http://toancapba.com , học toán và ôn thi miễn phí, Võ Trọng Trí toancapba@gmail.com 1 TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈ Để tính tích phân hàm vô tỉ, ta phải làm mất dấu căn bằng các phép đổi biến..
Trang 1http://toancapba.com , học toán và ôn thi miễn phí, Võ Trọng Trí toancapba@gmail.com 1
TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈ
Để tính tích phân hàm vô tỉ, ta phải làm mất dấu căn bằng các phép đổi biến. Sau đây ta sẽ xét vài dạng
cơ bản của loại tích phân này.
1) Dạng ( 2 2 )
f a - x dx
ò
2 2
x a t t é p pù
ë û , Þdx= acos tdt
Và a2-x2 = a2-a2sin2 t =a cost = acos t
Vậy tích phân ban đầu trở thành : ( 2 2 ) ( )
cos sin
f a -x dx= f a t a tdt
Ví dụ 1:
2
2
0
4
A=ò - x dx
2 2
2
Vậy :
4 4 sin 2 cos 4 cos
2
0
sin 2
0
t
t dx t
p
p p
ò
Ví dụ 2:
1
2
2
1 2
dx
B
x x
-
-
=
- -
ò
Ta có :
B
2 2
Vậy :
2
cos
6
6
tdt
t
p p
-
2) Dạng 2: ( n ) , n ax b
cx d
æ + ö
ç + ÷
n
n
-
-
Ví dụ 3:
3
2
0
1
2 1
x
x
+
=
+
ò
Đặt
2
1
2 1
2
t
t= x+ Þx= - Þdx= tdt
2
Trang 2http://toancapba.com , học toán và ôn thi miễn phí, Võ Trọng Trí toancapba@gmail.com 2
2
2
1
1
t
t
t
-
Ví dụ 4:
0
3
1
1
1
x
x
-
=
+
ò
3
3
3
( )
2
2
3
6
1
t
dx
t
-
Đổi cận : x= Þ =1 t 0,x=0Þ = - t 1
Vậy :
( )
1 3
2
3
0
6
1
t
t
-
=
-
ò , tích phân này giải bằng cách phân tích ( xem tích phân hàm hữu tỉ )
Chú ý thêm : Ta có thể mở rộng thành ( n ) '
f au+ b u du
ò
Ví dụ 5:
6
2
2 sin 1 sin 2
p
p
Ta thấy :
2 sinx 1 sin 2xdx 2 2sinx 1sin cos x xdx
Do đó ta đặt :
2
1
2
t
3
0
2
1
i= tæç + ö÷tdt = t +t dt =æç + ö ÷ = -
Bài tập luyện tập
1)
0
1
1
2
x
A
x
-
+
=
+
ò
2
1
B=ò x- x+ dx ( Hướng dẫn : Viết dạng ( )
2
1
1
2
2
x
x
-
+
2
x
t
x
-
= + ) Tổng quát dạng ò ax2+bx cdx+ ,D =b2 -4ac ³ 0
3)
1
2
0 1 1
dx
C
x
=
1
0 1
x
= + +
ò
4
sin cos
3 sin 2
D
x
p
p
-
-
=
-
2 2
1 1 1
x
dx
x + -
ò
7)
2
6
cos cos 2
p
p
2
2sin 1 cos 2 sin sin sin cos
sin
x
x
-