CMR: Hàm số 1 luôn có cực ñại và cực tiểu.. Xác ñịnh các giá trị của m ñể hàm số 1 ñạt cực ñại và cực tiểu tại các ñiểm có hoành ñộ dương.. Tìm toạ ñộ ñiểm C trên ñường thẳng d sao cho t
Trang 1KỲ THI KSCL THI ðẠI HỌC NĂM 2011 LẦN THỨ 1
ðỀ THI MÔN TOÁN 12 KHỐI D
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao ñề
-
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 ñiểm)
Câu I (2,0 ñiểm)
Cho hàm số y= x3 - 3(m + 1)x2 + 3m(m + 2)x + 1 (1) (m là tham số thực)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số (1) khi m= 1
2 CMR: Hàm số (1) luôn có cực ñại và cực tiểu Xác ñịnh các giá trị của m ñể hàm số (1) ñạt cực ñại và cực tiểu tại các ñiểm có hoành ñộ dương
Câu II (2,0 ñiểm)
1 Giải bất phương trình: x2 + 2x2 + 4x+ 3 ≥ 6 − 2x
2 Giải phương trình: sin2x - 2 2(sinx + cosx) -5=0
Câu III (1,0 ñiểm)
Tính tổng: S=
! 1
! 2010
1
! 3
! 2008
1
! 2005
! 6
1
! 2007
! 4
1
! 2009
! 2
Câu IV (1,0 ñiểm)
Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác vuông tại A, AB =a, AC =a 3, DA =DB =DC Biết rằng DBC là tam giác vuông Tính thể tích tứ diện ABCD
Câu V (1,0 ñiểm)
CMR: Với mọi x, y, z dương thoả mãn xy + yz + zx = 3 ta có:
1 ) )(
)(
(
4 2
+ + +
+
x z z y y x xyz
II PHẦN RIÊNG (3,0 ñiểm)
Thí sinh chỉ ñược làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
A Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2,0 ñiểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ toạ ñộ Oxy, cho 2 ñiểm A(5;-2), B(-3;4) và ñường thẳng d có phương trình: x - 2y + 1 = 0 Tìm toạ ñộ ñiểm C trên ñường thẳng d sao cho tam giác ABC vuông tại C Viết phương trình ñường tròn ngoại tếp tam giác ABC
2 Trong mặt phẳng (P), cho hình chữ nhật ABCD có AB=a, AD=b S là một ñiểm bất kỳ nằm trên ñường thẳng At vuông góc với mặt phẳng (P) tại A Xác ñịnh tâm, bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD và tính thể tích khối cầu ñó khi SA=2a
3
12
+
x y
6
3
12
+
x y
B Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2,0 ñiểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ toạ ñộ Oxy, cho tam giác ABC có ñỉnh A(-2;3), ñường cao CH nằm trên ñường thẳng: 2x + y -7= 0 và ñường trung tuyến BM nằm trên ñường thẳng 2x – y +1=0 Viết phương trình các ñường thẳng chứa các cạnh của tam giác ABC
2 Cho hình chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác ñều cạnh a, SAB là tam giác ñều và mp(SAB) vuông góc với mp(ABC) Xác ñịnh tâm, bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC và tính thể tích khối cầu ñó
Câu VII.b (1,0 ñiểm)
Giải phương trình ex = 1+ ln(1+x)
-Hết -
Thí sinh không ñược sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh:……… …… ; Số báo danh:………
Trang 2đÁP ÁN - THANG đIỂM
đỀ THI KSCL THI đẠI HỌC NĂM 2011 LẦN THỨ 1
MÔN: TOÁN 12; KHỐI D
(đáp án - Thang ựiểm gồm 05 trang)
2,0
Khi m=1, ta có hàm số y = x3-6x2+9x+1
* TXđ: R
* Sự biến thiên
- Chiều biến thiên: y' = 3x2 -12x + 9 y' = 0 <=> x =1 hoặc x =3
0,25
Hàm số ựồng biến trên các khoảng (-∞ ; 1 ) và (3 +∞; ); Nghịch biến trên khoảng (1; 3)
- Cực trị: Hàm số ựạt cực ựại tại x =1; yCđ=5 Hàm số ựạt cực tiểu tại x =3; yCT=1
- Giới hạn: =ổ∞
ổ∞
xlim
0,25
- Bảng biến thiên:
x -∞ 1 3 +∞
y' + 0 - 0 +
+∞
5
y
-∞
1
0,25 1
(1,0 ựiểm) * đồ thị:
y 5
1
0 1 3 4 x
0,25 * Ta có: y' = 3x2 - 6 (m+1)x + 3m(m+2) y' = 0 <=> x2 - 2(m+1)x + m(m+2) = 0(2) => ∆ '=(m+1)2 - m(m+2)=1 > 0, ∀m 0,25 Vậy phương trình y'=0 luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m Do ựó hàm số (1) luôn có cực ựại và cực tiểu 0,25 * Hàm số (1) ựạt cực ựại và cực tiểu tại các ựiểm có hoành ựộ dương
<=> (2) có 2 nghiệm dương phân biệt <=> P > 0 S > 0 0,25 I 2
(1,0 ựiểm) m(m+2) > 0 <=> <=> m > 0 2(m+1) > 0
0,25
Trang 32,0
BPT ñã cho <=> x2 + 2x - 6 + 2x2+ x4 + 3 > 0 ðặt t = 2x2+ 4x+ 3 = 2 (x+ 1 )2+ 1 => ñiều kiện t >1 0,25 BPT trở thành:
6 0
2
3
2
≥ +
−
−
t t
<=> t2 + 2t - 15 >0 0,25
<=> t >3
t <-5 (loại vì trái ñiều kiện)
0,25
1
(1,0 ñiểm)
Vậy: 2x2 + 4x + 3 > 9 <=> x2 + 2x - 3 > 0 <=> x > 1
x < -3
0,25
PT ñã cho <=> (sinx + cosx)2 - 2 2 (sinx + cosx) - 6 = 0
0,25 <=> sinx + cosx = - 2
<=> 2sin 2
4 = −
+π
x
2sin 3 2
4=
+π
x => vô nghiệm
0,25
II
2
(1,0 ñiểm)
<=> π π 2π
2
x+ = − + <=> 2 ( )
4
3
Z k k
1,0
Ta có
2011!S=
! 1
! 2010
! 2011
! 3
! 2008
! 2011
! 2005
! 6
! 2011
! 2007
! 4
! 2011
! 2009
! 2
!
2011 2008 2011 6
2011 4
2011 2
0,25
Khai triển
2011 2010 2010 2011 2
2 2011 1
2011 0
Chọn x = -1 ta có:
2011 3
2011 1
2011 2010 2011 2
2011 0
2011 2
2011 1
2011 0
III
2011 4
2011 2
2011 0
C
Vậy S =
! 2011 1
Trang 41,0
D Gọi M là trung ñiểm của BC
Ta có: MA=MB=MC Mà: DA=DB=DC (gt) B Suy ra: DM ⊥ (ABC) C M
a
A
Hình
vẽ 0.25
0,25
Có ∆DBC vuông cân tại D nên
DM = BC= a + a = .2a=a
2
1 3 2
1 2
IV
6
3 2
3 3
1
3
1
a a
a a S
1,0
Áp dụng BðT Côsi ta có:
= + + +
≥ + + +
+
) )(
)(
( 2
4
2 ) )(
)(
(
4 2
1
x z z y y x xyz x
z z y y x xyz
=
) )(
)(
(
2 2
xy yz xz xy yz
0,25
3
) (
2 ) )(
)(
(
3 xz+yz xy+xz yz+xy ≤ xy+yz+zx =
=> (xz+yz)(xy+xz)(yz+xy) < 8
0,25
8
2 2 ) )(
)(
(
4 2
+ + +
+
x z z y y x
V
Dấu "=" xẩy ra <=>
) )(
)(
(
4 2
1
x z z y y x
xz + yz = xy + xz = yz +xy <=> x = y = z = 1 xy+ yz + zx = 3
0,25
2,0
Giả sử C=(xo;yo)
Vì CA ⊥ CB nên CA.CB=0 <=> (5 - xo)(-3 - xo) + (-2 - yo)(4 - yo) = 0 <=> x02− 2x0+y02− 2y0− 23 = 0 (2)
0,25
VI.a
1
(1,0 ñiểm)
Thế (1) vào (2) ta có: y02− y2 0− 4 = 0 <=> y0 = 1 − 5 =>x0= 1 − 2 5
y0 = 1 + 5 =>x0 = 1 + 2 5 Vậy có 2 ñiểm thoả mãn ñề bài là: C1 = ( + 1 2 5; 1 + 5) C2 = ( − 1 2 5; 1 − 5 )
0,25
a 3
Trang 5ðường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I(1;1) là trung ñiểm AB và bán
2
10
AB
Vậy phương trình ñường tròn ñó là:
25 ) 1 ( ) 1 (x− 2+ y− 2 =
0,25
Gọi O là giao ñiểm hai ñường chéo AC và BD của hình chữ nhật S
ABCD Qua O kẻ ñường thẳng
song song với SA cắt SC tại ñiểm I
Ta có:
OI ⊥(ABCD) vì SA ⊥ (ABCD) A I
=> OI là trục của ñường tròn ngoại tiếp D hình vuông ABCD O => IA = IB = IC = ID (1) B C Mà OI là ñường trung bình của ∆SAC => IS = IC (2) Từ (1) và (2) => I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Hình vẽ 0,25 0,25 Do ñó bán kính mặt cầu ñó là: R= 2 5 2 4 2 2 ¸SC SA2 AC2 a2 a2 b2 a2+b2 = + + = + = 0,25 2 (1,0 ñiểm) Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là: V= 6 5 ) 5 ( 8 ) 5 ( 3 4 3 4 3 a2 b2 3 a2 b2 a2 b2 R + + = + = π π π (ñvtt) 0,25 1,0 ðiều kiện x>0, y>0, x+3y≠0 Hệ ñã cho tương ñương với
x x y 2 3 12 1 = + − 1 + 3 =1 y x
y x y 6 3 12 1 = + +
x y y x 3 12 3 1 + − = −
0,25 Suy ra x y y x 3 12 9 1 + − = − => y2 + 6xy - 27x2 = 0 0,25 => 6 27 0 2 = − + x y x y <=> = 3
x
y
hoặc = − 9
x
y
VII.a
Với y = 3x thế vào PT ñầu của hệ ñã cho ta có: x – 2 x- 2 = 0 <=> x = (1+ 3 ) 2 => y = 3 (1+ 3 ) 2
0,25
2,0
ðường thẳng chứa cạnh AB ñi qua A (-2;3) và nhận véctơ chỉ phương
CH
u = (-1;2) của ñường CH làm véctơ pháp tuyến nên có phương trình là:
- 1(x+2) + 2(y-3) = 0
<=> - x + 2y - 8 = 0
0,25
VI.b
1
(1,0 ñiểm)
Toạ ñộ ñiểm B là nghiệm hệ:
= +
−
=
− +
−
0 1 2
0 8 2
y x
y x
=> B = (2; 5)
0,25
Trang 6Giả sử ñỉnh C = (xo; yo) => M = ;
2
2
0
x −
+ 2
3
0
y
Vì C ∈ CH nên 2xo + yo - 7 = 0 (1)
2
3 2
2
2 x0− − y0+ + = <=> 2xo - yo - 5 = 0 (2)
0,25
Giải hệ (1), (2) ta có:
=
= 1
3
0
0
y
x
Vậy C= (3; 1)
Phương trình ñường thẳng AC là: 2x + 5y -11 =0 Phương trình ñường thẳng BC là: 4x + 5y -13 =0
0,25
Gọi H là trung ñiểm AB => SH ⊥ (ABC) S Gọi I là trọng tâm ∆ABC, J là trọng tâm∆SAB
và O là ñiểm sao cho OIHJ là hình vuông
Ta có:
OA=OB=OC (Vì OI là trục của ñường tròn B ngoại tiếp ∆ABC) J O OS=OA=OB (vì OJ là trục
của ñường tròn ngoại tiếp∆SAB ) H I Vậy O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC C
A
Hình
vẽ 0,25
0,25 Bán kính mặt cầu là:
R=OA=
6
15 2
3 9
5 3
2 3
2
CH SH
IA
=
+
=
2
(1,0 ñiểm)
3 3
54
15 5 6
15 3
4 3
4
a a
1,0
Xét hàm số: f(x) = ex - ln(1+x) - 1 trên khoảng (-1; +∞)
Ta có: f'(x)= ex -
x
+ 1
1 ; f''(x) = ex + 0
) 1 (
1
2 >
+ x , ∀ ∈x (-1; +∞)
Suy ra f'(x) ñồng biến /(-1; +∞)
0,25
Vì f'(0) = 0 nên f'(x) > 0 , ∀x >0
f'(x)<0, ∀x <0
Ta có bảng biến thiên: x -1 0 +∞
f' (x) - 0 + f(x)
0
0,25
VII.b
Dựa vào bảng biến thiên ta có: f(x) =0 <=> x = 0 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất: x = 0 0,25
-Hết -
Thí sinh làm theo cách khác ñúng vẫn ñược cho ñiểm tối ña theo thang ñiểm của phần ñó