CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
I : Đổi Biến Số
Nếu hàm số có mẫu: đặt
t = mẫu
1/
2
x dx
I
x
2/I =
2x
ln 5
x
ln 2
e
dx
e 1
3/
4
0
1
2 1
x
4/ I =2
0
sin 2x.cos x
dx
1 cos x
5/I =2
0
sin 2x sin x
dx
1 3cos x
0
1 2sin x
dx
1 sin 2x
7/I =
3
2
0
x 2x dx
8/I =
3
2 4
tgx
dx cos x 1 cos x
2 Nếu hàm số có căn đặt
t = căn
1 )
22 3 3
1
3 5
I x dx
2)
1
0
2
I x x dx
3) 1
1 ln
e
x
x
4/I =
2 1
0
x
dx (x 1) x 1
5) 4
0
1
2 1
x
6) 1
xdx I
x
7)
2 3
2
dx I
x x
8/I =
4
2 2
1
dx
x 16 x
9*/I =
6
2
2 3
1
dx
x x 9
10/I =
2
1
x 4 x dx
9/I =
1
2 0
x dx
4 x
10/I =
3 7
0
x dx
1 x
11/I =
2 3 0
dx
x 1
12/I =4 3
2 0
sin x
dx cos x
13/I =2
0
sin 2x
dx
1 cos x
14/I =
7 3 3 0
x 1
dx 3x 1
15/I =
4
2 7
1
dx
x x 9
16*/I =
2
3 1
1 dx
x 1 x
17/I =
3 7
0
x dx
1 x
11/I =
2
0
x (x 4) dx
12/I =
2 4
4 3 3
dx x
13*/I =
2 2
2 2
x 1 dx
x x 1
14/I =
ln 2 x 0
e 1dx
15/I =
1 0
1 dx
3 2x
16/I =
2x
ln 5
x
ln 2
e dx
e 1
17/I =
2 1
x
dx
1 x 1
18/I =
9 3 1
x 1 xdx
19/I =
2 3 0
x 1
dx 3x 2
20/I =
2
4 0
sin xdx
Trang 23 hàm số có lũy thừa đặt
t = biểu thức trong lũy thừa
1 )
1
0
(1 )
I x x dx
2)
1
0
(1 )
I x x dx
3/ I = 2 3
0
cos xdx
4/I =2 5
0
sin xdx
5/I =
1
0
x (x 1) dx
6*/I =
0
2 2
sin 2x
dx (2 sin x)
0
sin 2x(1 sin x) dx
8/I =
1
0
x (1 x ) dx
0
sin x cos x(1 cos x) dx
10/I =
3
1
0
x
dx (x 1)
11/ I=
1
2 3 0
(1 2x)(1 3x 3x ) dx
4 hàm số nằm trên hàm e mũ
t = biểu thức trên mũ
1/ I =
4
0 2
2 cos
x
e tgx
2/I =
2
2 sin x 4
e sin 2x dx
3/I =2 sin x2 3 0
4/I =2 sin x 0
(e cos x)cos x dx
5*/I =
1 3x 1 0
e dx
/2
0
sin cos
x
7/ I =
x 1
0
e
dx
e e
8/ I=
x
ln 3
0
e
dx (e 1) e 1
9/I =
2x 2 x 0
e dx
e 1
10/I =
x 1 x 0
e dx
5 Hàm số có chứa Ln đặt
t = Ln
1/I =
e 1
sin(ln x)
dx x
2/I =
e
1
cos(ln x)dx
3/I =
e
1
1 3ln x ln x
dx x
4/I =
2
e
e
ln x dx x
5/I =
3
2 6
ln(sin x)
dx cos x
6/I =3
0
sin x.ln(cos x)dx
7/I =
2
e 2 1
cos (ln x)dx
8/I =
3 2 e
1
ln x 2 ln x
dx x
9/I =
e
2 1
ln x
dx x(ln x 1)
10/
2
2
ln ln
e
e
6.Hàm số có dạng
a 2 + x 2 thì đặt x = a tanu
a 2 - x 2 thì đặt x = a sinu
x 2 - a 2 thì đặt x = a /sinu
1/I =
1
3
1
dx
x 4 x
2/I =
2
1
x 4 x dx
3/I =
2
2 0
4 x dx
4/I =
3 2 3
1 dx
x 3
5*/I =
3 2 2
1 dx
x 1
6/I =
1 2 0
3
dx
x 4x 5
7/I =
0
2 1
1
dx
8/I =
2
2 1
4x x 5 dx
9/I =
2 1
2 0
x dx
4 x
10/I =
1 4 2 2 0
x dx
x 1
Trang 3Tích phân từng phần
1)
1
0
( 1) x
I x e dx
2)
1
0
x
I xe dx
3)
1
2
0
( 2) x
I x e dx
4 )
2
1
ln
I x xdx
5) 2
0
( 1)s inx
1
ln
e
I x xdx
1
ln
e
I x xdx
8)
1
2
0
x
I x e dx
9)
1
2
0
(2 1) x
I x x e dx
3
2
0
ln 3
I x x dx
11/I = 2x 2
0
e sin xdx
12/I =3
0
sin x.ln(cos x)dx
13/I =
2
1
3 x
0
x e dx
Tích phân hàm hữu tỉ
1/I =
3 3 2 1
x dx
x 16
2/I =
1 0
2x 9
dx
x 3
3/I =
1 3 0
4x dx (x 1)
4/I =
2 1 0
x 3x 2
dx
x 3
5/I =
1 2 0
x 2x 10x 1
dx
x 2x 9
6/I =
3
1
1
dx
x (1 x )
7/I =
3 2
2 1
3x
dx
x 2x 1
8/I =
7 3
2
x
dx
1 x 2x
9/I =
1
3 2 0
4x 1
dx
10*/I =
4 1 6 0
dx
11*/I =
5 2
5 1
1 x
dx x(1 x )
12/I =
1
2 0
x 3
dx (x 1)(x 3x 2)
Tích phân hàm trị tuyệt đối
1/I =
3 2 4
x 4 dx
2/I =
2
3 2 1
3/I =
3 4
4
cos 2x 1dx
4/I =
0
cos x sin xdx
5/I=
e
1 e
ln x dx
6/I =
1 2 2 0
4x 1
dx
x 3x 2
7/
1
2
1
(| 2 1| | |)
8/
2 2
0
| 2 3 |
H x x dx
9)
2 2
0
I x x dx
10/I =
5
3
( x 2 x 2 )dx
11/I =
3 4
4
sin 2x dx
Tích phân hàm lượng giác
1/I =
3 2 4
3tg x dx
2 / I = 2 3 0
sin x dx
3/I =
4
2 6
(2cotg x 5)dx
4/I = 2 4 0
sin x dx
5/ I = 2
4
4 sin 1
6/ I =
4
0 6 cos 1
x dx
7/I =2
0
sin x.sin 2x.sin 3xdx
8/I =3 3
2 0
sin x
dx (sin x 3)
9/I =2 2 0
cos x.cos 4x dx
TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
THỨ TỰ ƯU TIÊN U, V : x (x) : đứng trước làm V, đứng sau làm U – mũ lượng đa lốc