NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ VÔ TỈ.Bài toán 1: Xác định nguyên hàm các hàm số vô tỉ dựa trên tam thức bậc hai... Đưa về tích tích phân bất định đối với hàm hữu tỉ.. Mà tích phân này đã được h
Trang 1NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ VÔ TỈ.
Bài toán 1:
Xác định nguyên hàm các hàm số vô tỉ dựa trên tam thức bậc hai.
Một số công thức thường được dùng trong phần này:
x a
x adx x a x x a C
Mở rộng công thức 4 và 5:
a
a
Chú ý:
Dạng a x b12 1 dx
ax bx c
B1:
Biến đổi: a x b1 12ax b .
2a x b
Đồng nhất hệ số ta có: 1
1
( trong đó a b a b đã biết.)1 1; ; ;
B2:
Giải hệ phương trình trên tìm ;
B3:
2ax b
a x b
2ax b2 dx 2dx
Trang 2Đặt
2ax b
ax bx c dx I
ax bx c
B4:
+ Tính 1 2
2ax b
ax bx c
Đặt t ax 2 bx c dt 2ax b dx .
Từ đó suy ra: I1 dt 2 t C
t
2 ax2 bx c C
+ Tính 2 2
dx I
ax bx c
Biến đổi:
2 2
b
ax bx c a x
Tuỳ thuôc vào dấu của a và mà ta có tích phân I thuộc dạng cơ bản 2;4;5;6;72
Bài tập áp dụng:
Tính các tích phân bất định sau:
dx
x x
1
x
dx
2 2
2
dx
1
dx
x x
2 2
1
dx
2 4
1 1
x
dx
x x
1
x
dx
x
dx
10/
2
2
2
dx
1 2
dx
x x
3 4
dx
x x
2
2 2
x x
1 4
dx
x x
2
1
x dx
2
1
dx x
2
4
x
2
4
x
2
1 1
x
2
1 1
x
Bài toán 2:
Xác định nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến.
Dạng 1:
Trang 3Tính tích phân bất định các hàm hữu tỉ đối với x và n ax b
cx d
có dạng:
,n ax b
cx d
Phương pháp giải:
B1: Thực hiện phép đổi biến:
n ax b
t
cx d
n n
n
Từ đó suy ra: dx?dt
B2:
Thay biến x bởi t Đưa về tích tích phân bất định đối với hàm hữu tỉ Mà tích phân
này đã được học từ tiết trước.
Bài tập áp dụng:
Tính các tích phân bất định sau:
1/
3
dx
x x
x
dx
x x
1
xdx
x
4/
xdx
x
x x
1
dx x
7/
dx
x x
1
x dx x
xdx x
10/
9
dx
x x
1
xdx x
2
2 1
x dx x
dx x
1
dx
x
16/ x 3x dx2
Dạng 2:
Tính tích phân bất định các hàm hữu tỉ đối với x và ax2 bx c có dạng:
I R x ax bx c dx
Phương pháp ( Sử dụng phương pháp Euler):
Ta xét các trường hợp sau:
1/ Nếu a>0 đặt ax2 bx c t x a hoặc t x a
2/ Nếu c>0 đặt ax2 bx c tx c hoặc tx c
3/ Nếu tam thức ax2 bx c có biệt số 0 thì ax2 bx c a x x 1 x x 2 Khi đó
1
ax bx c t x x .
Bài tập áp dụng:
Tính các tích phân bất định sau:
Trang 41/ x2 4 x dx2 2/ 2x x dx 2 3/ x x 2dx
1
dx
x x x
dt
x x
2
2
x dx
dx
dx
x x x
1
dx
x x x
10/
2 2
dx
Dạng 3:
Tính tích phân bất định:
2
1 1
dx I
a x b ax bx c
Phương pháp giải.
Bước 1: Thực hiện phép đổi biến:
1
1
t
a x b
ax b 1 pdx dt2
a t
Khi đó:
1 1 2
dx I
a x b ax bx c
2
dt
Sau khi rút gọn ta được: 2 2
2
dt
t
a t b t c dt
t
a t bt c
B2: Tính các tích phân vừa tìm được.
Bài tập áp dụng:
Tính các tích phân bất định sau:
1/
1 2 2 2
dx
x x x
1 2 2 2
dx
x x x
1 2 4 5
dx
x x x
4/
2 3 2 3 1
dx
x x x
2 2 4 3
dx
x x x
1 2 3 2
dx
x x x
7/
2 1 2 2 2
dx
x x x
dx
x x x
Dạng 4:
Tính tích phân bất định sau:
1 1 2
a x b
a x b ax bx c
Trang 5Phương pháp giải:
B1:
Biến đổi: a x b1 1 a x b2 2
a x b2 2
Đồng nhất hệ số: 2 1
( trong đó: a a b b là các hằng số ).1; ; ;2 1 2
Giải hệ phương trình trên tìm ,
1 1 2
1 1
a x b
a x b ax bx c
1 1
dx
dx
B3: Tính 1 2
dx I
ax bx c
1 1
dx I
a x b ax bx c
Dễ thấy I I là hai dạng tích phân đã được nói đến ở phần trên.1; 2
Bài tập áp dụng:
Tính các tích phân bất định sau:
2
2
2
2
2
2
x
dx
2
2
x
dx
x x
2
x x
2
BÀI TẬP PHẦN TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
3
2
5 x x2 4
dx
2
2
3
dx
3
2 1
2
1 ( 2x 3 ) 4x2 12x 5
dx
4
2
1 x x3 1
dx
2
1
2
1 x2 2008
dx
1
0
2
2 1 x dx
1
0
3
2 ) 1 ( x dx 9
3
1 2 2
2
1
1 dx
x x x
10
2
2
1
dx x
1
0 ( 1 x2)3
dx
12
2 2
0 ( 1 x2)3
dx
Trang 613
1
0
2
1 x dx 14
2 2
2
1 x
dx
2
cos
x xdx
2
0
2
cos cos
sin
dx x x
2
cos
x
2
sin 2 sin
dx x
x x
19
7
3
1 x
dx
x
3
0
2
3 10 x dx
1
0 2x 1
xdx
22
1
0 2
3
1
x
x
dx
x
7
dx
1
0
8
15 1 3
25
3
ln
0 e x 1
1
1 1 x x2 1
2 ln
0
2
1
x x
e
dx e
1
4
5
4
e
dx x
x x
1
ln ln 3 1
31
3
0 2
3 5
1 x dx
x x
32 x x x dx
4
0
2
3 2 33
0
1
3
3 ln
2 ln
2
1 ln
ln
dx x x x
35
3
0
2
2
cos
3 2 cos
2
cos
dx x
tgx x
x
36
2 ln
0 ( x 1 )3
x
e
dx e
3
cos
x xdx
38
2
cos
x
x
x
7
0 3 3
2
a
dx a x
2
0
2 2