Chuyªn ®Ị: Nguyªn hµm-TÝch ph©n Lun Thi §¹i Häc vµ Cao §¼ng Nguyªn hµm - tÝch ph©n vµ c¸c øng dơng a.tÝnh tÝch ph©n b»ng ®Þnh nghÜa Ph−¬ng ph¸p: 1. §Ĩ x¸c ®Þnh nguyªn hµm cđa hµm sè f(x), Chóng ta cÇn chØ ra ®−ỵc hµm sè F(x) sao cho: F’(x) = f(x). • ¸p dơng b¶ng c¸c nguyªn hµm c¬ b¶n, c¸c hµm sè s¬ cÊp . • Nếu gặp dạng căn thức đưa về dạng số mũ phân theo công thức: ,( 0) n mn m xxm=≠ • Nếu gặp dạng () n Px x thực hiện phép chia theo công thức: 1 ,( ); ,( ) mm mn nnnm xx x mn mn xxx − − =>= <. • Công thức đổi biến số (loại 2): Tích phân dạng: () ().'() f gx g xdx ∫ Đặt g(x) = u => g’(x)dx = du (())'() () f gx g xdx fudu= ∫∫ . 2. Mét sè d¹ng c¬ b¶n: 1. Sư dơng c«ng thøc c¬ b¶n: 1. Dạng : đặt u = ax + b ⇒ du = adx dx= ()(1,0)ax b dx a α α +≠≠ ∫ ⇒ 1 du a () () 1 ! 1 () 1(1) ax b u ax b dx u du C C aa a α α αα αα + + + += = += + ++ ∫∫ 2. Dạng : đặt () 1 ,( 0, 1) nn ax b x dx a α α − +≠ ∫ ≠ 11 11 1 1 1( () (1) (1) n u=ax nn n nn bduanxdxxdx du an uaxb ax b x dx u du C C an na na αα αα αα −− ++ − +⇒ = ⇒ = + +==+= ++ ∫∫ ) + 3. Dạng: ). cos sin ( 1) axdx α α ≠ − ∫ ( Đặt 1 1 cos sin ) cos sin cos (1) u x du xdx x xdx u du x C αα α α + − =⇒=− ⇒ =− = + + ∫∫ ). cos ( 1) sin xbxdx α α ≠ − ∫ (Đặt 1 1 sin cos sin 1 du=cos xdx sin xux xdxudu x ααα α + =⇒ ⇒ = = + + ∫∫ C 4. Dạng: 1 ln ( 0) dx ax b C a ax b a =++≠ + ∫ Nếu gặp : ()Px ax b + với bậc : làm bài toán chia. () 1Px≥ GV: Ngun Thanh S¬n 1 Chuyªn ®Ị: Nguyªn hµm-TÝch ph©n Lun Thi §¹i Häc vµ Cao §¼ng 5. Dạng: 2 cos ( ) dx x abtgx+ ∫ Đặt 22 111 ;l cos cos ( ) 2 dx co s bdx dx du u a btgx du du a btgx C xxb xabtgxbub =+ ⇒ = ⇒ = = = + + + ∫∫ n 2. Công thức: () '( ) ln u ux u a auxdx adu C a ==+ ∫∫ 3. Công thức đổi biến số (loại 1): Tích phân dạng: ( ) ().'() f gx g xdx ∫ Đặt g(x) = u => g’(x)dx = du (())'() () f gx g xdx fudu= ∫∫ 4. Công thức : 2 2 2 1 ). ln .( 0) 2 ). ln du u a aCa ua aua du buukC uk α − =+≠ −+ =+++ + ∫ ∫ 5. Công thức : 2 22 ln 22 xx k k x kdx x x k C + += + +++ ∫ 3. Mét sè d¹ng th−êng gỈp: 1. Tích phân dạng: 22 22 1). (mx+n)dx dx (mx+n)dx 2). 3). 4). dx ax bx c ax bx c ax bx c ax bx c ++ ++ + ++ ∫∫∫ ∫ + Tuỳ vào mỗi dạng áp dụng các công thức tính tích phân chỉ trong bảng sau: Tử số bậc nhất Tử số hằng số Mẫu số không căn ln du uC u = + ∫ 22 1 ln 2 − = + −+ ∫ du u a C ua aua Mẫu số có căn 2 du uC u = + ∫ 2 2 ln = +++ + ∫ du uukC uk Sử dụng hằng đẳng thức: 222 22 2 ()() 22 22 aa xaxx bb ax bx a x aa +=+ − ⎡ ⎤ ⎛⎞⎛⎞ += + − ⎢ ⎥ ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ GV: Ngun Thanh S¬n 2 Chuyªn ®Ị: Nguyªn hµm-TÝch ph©n Lun Thi §¹i Häc vµ Cao §¼ng 4. TÝch ph©n cđa c¸c ph©n thøc h÷u tØ: 32 ax b A B C cx dx ex x x m x n + =+ + ++ − − Giải dạng này ta có hai cách: − Cách 1: Đồng nhất hai vế: Cho tất cả các hệ số chứa x cùng bậc bằng nhau. − Cách 2: Gán cho x những giá trò bất kỳ. Thường thì ta chọn giá trò đó là nghiệm của mẫu số 5. TÝch ph©n cđa c¸c hµm sè l−ỵng gi¸c: 1. Dạng: cos , , 1). sin , cos n n 11 sin cosaxdx= sinaxdx=- , 2). co s aa n x dx xdx ax C ax C xdx++ ∫∫ ∫ ∫ ∫ Phương pháp:  n = chẵn : hạ bặc 2 2 1cos2 cos 2 1cos2 sin 2 1 sin cos sin 2 2 x x x x x xx + ⎧ = ⎪ ⎪ − ⎪ = ⎨ ⎪ ⎪ = ⎪ ⎩  n lẽ: Viết: 21 2 2 cos cos cos (1 sin ) cos pp p x dx x xdx x dx + ==− Đặt sin cosuxdux=⇒=dx 2. Dạng: sin cos mn uud ∫ u u a. m,n cung chẵn: hạ bậc. b. m,n lẻ (một trong hai số lẻ hay cả hai cùng lẻ).  Nếu m lẻ: Ta viết: thay 1 sin sin sin mm uu − = 1 22 2 2 sin 1 cos (1 cos ) sin m va sin m uuu u − =− = − u  Nếu m, n lẻ: làm như trên cho số mũ nào bé 3. Dạng: hay n tg xdx ∫ cot n gxdx ∫ Chú ý: 22 2 () (1 ) (1 ) cos 2 dx co s dx d tgx tg x dx tg x dx tgx C x x ==+ ⇒ =+ =+ ∫∫  Tương tự: 22 2 (cot ) (1 ) (1 ) sin 2 dx sin dx d gx cotg x dx cotg x dx cotgx C x x = −=−+ ⇒ =+ =−+ ∫∫  Ngoại trừ: sin ln cos cos (u=cosx) xdx tgxdx x C x ==+ ∫∫ Để tính: n tg xdx ∫ Phương pháp: Làm lượng 2 (1)tg x + xuất hiện bằng cách viết: GV: Ngun Thanh S¬n 3 Chuyªn ®Ị: Nguyªn hµm-TÝch ph©n Lun Thi §¹i Häc vµ Cao §¼ng 2222 242 12 * ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 1 nn n n tg x tg x tg x tg tg x tg x −− − =+−++++−++ n − 21 23 2 25 2 2 2 1 * ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) nn n n n tg x tg x tg x tg tg x tgx tg x tgx −− − − − = +− ++++− ++− 4. Dạng: hay 2 (1)tg x dx+ ∫ 2 cos n dx x ∫ Ta viết: 2212 (1)(1)(1) n tg x dx tg x tg x dx − += + + ∫ ∫ Đặt u = tgx 22 (1) (1) 2n (tg x+1) dx n du tg x dx u du − =+⇒ =+ 1 ∫ ∫ Chú ý: 22 2 1 1(1 cos 2n dx , co s n tg x tg x dx ) x x =+ = + ∫∫ 5. Dạng: cos m n cotg x , or sin x m n tg x dx dx x ∫∫ Phương pháp:  Nếu n chẵn : Thay 2 2 222 1 (1 ) ; (1 ) (1 ) ( 1) cos cos m tg nnn mm nn xdx tg x tg x tgx dx tg x tgx tgx dx xx − =+ ⇒ = + = + + ∫∫ ∫ Đặt: 2 2 2 (1 ) m 2 n tg x du=(1+tg x)dx cos x n m u tgx dx u u du − =⇒ ⇒ = + ∫∫  Nếu m lẻ và n lẻ : 1 1 . cos cos cos m n tgx tg x tgx x xx − − = Đặt 1 cos tgx du= cosx udx x =⇒ Thay: 11 21 22 221 111 1(1) (1) cos cos cos cos n tgmx cos x mm n n tgx tgx dx dx u u du xxxx −− − − =−⇒ = − =− ∫∫ ∫ 6. Dạng: sin cos ; sinmxsinnxdx ; cosmxcosnxdxmx nxdx ∫∫∫ p dụng các công thức biến đổi: [] [] [] sin( ) sin( ) cos( ) s( ) cos( ) cos( ) 1 sinmxcosnx= 2 1 sinmxsinnx= 2 1 cosmxcosnx= 2 mnx mnx mnxcomnx mnx mnx •++ •−− •−+ − + + GV: Ngun Thanh S¬n 4 Chuyên đề: Nguyên hàm-Tích phân Luyện Thi Đại Học và Cao Đẳng I. Tính các tích phân bất định. Bài 1: Dùng các công thức cơ bản tính các tích phân sau: 1/ 2 1 (3x 2x )dx x + 2/ 2 x3 dx x 3/ 4 3 2( x )dx x 4/ 3 4 1 (3 x 4 x )dx x + 5/ x x 3 2 e e(2 )dx 3x 6/ x2x3x 2.3 4 dx 7/ cos (1 t ) x gx dx+ 8/ 2 2 (4sinx )dx cos x 9/ 2 x 2cos dx 2 10/ 22 dx cos xsin x Bài 2: Tính các tích phân sau đây: 1/ 2/ 10 x(x 1) dx 2 12 () x1(x1) ++ dx 3/ 2 xx 9dx+ 4/ 22 4 8x dx (x 1)+ 5/ 3. x e dx x 6/ xx dx 2 ln 7/ 8/ sin7x.cos3x.dx 4 cos xdx 9/ 3 sin x dx cos x 10/ 22 cos2x dx sin x.cos x II: Tính các tích phân xác định sau: Phơng pháp : () () () () b a b a f xdx Fx Fb Fa== . 1. Các phơng pháp tính tích phân. áp dụng bảng các nguyên hàm cơ bản, các hàm số sơ cấp . Tính tích phân bằng phơng pháp phân tích. Tính tích phân bằng phơng pháp đổi biến dạng I. Tính tích phân bằng phơng pháp đổi biến dạng II. Tính tích phân bằng phơng pháp đổi biến dạng III. Tính tích phân bằng phơng pháp tích phân từng phần. Tính tích phân bằng phơng pháp sử dụng nguyên hàm phụ. Một số thủ thuật đổi biến khác, tích phân chứa biểu thức giá trị tuyệt đối 2. Chứng minh bất đẳng thức tích phân GV: Nguyễn Thanh Sơn 5 Chuyên đề: Nguyên hàm-Tích phân Luyện Thi Đại Học và Cao Đẳng Để chứng minh bất đẳng thức tích phân , ta thờng sử dụng chủ yếu 4 tính chất sau: với các hàm số f(x), g(x) liên tục trên [a;b] ta có: 1. Nếu [ ] () 0, ; f xxa b thì () 0 b a fxdx 2. Nếu [ ] () (), ; f xgxxab thì () () bb aa f xdx gxdx Dấu đẳng thức chi xảy ra khi f(x) = g(x), [ ] ; x ab 3. Nếu [ ] () , ;mfx Mxab thì () () () b a mb a f xdx M b a 4. () () . bb aa f xdx f x dx Bài 1: Tính các tích phân xác định sau: 1/ 2/ 2 234 0 (3x 2x 4x )dx+ 1 32 1 (x 3x)dx + 3/ 4 x 4 0 (3x e )dx 4/ 2 2 3 1 x2x dx x 5/ 0 2 1 xx5 dx x3 6/ 5 2 dx x1 x2 + 7/ 1 2x x 0 e4 dx e2 + 8/ 3 2 0 4sin x dx 1cosx + 9/ 3 0 sin x.cos3xdx 10/ 2 4 2 6 2tg x 5 dx sin x + 11/ 2 0 cos2x dx sinx cosx 12/ 4 2 0 sin ( x)dx 4 Bài 2: Tính các tích phân có chứa trị tuyệt đối sau: 1/ 2 2 x1dx 2/ 4 2 1 x6x9d+ x 3/ 4 2 1 x3x2d + x 4/ 1 x 1 e1d x GV: Nguyễn Thanh Sơn 6 Chuyên đề: Nguyên hàm-Tích phân Luyện Thi Đại Học và Cao Đẳng 5/ 3 3 (3 x)dx + 6/ 0 2 2 xx1dx + 7/ 0 cosx dx 8/ 3 4 4 cos2x 1dx + 9/ 0 cosx sinxdx 10/ 3 x 0 24d x Bài 3: Chứng minh các BĐT sau: 1/ 3 0 3x1dx+ 6 2/ 1 2 0 45 1 22 x dx + 3/ 2 2 0 dx 12 x1 + 4/ 2 2 4 5 3sinxdx 24 + 5/ 3 4 2 4 dx 432sinx 2 6/ 2 2 0 3 tg x 3dx 42 + 7/ 2 2 sin x 2 0 edxe 2 8/ 22 x1 2x 11 edx edx + 9/ 22 32 00 sin xdx sin xdx 10/ 22 00 sin2xdx 2 sin xdx B: Phơng pháp đổi biến: Phơng pháp: 1. Daùng : 11 (, ) nm R xxdx ẹaởt 1 mn mn-1 x=t dx=mnt dt mn tx= 2. Daùng : 11 (),() nm R ax b ax b dx ++ ẹaởt 1 mn mn-1 mn mn t=(ax+b) ax+b=t dx= t dt a 3. Daùng : dx R(lnx) x ủaởt ln dx du = x ux= () dx R(lnx) x R udu= GV: Nguyễn Thanh Sơn 7 Chuyªn ®Ị: Nguyªn hµm-TÝch ph©n Lun Thi §¹i Häc vµ Cao §¼ng 4. Dạng: đặt x R(e )dx ∫ () du Ru u ⇒⇒⇒ = ∫∫ xx x du u=e du=e dx dx= R(e )dx u 5. Dạng : 2 (, ) R xax bxcdx++ ∫ Đưa tam thức 2 ax bx c + + về dạng: hay. 222 u+m,u-m 2 22 m-u Đổi tích phân thành 1 trong các dạng sau: . 22 22 22 1). R(u, m -u )du 2). R(u, m +u )du. 3). R(u, m -u )du. ∫ ∫ ∫ Nếu dưới dấu tích phân có chứa 22 m-u• đặt 22 u=msint m -u =mcost⇒ 22 m+u• đặt 22 m u=mtgt m +u = cost ⇒ 22 u-m• đặt 22 m u= u -m =mtgt cost ⇒ 6. Dạng : 2 () dx mx n ax bx c++ ∫ + Gặp tích phân này đặt: 1 t= mx+n Bµi 1: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau b»ng ph−¬ng ph¸p ®ỉi biÕn lo¹i I 1/ 1 2 0 2x dx 1x+ ∫ 2/ 4 2 0 x x 9dx+ ∫ 3/ 10 2 dx 5x 1− ∫ 4/ 1 0 x1 xdx− ∫ 5/ 5 0 x. x 4dx+ ∫ 6/ 7 3 0 x dx x1+ ∫ 7/ 5 32 0 x. x 4dx+ ∫ 8/ 2 2 3 3 0 3x dx 1x+ ∫ 9/ 2 x 1 dx 1e − − ∫ 10/ 4 x 1 dx x.e ∫ 11/ tgx 2 4 2 0 e dx cos x π + ∫ 12/ e 1 13lnx dx x + ∫ GV: Ngun Thanh S¬n 8 Chuyên đề: Nguyên hàm-Tích phân Luyện Thi Đại Học và Cao Đẳng 13/ e 2 1 1lnx dx x + 14/ 6 0 1 4si nx.cosxdx + 15/ 4 2 6 1 cotgx(1 )dx sin x + 16/ 2 2 0 cos x.sin2xdx 17/ /6 22 0 sin2x dx 2sin x cos x + 18/ /2 3 2 0 cosx.sin x dx 1sinx + 19/ 8 2 3 1 dx xx 1+ 20/ /3 3 0 cosx.sin x.dx Bài 2 : Tính tích phân bằng phơng pháp đổi biến loại II: 1/ 0 2 1 1 x dx 2/ 3 2 23 0 1 dx (1 x ) 3/ 2 22 1 x4xdx 4/ 1 2 5 dx x4x 7 + + 5/ 2 2 0 4 dx x + 6/ 4/ 3 2 3 2 x4 dx x 7/ 1 2 2 dx xx 1 8/ 6 2 23 dx xx 9 9/ 6 2 1 dx xx1 ++ 10/ 3 2 2 1 93x dx x + 11/ 1/2 1 1x dx 1x + 12/ 2 2 x2 dx x1 + 13/ 1 22 0 dx (x 1)(x 2)++ 14/ 3 2 0 dx x3 + Bài 3 : Tính tích phân các hàm số hửu tỉ: 1/ 2 1 dx x(2x 1)+ 2/ 2 2 1 dx x6x9 + 3/ 2 1 6x 7 dx x + 4/ 1 42 0 x dx xx1++ GV: Nguyễn Thanh Sơn 9 Chuyªn ®Ị: Nguyªn hµm-TÝch ph©n Lun Thi §¹i Häc vµ Cao §¼ng 5/ 4 2 3 x1 dx x3x2 + −+ ∫ 6/ 1 2 0 xdx (x 1)+ ∫ 7/ 6 22 0 sin2xdx 2sin x cos x π + ∫ 8/ 3 2 6 cosx dx sin x 5sinx 6 π π −+ ∫ 9/ 2 0 dx (x 1)(x 2)++ ∫ 10/ 3 2 2 1 93x dx x + ∫ 11/ 1/2 2 0 dx 4x 4x 3−− ∫ 12/ 4 32 4 2 (x x x 1)dx x1 +−+ − ∫ 13/ 2 0 dx (x 1)(x 2)++ ∫ 14/ 2001 2 2001 xdx (x 1)+ ∫ 15/ 1/2 42 0 dx x2x−+ ∫ 1 16/ 1 3 0 3dx 1x + ∫ c: Ph−¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng phÇn: Công thức: . bb b a aa udv uv vdu=− ∫∫ • Công thức cho phép thay một tích phân udv ∫ phức tạp bằng 1 tích phân đơn giản hơn. vdu ∫ • Công thức dùng khi hàm số dưới dấu tích phân có dạng: − Dạng tích số: − Hàm số logaric. − Hàm số lượng giác. * Dạng với f(x) là hàm n xf(x) ,ln,sin,cos. x exxx • Khi tính chọn: − Hàm số phức tạp đặt bằng u. − Hàm số cos tích phân được cho trong bảng tích phân thường dùng làm dv Bµi 1: Dïng ph−¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng phÇn h·y tÝnh: GV: Ngun Thanh S¬n 10 [...]... 2: Tính các tích phân sau: e2 e 1/ ln x x 2 dx 1 3/ ln x dx x 1 2/ 1 e 2 e ln 4/ 1 2 e 5/ (x ln x) dx 2 e 6/ e x sin 2 (x)dx e 8/ 0 9/ 0 (1 + sin x)e x 1 + cos x dx 2 2 10/ 3 D: ứng dụng hình học của tích phân GV: Nguyễn Thanh Sơn x 2 xdx (x + sin x)dx 0 1 7/ x ln xdx 11 x x sin dx 2 1+ x2 dx x2 Chuyên đề: Nguyên hàm -Tích phân Luyện Thi Đại Học và Cao Đẳng Bài 1: Tính diện tích hình phẳng... hình phẳng giới hạn bởi (C) và x4 3 x 2 (C) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục Bài 5: Cho hàm số y = 2 2 hoành Bài 6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng (P): y2 = 4x và đờng thẳng d : 4x - 3y - 4 = 0 Bài 7: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng (P): y2 + x - 5 = 0 và đờng thẳng d :x+y-3=0 Bài 8: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng y = 0 ; y = tgx... 6: Tính các tích phân sau: 5 1/ ( x + 2 x 2 ) dx 3 4 3/ x 2 x 2 e x ( x + 2)2 dx 0 1 2 dx x+5 +4 1 2 5/ 2 2/ 4/ 4 x 2 dx 6/ (4 x 2 0 1 2x 0 0 2 2 x 1).e 2 x dx dx + 5x + 2 1 2 7/ sin 2 x cos x + 1 dx 0 (tgx + e 2 sin x 2 dx 0 4 9/ x ( x + 1) 8/ cosx)dx 10/ 0 Bài 7: Tính các tích phân sau: GV: Nguyễn Thanh Sơn 15 sin x x 0 sin x + 2 cosx.cos 2 2 2 dx Chuyên đề: Nguyên hàm -Tích phân Luyện... Đại Học và Cao Đẳng y = xe x , x = 1 và y = 0 ( 0 x 1 ) khi ta quay quanh (D) quanh Ox Bài 15: Tính thể tích vật thể tròn xoay đợc tạo thành do hình phẳng (D) giới hạn bởi : y = và (0 x ) khi ta quay quanh (D) quanh Ox 2 2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng sau: y = 0; y = x 2 2x và x = -1; x = 2 sinx , y = cosx , x = Bài 16: 1/ y = x 2 4x + 3 và y = x + 3 2/ x2 x2 y = 4 và y =... (e x + 1).e x e 1 x 8/ ln 2 e2 x dx ex 1 2 10/ dx Bài 2: Cho hàm số: f(x) = 0 a + bx.e x ( x + 1)3 1 Tìm a, b biết f(0)=-22 và f ( x)dx = 5 0 Bài 3: Tính các tích phân sau: GV: Nguyễn Thanh Sơn (3x 13 2 1) x 2 + 3x 4 dx Chuyên đề: Nguyên hàm -Tích phân Luyện Thi Đại Học và Cao Đẳng 2 1/ 1 x 2 x dx x e 3 2/ 0 e x2 dx 0 x2 + 1 3/ ln x.dx x 1 (cos 4/ 3 x+ 1 )dx x +1 x 1 5/ 2 x ( x + 1) x +... x+1 Ox và hai đờng thẳng x = 0, x = 1 Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi (H) quay một vòng xung quanh Ox Bài 13: Tính thể tích vật thể tròn xoay đợc tạo thành do hình phẳng (D) giới hạn bởi : y = x , y = 2 - x và y = 0 khi ta quay quanh (D) quanh Oy Bài 14: Tính thể tích vật thể tròn xoay đợc tạo thành do hình phẳng (D) giới hạn bởi : GV: Nguyễn Thanh Sơn 12 Chuyên đề: Nguyên hàm -Tích phân Luyện... giới hạn bởi các đờng (P): y = x2 - 2x + 2 ;tiếp tuyến (d) của nó tại điểm M(3;5) và Oy Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng (P): y = x2 + 2x và đờng thẳng (d): y = x + 2 Bài 3: Cho hàm số y = 3x 2 5x + 5 (C) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) ; tiệm x 1 cận của nó và x = 2 ; x= 3 Bài 4: Cho hàm số y = ( x + 1)( x 2 ) đờng thẳng : x - y + 1 = 0 2 (C) Tính diện tích hình phẳng... 3/ 2 0 5 x.sin xdx 2 sin 6/ 0 GV: Nguyễn Thanh Sơn sin x sin x + cos x dx 4/ 0 14 2 x.cos3 x.dx Chuyên đề: Nguyên hàm -Tích phân 1 + 3ln x ln x dx x e 7/ 1 x x +1 dx 9/ 2 x +4 0 2 Luyện Thi Đại Học và Cao Đẳng 3 x 8/ 1 + x 2 dx 3 0 3 4 10/ x7 1 + x8 2x 4 dx 2 Bài 5: Tính các tích phân sau: 3 1/ x5 + 2 x3 x2 + 1 0 3 2/ dx 0 x3 + 1 ln x.dx x 1 3/ 3 x 2 ( x + 1)e dx tgx cos x 4/ 0 1 + cos... y = cotgx (0 x ) Bài 9: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng (C): x2 + y2 = 8 và đờng (P): y2 = 2x Bài 10: Tính thể tích hình tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đờng : y= 4 và y = -x + 5 quay quanh Ox x x 2 + 3x + 3 Bài 11: Cho hàm số y = (C) Gọi (H) là phần hình phẳng giới hạn bởi (C) x+2 trục Ox và hai đờng thẳng x = -1 , x = 0 Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi (H)... x.dx 0 1 dx 10/ (1 x 2 )3 dx 0 Bài 3: Tính các tích phân sau: 3 x7 1 + x8 2 x4 dx 2 2 1/ 3 3 ( cos x sin x )dx 2/ 0 e 3/ x e 2 2 ln xdx ln x dx x3 1 4/ 1 4 cos x 3sin x + 1 5/ dx 4sin x + 3cos x + 5 0 9 2 2 7/ 0 3 x +1 dx 3x + 2 x 6/ 1 xdx 1 1 (x 8/ 2 + 2 x)e x dx 0 6 1 + tg 4 x dx 9/ 0 cos2x 3 x3 dx x +1 + x + 3 3 10/ 3 1 Bài 4: Tính các tích phân sau: 2 1/ 0 xdx 2+ x + 2 x 2 x 2/ 1 . 4 Chuyên đề: Nguyên hàm -Tích phân Luyện Thi Đại Học và Cao Đẳng I. Tính các tích phân bất định. Bài 1: Dùng các công thức cơ bản tính các tích phân sau:. Tính tích phân bằng phơng pháp đổi biến dạng III. Tính tích phân bằng phơng pháp tích phân từng phần. Tính tích phân bằng phơng pháp sử dụng nguyên