căn bậc hai của số phức

1 Căn bậc hai của số phứcCho số phức w.

Câu 1: Tìm căn bậc hai của

a) 4 b) 5

C©u 2: Chøng minh r»ng víi z2 = w

1) Căn bậc hai của số phức

Cho số phức w Mỗi số phức z thoả mãn được gọi

là một căn bậc hai của w

2

z = w

Như vậy: Mỗi căn bậc hai của w là một nghiệm của phương trình

(với z là ẩn )

z − = w

Làm thế nào để tỡm căn bậc hai của số

phức w ?

a) Trường hợp w là số thực

- Căn bậc hai của 0 là 0

- Xột số thực

2

z = a

0 ì z ( )( ) đó z a =0

ậy

0 ì z a

a có hai căn bậc hai là a à

a có hai căn bậc hai là à

= z ( ) ( )( )

đó z 0

V

z a i

z

a i v a

a i

i

V



= −



 = −

= − −

−

− −



−



Vớ dụ 1: Tỡm căn bậc hai của a) – 9

2

b − a a R a ∈ ≠

b) Trường hợp w là số phức w = a + bi

ọi z= x + yi ( x, y R ) là căn bậc hai của w

Ta có z = w (x + yi)

2

2

(*) 2

ải hệ (*) tìm cặp (x; y) ; Mỗi cặp (x;y ) cho ta một căn bậc hai

G

a bi

x xyi y i a bi

x y xyi a bi

x y a

xy b Gi

∈

 − =



x + yi của số phức a + bi

2 2 2

) ọi số phức x + yi (x, y R ) là căn bậc hai của số phức - 8 + 6i Khi đó : ( x + yi ) 8 6 2 8 6

8 (1)

2 6 (2)

6 3

ừ phương trình ( 2) y = , ào phương trình (1 )

2x

a G

i x y xyi i

x y xy

x

∈

⇔ 

=



=

2

2

1 9

9

Ta có hệ 3

1 1; 3

ậy có hai căn bậc hai của -8 + 6i là 1 + 3i và -1 - 3i

x

y

x y

y x V

 =

=



Vớ dụ 2: Tỡm căn bậc hai của số

a) -5 + 6i b) - i

2 2 2

2 2

) ọi số phức x + yi (x, y R ) là căn bậc hai của số phức - i Khi đó : ( x + yi ) 2

0 (1)

-1

ừ phương trình ( 2) y = , ào phương trình (1 )

2x

Ta có hệ

b G

xy

x

∈

⇔ 

= −



⇔

2 2

2 2

2

2

2

1

1 4

2

2

2

;

ậy có hai căn bậc hai của - i là à

x x

y

y

x

x

x

 =



=



−





Ví dụ 3 :

1 2

Õt z 2 µ mét c¨n bËc hai cña w 3 4

3 2 µ mét c¨n bËc hai cña w 5 12

·y t×m c¸c c¨n bËc hai cña w w

H

2

1 2

¶ lêi:

Ta cã (z ) w w ¸c c¨n bËc hai cña w w µ z

Ëy hai c¨n bËc hai cña w w µ z (2 )(3 2 ) 4 7

µ - z 4 7

Tr

= + + = +

= − −

Một số phức

Có mấy căn bậc hai và các căn bậc hai đó có

tính chất gì?

- Mọi số phức có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau khác 0

0

z ≠

0

z ≠

-§Æc biÖt: è thùc a >0 cã hai c¨n bËc hai lµ a vµ - a

è thùc a < 0 cã hai c¨n bËc hai lµ -a µ - -a

S

−

−

- Số 0 có đúng một căn bậc hai là 0

- ố 0 có căn bậc hai bằng 0

- Mọi số thực a > 0 có đúng hai căn

bậc hai là hai số đối nhau a à -

ăn bậc hai của số thực

a

ọi số thực a < 0 khô

có tín

ng

h chất

có căn bậc hai

S

v M

C

−

- Số 0 có căn bậc hai là 0

- Mọi số phức w 0 có đúng hai căn bậc hai

là hai số đối nhau

:

w > 0

- Nếu (R C ) thì w có đúng

ăn bậc hai của số phức:

Đặc biệt

hai

w R căn bậc hai là hai số đối nhau là w

C

v

≠

 ∈



à - w

w < 0

ếu (R C ) thì w có đúng hai

w R căn bậc hai là hai số đối nhau -w à - -w

N

i v i



Nội dung cần ghi nhớ

-Khái niệm căn bậc hai của một số

Cách tìm căn bậc hai của số z C ∈

z C ∈