Tich phan ham vo ti

HD: Biến đổi về dạng:... Tính Thay vào 1 ta được:.[r]

Ví dụ 1: Tính tích phân :

2

2 0

4

I   x dx

HD

: Đặt x 2sin ,t 2 t 2

 dx2costdt

Đổi cận: x 0 t0; x 2 t 2



/2

2 0

4 cos



/2 0

2 (1 cos 2 )t dt



/2 0

1

2



Ví dụ 2: Tính tích phân :

1/2

2 1

1 2

x x









HD

:

 dxcostdt

Đổi cận: x 1 t0;

1

x  t

/6

2 0

cos

1 sin

tdt I

t







/6 0

dt



t 

Ví dụ 3: Tìm nguyên hàm :

3 2

1

x dx I

x







HD

:

Cách 1: Đặt x sin ,t 2 t 2

 dxcostdt

3

2

sin cos

1 sin

t tdt

I

t



cos

t tdt t

 14(3sint sin 3 )t dt

3

1

(1 sin ) 1 cos

1

Cách 2: Đặt t 1 x2 thì x2  1 t2

xdx tdt

I t  dt t  t C t  t C  x   x C

2 Dạng 2:

2 2

I R x a x dx .

Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm :

2

1

I  x dx

HD

:

Cách 1: Đặt x tan ,t 2 t 2

2

1 cos

t

3

1

cos

t

cos cos

tdt t

cos (1 sin )

t dt t







cos

(1 sin )

t dt t







Đặt usint  ducostdt



ln

C



ln

C



2 2

ln

1

1 1

x

x x









2

2 2

Cách 2: Đặt t x 1x2  (t x )2  1 x2

2

1

2 2 2

2

1 1

t x





2 2

1 2

t

t



2



1

Cách 3: Dùng phương pháp từng phần bằng cách đặt

2

1

dv dx









Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm: 2

1 4

x







HD

:

Cách 1: Đặt x2 tant ,

2

2 cos

t

1

cos

t

cos cos

tdt t

cos

1 sin

t dt t





 12 1 sin1 t 1 sin1 td(sin )t



ln

t C t





Cách 2: Đặt t x x24

2

1

4

x

x



t x



2

dt

t

Ví dụ 3: Tính tích phân :

1 3 2







 x dx

I

x

HD

:

Cách 1: Đặt x tan ,t 2 t 2

2

1 cos

t





/4 3

/4

tan

cos

t

t



 

/4 3 4 /4

sin cos

tdt t



 

/4

/4

(sin )



 



/4 3 /4

0



 

Cách 2: Biến đổi:

1 2 2

x xdx I

x







 Đặt t x21 x2  t2 1 2

2

1

xdx dt

x



Đổi cận: x 1 t 2; x 1 t 2

2

2

2

1

2

Cách 3: Đặt x t dxdt

Đổi cận: x 1 t1; x 1 t1

1 3

2

t dt

I

t







1 3 2

x dx

I x







0

I

 

Cách 4: Sử dụng tích phân từng phần

Đặt

2

2 2

2 1 1

x

x

 











1 1





1

1



1 3

1

2



Ví dụ: Tính tích phân :

2 2 2 3

1





I

x x

HD

:

Cách 1: Đặt

1

t



sin cos

t

Đổi cận:

2 3



x

6

t 



/4 /6

2

sin cos

12

1

t dt t









Cách 2:

I



x

x  tdtxdx

Đổi cận:

x  t

; x 2 t1

1

2

1

3

1



 dt

I

t

Đặt

2 2

 

,  dt (1 tan )2u du Đổi cận:

1 3



t

thì 6





u

;t1 thì 4





u

/4

/4 /6











Ví dụ1: Tìm tích phân :

1

5 0

1

x

x









: Viết lại:

1

2 0

1

x dx I





 Cách 1: Đặt

1 1

x t

x







2 2

1 1

t x t



4

tdt dx

t





Đổi cận: x 0 t1; x 1 t 0

2

2 2 1

t





1 1

0 0

t dt t

Cách 2: Đặt

2

x t t  

 dx2sin 2tdt

Đổi cận: x 0 t 4



; x 1 t0

0

2 4

1 cos 2 (1 cos 2 )

I





2 0

tan cos

t dt t



4 2 0

tan td(tan )t



4 3

0

tan



Ví dụ 2: Tính tích phân :

2

2 3 0

1

J x x  dx

HD

: Đặt t x31 x3  t2 1

3

x dx tdt

Đổi cận: x 0 t1; x 1 t 3

3

2

1

2

3

3 3 1

Ví dụ 3: Tính tích phân :

2

x

x





HD

: Đặt t x1  x t 2 1

 dx2tdt

Đổi cận: x 1 t0; x 2 t1

1 3

0

2

1

t t

t







1 2 0

2

1

t





1

3 2

0

11

t t

Ví dụ 4: Tìm nguyên hàm : 3 2 4

x







HD

: Nhận xét :

2

2

Ta có 12 là BSCNN của các mẫu số

Do đó, đặt x t12 dx12t dt11

9 4

12

10 5

5

1

Ví dụ1: Tìm nguyên hàm : 2 5 6



I

HD

: Biến đổi về dạng: ( 2)( 3)



 dx

I

Cách 1 :

Ta xét hai trường hợp:

+TH 1: Với

2 0

3 0







x

Đặt t  x 2 x 3

2

t

+ TH 2: Với

2 0

2

3 0







x

x

Đặt t  2 x 3 x

2

t

Cách 2 : Biến đổi về dạng:

2

dx I

x





Đặt

2

t x  x  

t x

2

5

2

dt

t

Ví dụ 2: Tính tích phân:

1

0 ( 1)( 8)

dx J





HD

:

Cách 1 : Đặt t x 1 x8

2

t

Đổi cận: Với x 0 t 1 2 2,x 1 t 3 2

3 2

3 2

1 2 2

1 2 2

1 2 2

dt

t















Cách 2 :Biến đổi về dạng:

1

2

dx J

x





Đặt

2

t x  x  

t x

Đổi cận: Với

9

2

x  t 

,

11

2

x  t 

11/2 3 2

11/2 3 2 9/2 2 2 9/2 2 2

1 2 2

dt

t















Ví dụ: Tính tích phân :

3

2 3



I

x x

HD

: Biến đổi về dạng:  

3

3

2 ( 1)(4 )



I

Ta đi tính nguyên hàm của ( ) ( 1)(4 )3



dx

f x

Đặt x 1 3sin2t với 0;2



t

3sin 2

 dx tdt

3

3sin 2

(3sin cos )

tdt

F x f x dx

8 sin 2

9 sin 2

tdt t

8

9 sin 2

dt

t

x

C



3

2

x I



2 2 9



(Chú ý:

2 cot 2

t

x a b x

 

Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm :

HD

: Biến đổi về dạng:

2

I  x  dx

Cách 1: Dùng phương pháp đưa về nguyên hàm đã biết:

Đặt t  x 1 dt dx

2 1

2

2 2

2

2 2

(đã tính ở ví dụ ở dạng 2 của phương pháp đổi biến số)

Cách 2: Dùng phép thế Euler:

Đặt x22x2  t x  x22x  2 (t x)2

2 2





t x t

2

2



t

2

3

t

dx t







1



2

2

t

t



Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm: 2

1 1





HD

:

x

Đặt

2

t x  x  

1 2 1

t



1

2

dt

t

Ví dụ 3: Tìm nguyên hàm: 9 2 6

x







HD

:

x

1

Ví dụ: Tính nguyên hàm: ( 1) 2 2 2

dx I





HD

:

Đặt

1

1





t

x

1 1

1

t

2

2 2

1

1





t

t t

t t t

Ta xét 2 trường hợp:

 Với t > 0 ta có:

2

1

1





t

2

1 ln



x

C

2

ln

1



C x

 Với t < 0 ta có:

1

1





t

2

2

ln

1



C x

Tóm lại với t0 hay x1 ta luôn có:

2

ln

1



x

Ví dụ: Tính nguyên hàm :

3



HD

:

2





2

dx

Với

2

2

1

x

x





Với

dx I









x t

x

2 2

2

1



t x

t

dx dt

1

dx dt

2

I

dt

t





  14ln t t 22 C

2 2

ln

C

Vậy

2 2

2

Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm :

2 2

I  x  dx

HD

:

Cách 1: Tương tự ví dụ ở dạng 2 của phương pháp đổi biến số

Cách 2: Đặt

2

2

2

2









x

x

2 2

2

2

2



2

2



x

Thay vào (1) ta được:

2

Ví dụ 2: Tính tích phân :

1 2 2







x

HD

:

Cách 1:

1 2

2 0

1

  





x

1 2

0

1

1

0

1

x

=

Cách 2:

1

2 0

1







x x

x

Đặt

2 2

1

1 1

 







x

x

1 1

0 0

1

0

1

x