Hàm số mũ và logarit

Ví dụ 2:Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau:a... đạo hàm của hàm số lôgarit3.. đạo hàm của hàm số mũ và hàm số logarit... đạo hàm của hàm số lôgarit3.. đạo hàm của hàm số mũ và hàm số logari

1.Khái niệm hàm số mũ và hàm số lôgarit.

+) Hàm số dạng y=ax : hàm số mũ cơ số a (hàm số mũ) Với a là một số d ơng và khác 1

+) Hàm số dạng y=logax : hàm số logarit cơ số a (hàm số lôgarit)

b Chú ý:

y=logx (hoặc lgx) :hàm số lôgarit cơ số 10

y=lnx : hàm số lôgarit cơ số e

y=ex : còn kí hiệu là y=exp(x)

a định nghĩa (sgk/101)

2 Một số giới hạn liên quan đến hàm số mũ và hàm số lôgarit

2.1.Hàm số y=ax liên tục trên R

Hàm số y=logax liên tục trên R*

+

Ví dụ 1:

Tính các giới hạn sau:

x

a

1

lim

)

+∞

>

lim

)

>

x c

x

sin log

lim

)

0

>

−

2.2 định li 1:(sgk/102)

1

) 1

ln(

lim

>

x

x

1

1 lim

>

x

3 đạo hàm của hàm số mũ và hàm số logarit.

3.1 đạo hàm của hàm số mũ:

a)hàm số y=ax có đạo hàm tại mọi điểm x ∈ Rvà

( ax )’= ax.lna; Nói riêng ta có (ex)’= ex

b)Nếu hàm số u=u(x) có đạo hàm trên J thi hàm số y=au(x) có

đạo hàm trên J và

( au(x) )’= u’(x) au(x).lna;

Nói riêng ta có ( eu(x) )’= u’(x) eu(x).

Ví dụ 2:Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau:

a y =(x 2 +1)e x

b y = (x+1)e 2x

c y = e x sinx

a)hàm số y=ax có đạo hàm tại mọi điểm x ∈ Rvà

( ax )’= ax.lna; Nói riêng ta có (ex)’= ex

b)Nếu hàm số u=u(x) có đạo hàm trên J thi hàm số y=au(x) có

đạo hàm trên J và

( au(x) )’= u’(x) au(x).lna;

Nói riêng ta có ( eu(x) )’= u’(x) eu(x).

3.2 đạo hàm của hàm số lôgarit

3 đạo hàm của hàm số mũ và hàm số logarit

a)hàm số y= logax có đạo hàm tại mọi điểm x ∈ R+* và (logax)’ = ; Nói riêng ta có (lnx)’=

b)Nếu hàm số u=u(x) nhận giá trị d ơng và có đạo hàm trên J thi hàm số y= loga u(x) có đạo hàm trên J

và (loga u(x))’=

Nói riêng ta có (lnu(x))’=

a ln x

1

x 1

'( ) ( ) ln

u x

'( ) ( )

u x

u x

Ví dụ 3:

a Tính đạo hàm của hàm số y= ln(x2-x+1)

b CMR [ln(-x)]’=1/x với mọi x<0

a)hàm số y= logax có đạo hàm tại mọi điểm x ∈ R+* và (logax)’ = ; Nói riêng ta có (lnx)’=

b)Nếu hàm số u=u(x) nhận giá trị d ơng và có đạo hàm trên J thi hàm số y= loga u(x) có đạo hàm trên J

và (loga u(x))’=

Nói riêng ta có (lnu(x))’=

a ln x

1

x 1

'( ) ( ) ln

u x

'( ) ( )

u x

u x

3.2 đạo hàm của hàm số lôgarit

3 đạo hàm của hàm số mũ và hàm số logarit

Hệ quả:

a) với mọi x khác 0

b) Nếu hàm số u=u(x) nhận giá trị khác 0 và có đạo hàm trên J thi với mọi x khác 0

, 1 (ln )x

x

=

'( ) (ln ( ) )'

( )

u x

u x

u x

=

4 Sự biến thiên và đồ thị của hàm số mũ và hàm số logarit

4.1.Hàm số y= ax

a.Tr ờng hợp a>1:

Bảng biên thiên

+

- +

∞

1 0

0

? Dựa vào fần a)

- Nêu kết luận về đ ờng tiệm cân ngang của đồ thị hàm số y=ax

-Lập bảng biên thiên của hàm số y=ax với 0<a<1

b.Tr êng hîp 0<a<1:

Ghi nhớ:

Hàm số y=a x

+) có tập xác định là R và tập giá trị là khoảng (0; )

+) đồng biên trên R khi a>0, nghịch biến trên R khi

0<a<1;

+) Có đồ thị

-đi qua điểm (0;1)

- nằm ở phía trên trục hoành,

-Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang,

+∞

a>1

0<a<1

4.2.Hµm sè y= logax

a>1

4.2.Hµm sè y= logax

0<a<1

4.2.Hµm sè y= logax

VÝ dô 4: lËp b¶ng biÕn thiªn cña

hµm sè y=logax

Th1: a>1

Th2: 0<a<1

* Có tập xác định là khoảng (0; ) và tập giá trị là R

* đồng biến trên khoảng (0; ) khi a>1, nghịch biến trên khoảng (0; ) khi 0<a<1;

*Có đồ thị :

+) đi qua điểm (1;0)

+) Nằm ở bên phải trục tung,

+) Nhận trục tung làm tiệm cận đứng.

+00

+00

+00

Ghi nhớ: Hàm số y= logax

* Có tập xác định là khoảng (0; ) và tập giá trị là R

* đồng biến trên khoảng (0; ) khi a>1, nghịch biến trên khoảng (0; ) khi 0<a<1;

*Có đồ thị :

+) đi qua điểm (1;0)

+) Nằm ở bên phải trục tung,

+) Nhận trục tung làm tiệm cận đứng.

+00

+00

+00

a>1

M M’

0<a<1

-Cñng cè bµi tËp vÒ nhµ:

-Bµi tËp sgk/112 vµ 113

Xin ch©n thµnh c¶m ¬n c¸c thÇy c« gi¸o vµ c¸c em häc

sinh