Căn bậc hai của số phức và giải phương trình trên tập số phức

BÀI GIẢNG SỐ 03: CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH SỐ PHỨC A.. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1.. Căn bậc hai của số phức a.. Định nghĩa: Cho số phức w... Theo giả thiết có:.

BÀI GIẢNG SỐ 03: CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH SỐ PHỨC

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Căn bậc hai của số phức

a Định nghĩa: Cho số phức w Mỗi số phức z thỏa mãn z2 = w được gọi là một căn bậc hai của w Nói cách khác, mỗi căn bậc hai của w là một nghiệm của phương trình:

z2 – w = 0 (với ẩn z )

Chú ý: Để tìm căn bậc hai của số phức w, ta có hai trường hợp:

Trường hợp 1: Nếu w là số thực ( tức là w = a):

 Với a > 0 thì w có hai căn bậc hai là  a

 Với a < 0 thì w có hai căn bậc hai là i  a

Trường hợp 2: Nếu w = a + bia b, R b, 0thì z = x +yix y, Rlà căn bậc hai của w

2 2 2

2

xy b





Ghi nhớ:

 w = 0 có đúng một căn bậc hai là z = 0

 w 0 có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau ( khác 0)

Đặc biệt:

 Số thực dương a có hai căn bậc hai là  a

 Số thực âm a có hai căn bậc hai là i  a

2 Phương trình bậc hai

Cho phương trình: ax2 + bx + c = 0, với a, b, c là những số phức và a 0

Xét biệt thức 2

4 ,

   ta có các trường hợp:

Trường hợp 1: Nếu  0 thì phương trình có hai nghiệm: 1;2

2

b z

a



 

 , trong đó  là

một căn bậc hai của 

Đặc biệt:

 Nếu  là số thực dương thì phương trình có hai nghiệm: 1;2

2

b z

a

  



 Nếu  là số thực âm thì phương trình có hai nghiệm: 1;2

2

b i z

a

  



Trường hợp 2: Nếu  = 0 thì phương trình có nghiệm kép: 1 2

2

b

a

Chú ý:

2 Mọi phương trình bậc n: a z0 na z1 n1 a n1za n 0, trong đó a a0, 1, ,a là n

n + 1 số phức cho trước, a  và n là một số nguyên dương luôn có n nghiệm 0 0

phức ( không nhất thiết phân biệt )

B CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Căn bậc hai của số phức

Phương pháp: Sử dụng kiến thức trong phần căn bậc hai của số phức và lưu ý tới các trường đặc biệt

Ví dụ 1: Tìm các căn bậc hai của mỗi số phức sau:

a) z = i; b) z =1 4 3i

Bài giải:

a Giả sử số z x yi x y , Rlà căn bậc hai của i, tức là ta có:

2

i xyi x y  xyi

2 2

2

2

xy xy



 



 





  





Vậy số i có hai căn bậc hai là 21 

b Giả sử số z x yi x y , Rlà căn bậc hai của 1 4 3i , tức là ta có:

2 2

2 2 2

2 2

2 3 1

2 3

1

y

x

xy

x

x



 



 





2

3 2

3

x y

x

y

 



 



 



 



Vậy số 1 4 3i có hai căn bậc hai là 2i 3

Ví dụ 2: Chứng minh rằng nếu z là một căn bậc hai của số phức w thì z  w

Bài giải:

Giả sử z x yi x y , R Theo giả thiết có:

 2 2 2  2 22 2 2 2 2

w x yi x y 2xyi w  a b 4a b a b

 w  a2b2  z

Dạng 2: Giải phương trình bậc hai của số phức:

Phương pháp: Sử dụng kiến thức trong phần phương trình bậc hai

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a z 1 1

z

  b z   c 3 1 0 z   4 4 0

Bài giải:

a Ta có: 1 2

z

2

        

Vậy nghiệm của phương trình là: 1;2 1 3

2

i

2

1

1 0

1 0

2

z z

 



 







2

2



Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

a z4 + 4 = 0 b z 3 i26z 3 i13 c 0

2

Bài giải:

a Ta có:

2

2

2

2

 

      

 



 Giả sử z x yi x y , R là căn bậc hai của 2i, tức là ta có:

2 2

xy



 phương trình z2 = 2i có hai nghiệm là: z1;2  1i

 Giả sử z x yi x y , R là căn bậc hai của - 2i, tức là ta có:

 

2 2

xy



 phương trình z2 = - 2i có hai nghiệm là: z3;4  1i

Vậy phương trình có 4 nghiệm: z1;2  1i, z3;4  1i

b Đặt t  z 3 i Khi đó phương trình có dạng:

6 13 0

Vậy phương trình có hai nghiệm: z i z, 3i

c Đặt 3

2

iz

t





 Khi đó phương trình có dạng:

3 4 0

4

t

t

 



     

 Khi đó:

 Với t = - 1, ta có: 3 1 1  3 2 3 2 1 5

 Với t = 4, ta có: 3 4 4  3 8 3 8 4 35

Vậy phương trình có hai nghiệm 1 5 , 4 35

z  z 

Ví dụ 3:

a Giải phương trình:  2  2 

z i z  iz  (1)

b Tìm số phức B để phương trình bậc hai 2

3 0

z Bz i có tổng bình phương hai nghiệm bằng 8

Bài giải:

a Phương trình (1) 

2 2

2 2

2

2



  



b Giả sử hai nghiệm của phương trình là z1, z2, suy ra:

1 2

2 2

1 2

8

   









 2 2

     B 3i

Ví dụ 4: Giải phương trình

4   3   2  

4z  6 10 i z  15i8 z  6 10 i z40

Bài giải:

Nhận xét rằng z = 0 không phải là nghiệm của phương trình Chia cả hai vế của phương trình cho

2

0

z  , ta được:

2

2

2

2

      Khi đó, phương trình có dạng:

6 10 i t15i 8 04t  6 10 i t15i0

' 3 5i 4.15i 16 30i 3 5i

1

2

3

2

5

2

t

i

t







 

 



Với

1 2

1

2

2

2

z







  



z

3

4 2

2

i z









 

 Vậy phương trình có 4 nghiệm: 1 2, 2 1, 3 2 , 4

i

z  z   z  i z 

Chú ý:

1 Để giải phương trình phản hồi quy dạng: 4 3 2  

az bz cz bza a (1) ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: Nhận xét rằng z = 0 không phải là nghiệm của phương trình Chia cả hai vế của phương trình cho 2

0

Bước 2: Đặt t z 1 z2 12 t2 2

      Khi đó phương trình (2) có dạng:

2

at bt c a  (3)

Bước 3: Giải phương trình (3) để tìm t, từ đó suy ra giá trị của z

2 Để giải phương trình trùng phương dạng: az4bz2  được giải bằng việc đặt ẩn phụ c 0 2

tz

Ví dụ 5: Giải phương trình: z z 1z2z310 (1)

Bài giải:

1  z 2z z 2z3 10

Đặt 2

2

tz  z Khi đó phương trình có dạng:

5

t

t

 



 Với t = - 2, ta được: z22z  2 z22z 2 0z1;2   1 i

Với t = 5, ta được: z22z 5 z2 2z 5 0 z3;4  1 6

Chú ý:

Để giải phương trình với hệ số thực dạng: zazbzczdm (1)

với a b  c d ta thực hiện các bước:

tz  ab zab 2  

0

t tabcd mt  ab cd t m (3) Bước 3: Giải phương trình (3) để tìm t, từ đó suy ra giá trị của z

 Mở rộng dạng phương trình trên với nghiệm phức và hệ số là những số phức

Ví dụ 6: Giải phương trình:  4  4

Bài giải:

2

  



 

  



Khi đó phương trình được chuyển về dạng:

2

2

2 4

10 10

t t

t

 

 



Với t2z 3

Với t  2 z 7

Với t i 10z  5 i 10

Vậy phương trình có 4 nghiệm: z1  3,z2  7,z3;4   5 i 10

Chú ý: Chúng ta đã biết cách giải phương trình với hệ số thực dạng:

za2z b 2  ta thực hiện theo các bước: c

Bước 1: 2

2

2

a b

a b





  





   



Khi đó phương trình có dạng:

t     t     c

Bước 2: Đặt ut2, phương trình có dạng:

2

u     u    c

Bước 3: Giải phương trình (3) để tìm t, suy ra giá trị của z

 Mở rộng dạng phương trình trên với nghiệm phức và hệ số là những số phức

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Tìm các căn bậc hai của mỗi số phức sau:

2i; -9; 1+ i

ĐS: 1i, 3i, 1 2 2 2

2

2 2 2

i

 

 

Bài 2: Tính căn bậc hai của số phức

a z = 5 + 12i b 1 3i

ĐS: a  3 2i b 3 1

2 2 2i



Bài 3: Tính căn bậc ba của số phức z  ( 3  i )2

Bài 4: Giải phương trình:

1)   2

3i z iz  3 i 0 ĐS:

1;2

39

2 3

i z

i





 2) 2

z  iz  ĐS: z1;2  i 2i

z   i z i ĐS: 3 2i

4) z4z2  ĐS: 1 0 1;2 3 ; 3;4 3

5)

4

1

1 2

z

z i







HD: Chia làm 2 trường hợp:

TH1:

1

2 4 2

5 5

z z

i





  





TH2:

1

2

3 3

z

  



  



 6) 3   2

z   i z  z i ĐS: 1 2i 1 2

Bài 5: Giải phương trình sau trên tập hợp số phức

z z  z  z    i ĐS: 4

5

 



  



Bài 6: Giải phương trình: 2  

z  i z i trên tập hợp các số phức

ĐS: 1 2

2

  



   

