3
3 ln u 1 ln u u 1 3 3 arctg
+
−
−
•
6
−
−
3
dx
I =
Đặt t= x+4⇒t2 =x+4⇒dx=2t dt
3
2t dt dt
• 7
−
∫
3 2
2 2
dx
I =
Đặt t= 1−x2 ⇒x2 = −1 t2 ⇒t dt= −x dx
3 2
1 2
1 t
1 t t
x 1 x
−
−
−
−
• 8 ∫2
3 1
dx
I =
x 1 + x
Đặt t= 1+x3 ⇒t2 = +1 x3 ⇒2t dt=3x dx2
3
2
3 t 1 t
−
+
−
−
+
Trang 73 Dạng 3: ( ) ( )
•
3 1 1
x
dx
+
−
1
2 3
dx
I =
Đặt
3 3
1
⇒
3
3
2
2 2
ln t 1 ln t t 1
1 t
∫
3
−
−
•
2
−
⋅
−
∫3
2
2 3
2
3
3
−
+
• 3 ∫1 −
0
2 2
⇒
1 1
1
0 0
2
Trang 8• ( ) ( ) 2 ( ) (2 3 )5 6
1
x
Đặt 6 1
1
x
t
x
+
=
− ⇒
5 6
6
4t
t 1
−
5 4
3 4 3 3t 3t 3 6 x 1 3 3 x 1
• 5 ∫6 − ⋅
4
I =
x + 2 x + 2 Đặt
2
1
⇒
1 2
2
1 2
1 2 2 1 2
0
1 t
−
•
−
∫3
6
x + 1
x 1 Đặt
3 3
3
⇒
2
2 3
6t dt
dx
t 1
−
=
−
⇒
3
1
0
2
dt
3 t 1
+
−
+ +
2
2
ln t 1 ln t t 1
t
∫
Trang 9• 7 ( ) ( )
−
⋅
∫
3
2 2
dx
I =
3
1
x x
−
−
⇒
3
⇒ 33( )2 ( )
2
dx
x 1
I
−
3
3
2
2
1 3
t
−
−
∫
3 3
1 2 1 2
3 3 2
1 3
1 3
−
• 8
−
⋅
∫
5
3
3
I =
x 4 x 4 Đặt
3
1
3
7 4
1
x t
− =
−
⇒
2
2 3
21
1
t dt
dx
t
−
=
−
⇒
3
3
−
2
−
t 1 t t 1
+
∫
2
0
1 t
+ +
2
0
•
4
=
−
−
9
3
4
xdx
I =
x dx
a x (a > 0)
a
1
dt
J
t
=
+
Trang 10( )
2
2
•
( ) 1( )2
−
−
10
dx
dx
1
2 1
n n
n
−
n 1
n
n 1
n
t
t 1
−
−
−
−
−
• 11 ∫
dx
⇒
2
3
4
−
3 2
2
•
∫
12
xdx
Đặt
2 2
⇒
2
I
t 1
−
+
−
+
Trang 11( ) ( )
4
3t 1
2 3t 1 4t
+
( ) ( )
4
4
dt
Xét
4 1
du
J
u
=
+
2
2
1 x t
1 x
+
=
−
2
4
1 x t
1 x
+
=
−
• 13 ∫1 −
0
1 + x Đặt
t= x⇒ =x t ⇒dx= t dt
⇒
13
1 t
+ +
∫ ∫ Đặt t=cos u⇒dt= −sin udu
13
2
2
0
2 1 cos u cos u du 2 cos u du 1 cos 2u du
1
2 sin u u sin 2u 2
π
π