PT Mặt Phẳng

Hãy viết phương trình mặt phẳng trung trực P của đoạn thẳng AB... Hãy viết phương trình mặt phẳng α đi qua các hình chiếu của M trên các trục tọa độ Gọi A, B, C là hình chiếu của M trên

LƯU TẤN PHÁT TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THƠNG

Đặng Hữu Hoàng

HÌNH HỌC

12 ncGV: Lê Huy Đức

u p

Vectơ nào là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ ?

ax + by + c = 0

?

gì

I VECTƠ PHÁP TUYẾN CỦA MẶT PHẲNG

Trong KHÔNG GIAN

b Nếu (α) qua 3 điểm A,

C

* Lưu ý : Nếu là vectơ pháp tuyến của (α) thì k (k  0) )

cũng là vectơ pháp tuyến của (α)

Giả sử mặt phẳng (α) qua điểm M o (x o ; y o ; z o )

và có vectơ pháp tuyến .Tìm điều

kiện cần và đủ để điểm M(x ; y ; z) thuộc (α) ?

II PHƯƠNG TRÌNH CỦA MẶT PHẲNG

II PHƯƠNG TRÌNH CỦA MẶT PHẲNG

2 Ví dụ 2:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1 ; -2 ; 3),

B(-5; 0 ; 1) Hãy viết phương trình mặt phẳng trung

trực (P) của đoạn thẳng AB.

Giải

Mặt phẳng (P) đi qua trung điểm

I(-2; -1; 2) của đoạn thẳng AB và

3 Định lý 2:

II PHƯƠNG TRÌNH CỦA MẶT PHẲNG

Trong không gian Oxyz, mỗi phương trình dạng

Ax + By + Cz + D = 0 với A 2 + B 2 + C 2 > 0 (2)

đều là phương trình của một mặt phẳng xác định

4 Ví dụ 2:

Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt

phẳng (α) qua 3 điểm A(1 ; 2 ; - 3), B(0 ; 1 ; 4), C(3 ; -

1 (α) đi qua gốc O  D = 0

2 (α) song song hoặc chứa Ox  A = 0

3 (α) song song hoặc trùng (Oxy)  A = B = 0

4 (α) cắt Ox, Oy, Oz tại M(a ; 0 ; 0), N(0 ; b ; 0),

P(0 ; 0 ; c)  (α) :

(1) : gọi là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn

III CÁC TRƯỜNG HỢP RIÊNG :

Khi (α) song song hoặc chứa Ox, có nhận xét gì về

mối quan hệ giữa hai vectơ ?n i n i    ,  

Từ đó suy ra: n i  0

Do đó: A = 0

IIỊ CÁC TRƯỜNG HỢP RIÊNG :

4 Ví dụ 3:

Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1 ; 2 ; 3) Hãy viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua các hình chiếu của M trên các trục tọa độ

Gọi A, B, C là hình chiếu của M trên Ox, Oy, Oz Khi đó : Ă1 ; 0 ; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; 3)

1  2  3 (α) :  6x 3y 2z 6 0   

GiẢI Gọi A, B, C là hình chiếu của M(1 ; 2 ; 3) trên

các trục Ox, Oy, Oz.

Tọa độ của ba điểm A, B, C là:

Ặ ); B( ); C( )

Suy ra phương trình mặt phẳng (α) là:

IV HAI BỘ SỐ TỈ LỆ :

1 Định nghĩa :

Hai bộ số (A 1 ; A 2 ;…; A n ) và (B 1 ; B 2 ;…; B n ) được gọi là tỉ lệ với nhau nếu có một số t sao cho :

IV HAI BỘ SỐ TỈ LỆ :

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng : (α) : Ax + By + Cz + D = 0

(α’) : A’x + B’y + C’z + D’ = 0

A ' B' C' D'

(α) và (α’) cắt nhau  A : B : C  A’ : B’ : C’ (α) và (α’) song song 

(α) và (α’) trùng nhau A B C D

A ' B' C' D'

(α) (α’)  AA’ + BB’ +CC’ = 0

Về vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng,

có bao nhiêu trường hợp? ba trường hợp

TH: (α) và (α’) cắt nhau, nhận xét gì về mối quan

hệ giữa hai VTPT của chúng?

Từ đó suy ra điều gì

Không cùng phương

A : B : C  A’ : B’ : C’



(α) và (α’) song song khi nào?

khi và chỉ khi hai VTPT cùng phương và hpt vô nghiệm

Từ đó suy ra:

IV HAI BỘ SỐ TỈ LỆ :

3 Ví dụ 5 :

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng : (α) : 2x - my + 10z + m + 1 = 0

(α’) : x - 2y + (3m + 1)z - 10 = 0 Tìm giá trị m để :

a) (α) cắt (α’) b) (α) // (α’) c) (α)  (α’) d) (α)  (α’)

IV HAI BỘ SỐ TỈ LỆ :



2 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song:

VI KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG :

hai mp() và () được tính như thế

nào?

VI KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG :

Cho tứ diện OABC có 3 cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc, OA = a, OB = b, OC = c Tính độ dài

đường cao tứ diện OABC kẻ từ O

O H

A

B C

VI KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG :

Cho tứ diện OABC có 3 cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc, OA = a, OB = b, OC = c Tính độ dài

đường cao tứ diện OABC kẻ từ O

Chiều cao h cần tìm là khoảng cách

x

y z

Giải

là vectơ pháp tuyến của (α) Mặt khác (α) qua A nên có phương trình :

28(x – 1) + 21(y – 2) + 7(z + 3) = 0

 28x + 21y +7z – 49 = 0

II PHƯƠNG TRÌNH CỦA MẶT PHẲNG

4 Ví dụ 2:

Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt

phẳng (α) qua 3 điểm A(1 ; 2 ; - 3), B(0 ; 1 ; 4), C(3 ; -

BÀI TẬP SỐ 15 Viết phương trình mp(P) trong các trường hợp sau:

b/ (P) đi qua hai điểm A(1 ; 1 ; -1); B(5; 2; 1) và song song với trục

Gọi là VTPT của mp(P), em

có nhận xét gì về mối quan hệ giữa với hai vevtơ

n 

Mp(P) đi qua A có phương trình là:

1.(x – 1) – 4(y - 1) + 0(z + 1) = 0 hay x – 4y + 3 = 0.

BÀI TẬP SỐ 15 Viết phương trình mp(P) trong các trường hợp sau:

c/ (P) đi qua điểm M(3 ; 2 ; -1) và song song với mp(Q): x - 5y + z = 0

Giải

Em có nhận xét gì về mối quan hệ giữa hai VTPT của hai mp(P) và mp(Q)?

mp(P) song song với mp(Q): x - 5y + z = 0,

M

Phương trình của mp(P) là:

x – 5y + z + 8 = 0

BÀI TẬP SỐ 15 Viết phương trình mp(P) trong các trường hợp sau:

d/ (P) đi qua hai điểm A(0 ; 1 ;1); B(-1; 0; 2) và vuông góc với mặt phẳng (Q): x – y + z +1 = 0.

Gọi là VTPT của mp(P), em

có nhận xét gì về mối quan hệ giữa với hai vevtơ

n 

n  AB,

Q

n

Vì mp(P) đi qua A, B và vuông góc với mp(Q)

nên VTPT của mp(P) vuông góc với vectơ

và vuông góc với vectơ pháp

BÀI TẬP SỐ 15 Viết phương trình mp(P) trong các trường hợp sau:

g/ (P) đi qua điểm G(1 ; 2 ; 3) và cắt các trục tọa độ tại các điểm A,

B, C sao cho G là trọng tâm tam giác ABC

BÀI TẬP SỐ 15 Viết phương trình mp(P) trong các trường hợp sau:

h/ (P) đi qua điểm G(2; 1 ; 1) và cắt các trục tọa độ tại các điểm A, B,

C sao cho H là trực tâm tam giác ABC

Giải

Vì tứ diện OABC có các cạnh OA, OB,

OC vuông góc với nhau từng đôi một,

Nên H là trực tâm của tam giác ABC

khi và chỉ khi OH mp(ABC).

Vậy mp(P) đi qua H và có VTPT là: y

x

z

H O

BÀI TẬP SỐ 16 Xét vị trí tương đối của mỗi cặp mặt phẳng cho bởi các

BÀI TẬP SỐ 17 Xác định giá trị của m và n để mỗi cặp mặt phẳng sau đây

song song:

a/ (P): 2x + ny +2z +3 = 0 và (Q): mx + 2y – 4z + 7 = 0

Giải

Hai mp(P), (Q) song song

với nhau khi nào?

a/ Hai mp(P), mp(Q) song song với nhau khi và chỉ khi

BÀI TẬP SỐ 17 Xác định giá trị của m và n để mỗi cặp mặt phẳng sau đây

song song:

b/ (P): 2x + y +mz - 2 = 0 và (Q): x + ny + 2z + 8 = 0

Giải

Hai mp(P), (Q) song song

với nhau khi nào?

b/ Hai mp(P), mp(Q) song song với nhau khi và chỉ khi

BÀI TẬP SỐ 18 Cho hai mặt phẳng (P): 2x – my + 3z – 6 + m =0 Và

(Q): (m+3)x – 2y + (5m+1)z – 10 =0 Với giá trị nào của m thì:

Giải

Hai mp(P), (Q) song song với nhau khi nào?

a/ Hai mặt phẳng đó song song?

a/ Hai mp(P), mp(Q) song song với nhau khi và chỉ khi

BÀI TẬP SỐ 18 Cho hai mặt phẳng (P): 2x – my + 3z – 6 + m =0 Và

(Q): (m+3)x – 2y + (5m+1)z – 10 =0 Với giá trị nào của m thì:

BÀI TẬP SỐ 18 Cho hai mặt phẳng (P): 2x – my + 3z – 6 + m =0 Và

(Q): (m+3)x – 2y + (5m+1)z – 10 =0 Với giá trị nào của m thì:

Giải

Hai mp(P), (Q) cắt nhau khi nào?

Phiếu số 1 :

Cho 2 mặt phẳng song song :

() : 3x – y + 2z – 6 = 0, () : 6x – 2y + 4z + 4 = 0 Tính khoảng cách giữa () và () ?

Theo tính chất mặt phẳng trung trực

của một đoạn thẳng suy ra:

-mp(P) đi qua điểm

Giả sử là một nghiệm của phương trình:

Ax + By + Cz + D = 0 (2)

Tức là ta có: hay D=

Gọi (P) là mặt phẳng đi qua điểm và có VTPT thì phương trình của (P) là:

Pt của (P) có giống pt (2) không?

PHIẾU HỌC TẬP SỐ 2

( ; ; ) x y z

0( ; ; )0 0 0

M x y z

( ; ; )