Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa và các tính chất 1/ Tìm nguyên hàm của các hàm số.. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM 1.Phương pháp đổi biến số... Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần.. T
Trang 1I Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa và các tính chất 1/ Tìm nguyên hàm của các hàm số.
1 f(x) = x2 – 3x +
x
1
2 f(x) = 2 42 3
x
x + 3 f(x) = 3 4
x x
x+ + 4 f(x) = ( 2 21)2
x
x −
5 f(x) = 21
x
x−
6 f(x) = 1 32
x
x − 7 f(x) =
x
x 1)2 ( − 8 f(x) =
3
1
x
x−
9 f(x) =
2 sin
2 2 x
10.f(x) = tan2x 11 f(x) = cos2x 12 f(x) = (tanx – cotx)2 13 f(x) =
x
2 cos sin
1
14 f(x) =
x x
x
2
2 cos sin
2 cos
15.f(x) = sin3x f(x) = 2sin3xcos2x 17 f(x) = ex(ex – 1)
18 f(x) = ex(2 + )
cos2x
e−x
19 f(x) = 2ax + 3x 20 f(x) = e3x+1
2/ Tìm hàm số f(x) biết rằng
1 f’(x) = 2x + 1 và f(1) = 5 2 f’(x) = 2 – x2 và f(2) = 7/ 3 f’(x) = 4 x −x và f(4) = 0
4 f’(x) = x - 12 +2
x và f(1) = 2 5 f’(x) = 4x
3 – 3x2 + 2 và f(-1) = 3
6.f’(x) = ax + 2 , f'(1)=0, f(1)=4, f(−1)=2
x
b
ĐS f(x) =
2
5 1 2
2
+ +
x x
II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM 1.Phương pháp đổi biến số.
Tính I = ∫ f[u(x)].u'(x)dx bằng cách đặt t = u(x)
Đặt t = u(x)⇒dt =u'(x)dx
I = ∫ f[u(x)].u'(x)dx=∫ f(t)dt
BÀI TẬP Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
1 ∫(5x−1)15dx 2 ∫x x( −2)12dx 3.∫(3−2x)5
dx
4 ∫ 5−2x dx 5.∫ 2x dx−1
6.∫(2x2 +1)7xdx 7.∫(x3 +5)4x2dx 8 x2 1.xdx
∫ + 9.∫ + dx
x
x
5
2
xdx
x−
x
x
∫ln3 12
∫ x(1+ x)2
dx
13 ∫ + dx
x
x
3
2 2 5
3
14.∫x e x2 + 1dx
16 cot xdx∫
17.∫ dx
x
x
5
cos
sin
18.∫costgxdx2 x 19.∫cos3xsin2 xdx 20.∫cosdx x 21.∫tgxdx 22 ∫ dx
x
e x
23 ∫ x−3
x
e
dx
e
24.∫ dx
x
e tgx
2 cos 25 ∫ 1−x 2 dx 26.∫ 4 x− 2
dx
27.∫x2 1−x2.dx 28.∫1 x+ 2
dx
29
2
1 x
dx
x
30.∫ x2 +x+1
dx
31 ∫sindx x 32.∫x x−1.dx 33.∫e x +1
dx
34 x3 x2 1.dx
sin
dx
x
os
dx
tan
dx x
∫ 38 ∫cos3xdx 39 ∫sin xdx3 40 (sinx+ cos )
sinx cos
x dx x
−
∫
dx
∫ 42 sin 4 sin∫ x xdx 43 sin3
cos
x dx x
( ln )
x
x
xe
dx
+ +
∫ 45 ∫3sin cosx xdx
46 cos3 sin∫ x xdx 47 2
dx
dx x
+
1
2 1
dx
∫ 51 (2 1)2
xdx
x+
∫
52 3
1 3
x
x dx
−
2
x dx
x+
1
dx
1 3
x
x dx
−
2 1
dx
∫
57 ∫x 31−x dx2
Trang 22 Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần.
Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I
∫u(x).v'(x)dx=u(x).v(x)−∫v(x).u'(x)dx
Hay
∫udv=uv−∫vdu ( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx)
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
1.∫x sin xdx 2.∫x cos xdx 3 ∫x ln xdx 4 ∫lnxdx 5 ∫xsin2xdx 6 ∫x.e x dx 7 ∫xcos2xdx
8 ∫(x2 +2x+3)cosxdx
9 ∫(x2 +5)sinxdx
10.∫ln2 x dx 11.∫e x dx 12 ∫sin x dx
13 ∫ dx
x
x
2
cos 14 ∫ + dx
x
x
2 ) 1 ln(
15 ∫lnxdx x 6.∫ln(x2 +1)dx
17.∫e x.cosxdx 18.∫x3e x2dx
19.∫xln(1+x2)dx
20 ∫2x xdx 21 ∫x lg xdx 22.∫2xln(1+x)dx 23.∫xtg2xdx
24 ∫x2cos2xdx
TÍCH PHÂN
I TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN:
1
1
3
0
(x + +x 1)dx
2 1
e
3 1 2
2 1 1
x+ dx
1 0 ( x )
∫
5
2
3
(2sinx 3cosx x dx)
π
π
1 3 0 (x +x x dx)
∫ 7
2 1 ( x+1)(x− x+1)dx
2 3
1 (3sinx 2cosx )dx
x
π
π
9
1
2
0
2
1 (x +x x+ x dx)
3 3
1
−
+
2 1 ( x−1)(x+ x+1)dx
13
2
+
∫2 2
-1
x.dx
2
e 1
7x 2 x 5
dx x
x 2
∫5
2
dx
2 2 1
x 1 dx
+ +
3 2 3 6
x dx x
π
π
∫cos sin
18.4
2
0
tgx dx
x
π
∫ cos. 19
1 x x
x x 0
e e
−
−
− +
1 x
x x 0
e dx
e +e−
2 2 1
dx 4x +8x
3
x x 0
dx
e +e−
∫
ln
22 2
0
dx
π
+
x
x
+
2
1
3
2
1
1
24 ∫
−
+ +
1 1
2 1) 2
( x x dx 25 ∫2 − −
0
3
2 2
( x x dx 26 ∫
−
−
2 2
) 3 (x dx
x 27 ∫
−
−
4 3
2 4) (x dx
29 ∫2 −
1
3
2 2
dx
x
x
x
30 ∫e
e
x dx
1 1
31 16∫
1
.dx
x
x x
e
2
1
7 5 2
x x
∫8 −
1 33 2
1 4
II PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ:
1
2
3 2
3
sin xcos xdx
π
2
2 3 3
sin xcos xdx
π
π
0
sin
1 3
x dx cosx
π
+
0
tgxdx
π
∫ 5
4 6
cot gxdx
π
π
∫ 6
1 2 0
1
∫
7
1
2
0
1
1
3 2 0
1
∫ 9
1 2 3
x dx
∫ 10
1
0 1
2 3 1
1
1dx
∫ 12
1 2 0
1
1+x dx
13
1
2
1
1
2 2dx
−∫ + + 14
1 2 0
1
1dx
∫ 15
1
2 2 0
1 (1 3 )+ x dx
∫ 16
2 sin 4
x
e cosxdx
π
π
∫ 17
2
3
sin xcos xdx
π
π
∫
18 2
1
2
0
x
∫ 19
2
3
sin xcos xdx
π
π
2 sin 4
x
e cosxdx
π
π
∫ 21
2 4
sin
cosx
π
π
1 2 0
x
0
sin xdx
π
∫
Trang 324
2
2 3
3
sin xcos xdx
π
π
∫ 25 2
0
sin
1 3
x dx cosx
π
+
1 2 3
x dx
∫ 33
1
0 1
2 3 1
1
1dx
∫
35
1
1 ln
e
x
dx x
+
1
sin(ln )
e
x dx x
∫ 37
1
1 3ln ln
e
dx x
+
2ln 1 1
e e x
dx x
+
∫ 39
2
2
1 ln ln
e
e
x dx
+
41
2
11 1
x
dx x
1
0 2 1
x dx
x+
∫ 43
1 0
1
1 0
1
∫ 45
1 0
1
∫
46
3
1
1
x
dx
x
+
∫ 47
1
sin(ln )
e
x dx x
∫ 49
2ln 1 1
e e x
dx x
+
∫ 51
2
2
1 (1 ln )
e
e
dx
4
0 sin x 1 cos xdx
π
+
∫
55
4
2
0
4 x dx −
1
2
01
dx x
+
∫ 57 e x dx
∫
− +
0 1
3 2
58 ∫1 −
0
dx
e x
59
1
3 0
x dx (2x 1)+
∫ 60
1 0
x dx 2x 1+
∫
61
1
0
x 1 xdx−
∫ 62
1
2 0
x
dx
+
1 2 0
2x 5 dx
x 4x 4
−
− +
∫ 64
2 0
x +2x 1+
∫ −
2
05 2sin cos
π
dx x
x
0
(sin x cos )x dx
π
+
0
4sin
1 cos
x dx x
π
+
2 0
1 sin 2 cos
x dx x
π
+
0
cos 2xdx
π
∫ 70
∫ +
4
01 2sin2
2 cos
π
dx x
x 71.
2
6
1 sin 2 cos 2
sin cos
dx
π
π
+
1
0
1 1
x dx
∫ 73 4
0
1 dx cosx
π
∫ 74 ∫2 +
02cos3 1
3 sin
π
dx x
x 75 2 5
0
cos xdx
π
∫
+
0
2
2 2 3
2
2
x
x
x
77 ∫ + +
−
1
1 x2 2x 5
dx
4 0
1 cos x dx
π
∫ 79 4
2 0
sin 4
1 cos
x dx x
π
+
1
0 1
∫
0
sin 2 (1 sin )x x dx
π
+
0 cos sin x xdx
π
∫ 84 4(cos x sin x)dx
0
4 4
π
86
1
5 3 6 0
x (1 x ) dx−
87 6
2 0
cos
6 5sin sin
x
dx
π
+
2
0 cos2 4sin2
2 sin
π
dx x x
0
cos sin
3 sin 2
dx x
π
+ +
∫ 90
∫ +
2
0(2 sin )2
2 sin
π
dx x
91 ∫3
4
2
sin
)
ln(
π
x
tgx
92
3 4
0 cos 2
tg x dx x
3
ln e x 2e x 3
dx
94 ∫ −4
0
8 ) 1
(
π
dx x
tg 95 ∫
+
−
2
4 1 sin2
cos sin
π
x
x x
96.∫
+
+
2
0 1 3cos
sin
2
sin
π
dx x
x
∫ +
2
0 1 cos
cos 2 sin
π
dx x
x
x 98
∫ +−
4 0
2 2 sin 1
sin 2 1
π
dx x
x 99.∫
− +
2
11 x 1dx
x
100
1
2 0
1 x dx−
∫
101 ∫2 +
0
sin cos )cos
(
π
xdx x
x
x x
1
ln ln 3 1
103
1 2 0
1 dx
1 x+
∫ 104
1
2 0
1 dx
4 x−
105
1
2
0
1 dx
x − +x 1
1
4 2 0
x + +x 1
∫ 107 2
0
1
1 cosx sinx dx
π
2 2 2
2 0
1 x−
2
1
x 4 x dx−
∫
Trang 4110
2
3
2
2
1 dx
x x 1−
2 1
9 3x dx x
+
1
5 0
1 (1 x dx)
x
− +
∫ 113
2 2 2 3
1
1dx
0
cos
7 cos2
x
π
+
115
6
0
1
1 x dx
x
+
+
0
cos
1 cos
x
π
+
−
0
1x2 2x 2
dx
118 ∫
+ +
1
01 1 3x
dx
119 ∫2 −−
1
dx x
x x
120
8
2
3
1
1dx
7 3
0 1
x
+
∫ 122
3
0 1
ln2 x 0
1 dx
e +2
∫ 124
7 3 3 0
1
x
+ +
∫
125
2
2 3
0
1
∫ 126 ∫
+
3 2
5 x x2 4
dx
II PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:
Công thức tích phân từng phần : u( )v'(x) x ( ) ( ) ( ) '( )
b a
Tích phân các hàm số dễ phát hiện u và dv
@ Dạng 1
sin ( )
ax
ax
f x cosax dx e
β
α
∫
cos
∫
Ví dụ 1: tính các tích phân sau
a/
1 2
2
0( 1)
x
x e
dx
x+
2
2 ( 1)
x
u x e
dx dv
x
=
=
b/
3 8
4 3
2( 1)
x dx
5 3
4 3 ( 1)
u x
x dx dv
x
=
=
c/
1 2
1
+ −
Tính I1
1 2
01
dx x
= +
∫ bằng phương pháp đổi biến số
Tính I2 =
1 2
2 2
0 (1 )
x dx
x
+
∫ bằng phương pháp từng phần : đặt
2 2 (1 )
u x
x
x
=
=
Bài tập
1
3
3
1
ln
e
x
dx
x
1
ln
e
x xdx
1
2
0
1
ln
e
∫ 5
3
3 1
ln
e x dx x
1
ln
e
x xdx
∫
7
1
2
0
1
ln
e
0
π
+
1
1
e
x
+
2 5 1
ln x
dx x
12 3 2
0
tan
π
2 2
1
0 cos
π
1 0
x
xe dx
∫ 16 2
0 cos
x
π
∫
Tính các tích phân sau
@ Dạng 2: f x( ) ln( )ax dx
β
α∫
Đặt
ln( ) ( )
( )
dx du
x
=
=
@ Dạng 3: sin
cosax
β
α
Trang 5
1) ∫1
0
3
.e dx
2) ∫2 −
0
cos ) 1 (
π
xdx
x 3) ∫6 −
0
3 sin ) 2 (
π
xdx
x 4) ∫2
0 2 sin
π
xdx
x
5.∫e x xdx
1
ln 6.∫e −x x dx
1
2).ln 1
( 7.∫3
1
ln
4x x dx 8
1
2 0
ln(3 )
∫ 9
2 2 1 (x +1)e dx x
∫ 10.π∫
0
cos x dx
11.∫2
0
2.cos
π
dx
x
x 12
2
0 sin xdx
π
2 5 1
ln xdx x
0
x cos xdx
π
1 x 0
e sin xdx
∫ 16) 2 2
0 (x 2 )sinx xdx
π
+
∫
17
e
2
1
x ln xdx
∫ 18.3
2 0
x sin xdx cos x
π
+
0 xsin x cos xdx
π
0 x(2cos x 1)dx
π
−
0
3 )sin cos (
π
xdx x
22
1
2 2x
0
(x 1) e dx+
e
2 1
(x ln x) dx
∫ 24.∫ −1
0
2 ) 2 (x e x dx 25) 2
1
ln ( 1)
e
e
x dx
x+
∫ 26.∫1 2
0 tan
0
2) 1 ln( x dx
28
π
+
∫/3
0
cosx.ln(1 cosx)dx 29 ∫e dx
x
x
1
ln
2 2 1
ln(1 x)dx x
+
0
) 1 ln(
) 7 2 ( x x dx 32 ∫3 −
2
2 ) ln(x x dx
III TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ:
1 ∫5 − −+
3
2 3 2
1
2
dx x
x
x
2 ∫b + +
a
dx b x a
(
1
3 ∫1 ++ +
0
3 1
1
dx x
x x
x
x x
∫1 +++
0 2
3 1
1
5 ∫1 +
0
3
2 ) 1 3
x
6 ∫1 + +
0
2
2( 3)
)
2
(
1
dx x
1
2008
2008 ) 1
(
1
dx x
x
x
8 ∫3 −
2
2 2
4 ) 1
x
9 ∫1 + −
0 2
3 2 ) 1
x
n
n
10 ∫2 +
1
4) 1 (
1
dx x x
11 ∫2 + − +
1
2 4
2
) 2 3
(
3
dx x
x
x
x
12 ∫
+ +
−
0 1 2
2 3
2 3
9 9 6 2
dx x
x
x x x
13 ∫2 +
0 2 4
1
dx
0 4
1 x dx x
x
x
0
2 2 2
1
16 ∫1 +
0
3
2) 1
x
17 ∫4 − +
2
2
3 2
1
dx x x
2 3
2
2 3
3 3 3
dx x
x
x x
19 ∫2 +−
1 4
2 1
1
dx x x
20 ∫1 +
0
3
1
1
dx
0
6
4 5 6
1
2
dx x
x x x
22 ∫1 +−
0 2
4 1
2
dx x
x
23
1 2
dx
x + +x
1 2 0
4 11
x
dx
+ + +
∫
x
x
+
−
2
0
1 2
1
3
26 ∫3 +−
2 1
2
dx x
x
x
x
+
−
1 0
3 1
2 2
28 ∫1 ++
0 6
4 1
1
dx x
x
x
x x
∫1 ++ +
0
2 3
3 2
30 ∫
−
−
−
0
1
1 2 1
2
2
dx x x
x
x
x x
∫
− − − +
+ +
0 1
2
1 2 1
1
x
x x
∫ − +
+
− +
1 0
2
1 1
2 2
33 ∫1 + +
0
2 4x 3
x dx
IV TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC:
1 2 x 4 xdx
0
2 cos
sin
∫
π
2 ∫2
0
3
2 cos sin
π
xdx
0
5
4 cos sin
π
4 ∫2 +
0
3
3 cos ) (sin
π
dx x
0
4
4 cos ) (sin
2
cos
π
dx x x
0
2
2 sin cos cos ) sin
2 (
π
dx x x
x
0
4 4 10
10 cos cos sin ) (sin
π
dx x x x
x
8 ∫2 −
0 2 cos
π
x
3 sin 1
π
π
dx
0 2 sin 1
π
dx
0
2
3 cos 1 sin
π
dx x
6
4 cos sin
π
dx
13 ∫2 +
01 cos cos
π
dx x x
0
2
2 2sin cos cos
sin
π
x x
x x
∫2 −
0 2 cos cos
π
dx x
∫2 +
0 2 sin sin
π
dx x
∫2 +
0
3 cos 1 cos
π
dx x x
Trang 618 ∫2 + +
0 sin cos 1
1
π
dx x
3
2 ) cos 1 ( cos
π
xdx
20 ∫
+
−
2 2
3 cos 2 sin
1 cos sin
π
π
dx x x
x x
21 ∫4
0 3
π
xdx tg
22 ∫4 g x dx
6
3
cot
π
π
23 ∫3
4 4
π
π
xdx
01 1
π
dx
+
4
4 cos(
cos
π
π
x x
dx
26 2∫π +
0 sin
1 x dx
27 ∫2 ++ ++
0 4sin 5cos 5
6 cos 7
sin
π
dx x x
x
0 2sin 3cos 13
π
x x
∫4 +
0
4
3 cos 1
sin 4
π
dx x
0 sin cos
2 sin 2 cos 1
π
dx x x
x x
31 ∫2 +
01 cos
3
sin
π
dx x
4
sin 2 sin
π
dx
33 ∫4
0 2
3 cos sin
π
dx x
0
3
2 ) sin 1 ( 2 sin
π
dx x x
35 ∫π
0
sin
4
3
3 3 sin
sin sin
π
π
dx xtgx
x x
37 ∫2 + +
01 sin cos
π
x x
0 2sin 1
π
x dx
39 ∫2
4
5
3 sin
cos
π
π
xdx
0
2 cos 1
4 sin
π
x
0 5sin 3
π
x
6
4 cos sin
π
dx
43 ∫
+
3
6 sin(
sin
π
dx
44 ∫
+
3
4 cos(
sin
π
dx
45 ∫3
4 6
2 cos sin
π
xdx
6 ( 3 6
π
π
π
47 ∫3 +
0
3 ) cos
(sin
sin
4
π
x x
0 2
2 ) sin 2 (
2 sin
x
49 ∫2
0
3 sin
π
dx
0
2cos
π
xdx x
51 ∫2 +
0
1 2
2
sin
π
dx e
x
∫2 ++
01 cos
sin 1
π
53 ∫4 +
6
2 cot
4 sin 3 sin
π
π
dx x g tgx
x x
0
2 5sin 6 sin
2 sin
π
x x
xdx
55 ∫2
1
)
cos(ln dx x 56 ∫3
6
2 cos
) ln(sin
π
π
dx x
x
57 ∫2 x− x dx
0
2 cos ) 1 2 (
π
58 ∫π
0
2 cos sinx xdx x
59 ∫4
0
2
π
xdx
2
0
cos (sinx x cos )x dx
π
+
0
3 sin2 sin cos
π
xdx x
0
) 1 ln(
π
dx tgx
63 ∫4 +
0
2 ) cos 2
(sin
π
x x
0
2 ) cos 2 )(
sin 1 (
cos ) sin 1 (
π
dx x x
x
2 sin 2 sin 7x xdx
π
π
0
4sin
1 cos
x dx x
π
+
∫
67 ∫π
0
2
2 sin xdx
e x
68 ∫
−
2 2
3 cos 5 cos
π
π
xdx
x 69 ∫
−
2 2
2 sin 7 sin
π
π
xdx
x 70.∫4
0
cos 2 sin
π
xdx
x 71
∫4
0
2 sin
π
xdx
72
/ 2
0
sin x
dx
3 cos2x
π
+
−
4 / 5
dx x sin 1
x cos x sin
74
/ 3 2 0 sin tan x x dx
π
/4 4 0
dx I
cos x
π
= ∫ 76
/4 4 0
dx I
sin x
π
= ∫
Trang 7V TÍCH PHÂN HÀM Vễ TỶ:
∫b
a
dx x f x
R( , ( )) Trong đó R(x, f(x)) có các dạng:
+) R(x,
x a
x a
+
− ) Đặt x = a cos2t, t ]
2
; 0 [ π
∈
+) R(x, a2 −x2 ) Đặt x = a sin hoặc x = t a cos t
+) R(x, n
d cx
b ax
+
+ ) Đặt t =
n
d cx
b ax
+ +
+) R(x, f(x)) =
γ β
(
1
Với (αx2+βx+γ )’ = k(ax+b)
Khi đó đặt t = αx2+βx+γ , hoặc đặt t =
b
ax+
1
+) R(x, a2 +x2 ) Đặt x = tgt a , t ]
2
; 2 [−π π
∈
+) R(x, x2 −a2 ) Đặt x =
x
a
cos , t [0; ]\{2}
π π
∈
+) R(n 1 n 2 n i )
x ; x ; ; x Gọi k = BCNH(n1; n2; ; ni)
Đặt x = tk
1 2∫3 +
5 x x2 4
dx
2 ∫2 −
3
2 x x2 1
dx
3 ∫
2 1
2
1(2x 3) 4x2 12x 5
dx
4 ∫2 +
1 x x3 1
dx
5 ∫2 +
1
2 2008dx
1 x2 2008
dx
7 ∫1 +
0
2
2 1 x dx
0
3
2) 1 ( x dx
9 ∫3 ++
1 2 2
2 1
1
dx x
x
x
10 ∫2 −+
2
0 1
1
dx x
0 (1 x2)3
dx
12 ∫2 −
2
0 (1 x2)3
dx
13 ∫1 +
0
2
2
2
1 x
dx
∫2 +
0 7 cos2 cos
π
x
0
2 cos cos
sin
π
dx x x
x
17 ∫2 +
0 2 cos2
cos
π
x
0 1 3cos
sin 2 sin
π
dx x
x
0 3 2
3
1 x
dx x
20 ∫3 −
0
2
3 10 x dx x
21 ∫1 +
0 2x 1
xdx
22 ∫1 + +
3 1
x x
dx x
23 ∫7 + +
2 2x 1 1
dx
24 ∫1x + x dx
0
8
15 1 3
25
∫2 −
0
5
61 cos3 sin cos
π
xdx x
0 e x 1
∫
1
11 x x2 1
ln 0
2 1
x
x
e
dx e
29 ∫1 − −
4
5
2 8 4
x
x x
1
ln ln 3 1
31 ∫3 ++
3 5
1 x dx
x x
32 ∫4 x − x +x dx
0
2
3 2
33 ∫
−
+ +
0
1
3
2 ln
2 1 ln
ln
dx x x
x
35
0
2
2 cos
3 2 cos
2 cos
π
dx x
tgx x
x
36 ln∫2 +
0 ( x 1)3
x
e dx e
Trang 837 ∫3 +
0 2 cos2
cos
π
x
∫2 +
0 1 cos2 cos
π
x
x
x
∫7 ++
0 3 3
2
40 ∫a x +a dx
2 0
2 2
VI MỘT SỐ TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT:
Bài toán mở đầu: Hàm số f(x) liên tục trên [-a; a], khi đó: ∫ =∫ + −
−
a a
a
dx x f x f dx x f
0
)]
( ) ( [ )
(
Ví dụ: +) Cho f(x) liên tục trên
[-2
3
; 2
3π π
] thỏa mãn f(x) + f(-x) = 2−2cos2x,
Tính: ∫
−
2
3
2
3
)
(
π
π
dx
x
+
1 1
2
4 1
sin
dx x
x x
Bài toán 1: Hàm số y = f(x) liên tục và lẻ trên [-a, a], khi đó: ∫
−
a a
dx x
f( ) = 0.
Ví dụ: Tính: ∫
−
+ +
1 1
2) 1
−
+ +
2 2
2) 1 ln(
cos
π
π
dx x x
x
Bài toán 2: Hàm số y = f(x) liên tục và chẵn trên [-a, a], khi đó: ∫
−
a a
dx x
f( ) = 2∫a f x dx
0 ) (
Ví dụ: Tính ∫
1 1
2
4 x 1
x
dx
2
2
cos
4 sin
dx x
π
π
+
−
∫
Bài toán 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục, chẵn trên [-a, a], khi đó: ∫ =∫
+
−
a a
a
x dx f x dx b
x f
0 ) ( 1
) (
(1≠b>0, ∀a)
Ví dụ: Tính: ∫
− +
+
3 3
2 2 1
1
dx
x
2 2 1
5 cos 3 sin sin
π
π
dx e
x x x
x
Bài toán 4: Nếu y = f(x) liên tục trên [0;
2
π
], thì ∫ =∫2
0
2 0
) (cos )
(sin
π π
dx x f x f
Ví dụ: Tính ∫2 +
0
2009 2009
2009 cos sin
sin
π
dx x x
x
0 sin cos
sin
π
dx x x
x
Bài toán 5: Cho f(x) xác định trên [-1; 1], khi đó: ∫π =π ∫π
0 0
) (sin 2
) (sinx dx f x dx xf
Ví dụ: Tính ∫π +
01 sinx dx
x
π
0 2 cos
sin
dx x
x x
Bài toán 6: ∫ + − =∫b
a
b
a
dx x f dx x b a
0 0
) ( )
(
Ví dụ: Tính ∫π +
0
2 cos 1
sin
dx x
x x
0
) 1 ln(
4 sin
π
dx tgx x
Bài toán 7: Nếu f(x) liên tục trên R và tuần hoàn với chu kì T thì:
Trang 9a∫+T =T∫
a
dx x f dx x f
0 ) ( )
0 0
) ( )
(
VÝ dơ: TÝnh 2008∫π −
0
2 cos
C¸c bµi tËp ¸p dơng:
1 ∫
−
1
1
2 2 1
1
dx
x
−
+
− +
−
4 4
4
3 5 7 cos
1
π
π
dx x
x x x x
3 ∫
1 1
2) 1 )(
1
dx
+
2 2
2 sin 4 cos
π
π
dx x
x x
5 ∫
−
2
1
2
1
) 1
1 ln(
2
x
x
2 0
2 2
5 cos 1 sin
π
π
dx x
x
8
cot
(tga>0)
VII TÍCH PHÂN HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI:
1 ∫
−
−
3
3
2 1dx
0
2 4x 3dx
0
dx m x
−
2 2 sin
π
π
dx x
5 ∫
−
−
π
π
dx x
sin
6
2
π
π
dx x g x
3
4
2 sin
π
π
dx
0 cos
1 x dx
9 ∫
−
−
−
+
5
2
) 2 2
0 4
2x dx
11 ∫
−
−
3 2
3 cos cos
cos
π
π
dx x x
4 2 1
x 3x 2dx
−
− +
13
5
3
( x 2 x 2 )dx
−
+ − −
2 2 2 1
2
1
x
∫ 15
3 x 0
2 −4dx
∫ 16
0
1 cos2xdx
π
+
17
2
0
1 sin xdx
π
+
∫ 18 ∫2 x −x dx
0
2
VIII ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN:
DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG VÀ THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY
1 Tính diện tích hình phẳng:
Bài 1: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
a) y = x2 - 2x + 4, y - 4 = x; b) y = x2 - 2x + 3, y = 5 - x;
c) y = x2 - 2x + 2, y = -x2 - x + 3; d) y = x3 - 3x, y = x;
e) y = x2 - 2x + 4, y - 4 = x; f) y = 2x - x2, x + y = 2;
g) y = x3 - 12x, y = x2; h) y = 2x3 - x2 - 8x + 1, y = 6
Bài 2: Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y =
2 x
12 x 10
x2
+
−
− và đường thẳng y = 0.
Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y =
1 x
x
x2
+
+
− và trục hoành.
Bài 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x3 + 3x2, trục hoành và các đường thẳng x = -2,
x = -1
Bài 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành, trục tung, đồ thị hàm số y = x3 - 3x + 1 và đường thẳng x = -1
Trang 10Bài 6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục tung, trục hoành và đồ thị của hàm số y = 2xx++11
Bài 7: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = ex, y = 2 và đường thẳng x = 1
Bài 8: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x và y = x + sin2x với x ∈ [0; π]
Bài 9: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = cosx trên đoạn [0; 2π], trục hoành, trục tung và đường thẳng x = 2π
Bài 10: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
a) y = x3, x + y = 2, y = 0; b) y = x, y = 0, y = 4 - x;
c) y = x
e 2
1
− , y = e-x, x = 1; d) x + y = 1, x + y = -1, x - y = 1, x - y = -1
Bài 11: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
a) y = x3 - 1 và tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x3 - 1 tại điểm (-1; -2)
b) (P): y = -x2 + 6x - 8, tiếp tuyến tại đỉnh của parabol (P) và trục tung
c) y = x3 3x và tiếp tuyến với đường cong tại điểm có hoành độ x =
-2
1
2 Thể tích vật thể tròn xoay:
Bài 1: Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo nên do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây khi quay quanh trục Ox
a) y = x + 1, y = 0, x = -1, x = 2; b) y = x3 + 1, y = 0, x = 0, x = 1
Bài 2: Tính thể tích các hình tròn xoay tạo nên do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây quay quanh trục Ox:
a) y = 5x - x2, y = 0; b) y = -3x2 + 3, y = 0
Bài 3: Tính thể tích các hình tròn xoay tạo nên do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây quay quanh trục Ox:
a) y = 2 - x2, y = 1; b) y = 2x - x2, y = x; c) y = x3, y = 8 và x = 3
Bài 4: Tính thể tích các hình tròn xoay tạo nên do hình phẳng giới hạn bởi các đường (C) y = x2 + 1, x = 0 và tiếp tuyến của (C) tại điểm (1; 2) khi quay quanh trục Ox
Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
1) y = x2 - 2x + 2, y = 0, x = -1, x = 2
2) y = x2 - 2x, y = 0, x = -1, x = 2
3) y = -x2 + 4x, y = 0
4) y = x2 + x + 2, y = 2x + 4
5) y = x2 - 2x + 2, y = -x2 - x + 3
6) y = 2
4
1
x , y = 2
2
1
x + 3x
7) y = x, y = 0, y = 4 - x
8) y = x2, y = 2
8
1
x , y =
x
8 9) y = x2 −3x+2 , y = 2
10) y = x2 −4x+3 , y = x + 3
11) (P): y = x2, x = 0 và tiếp tuyến với (P) tại điểm có hoành độ x = 1
13) (P): y = -x2 + 4x - 3 và các tiếp tuyến của (P) tại các điểm M1(0; -3), M2(3; 0)
14) (P): y = -x2 + 4x và các tiếp tuyến của (P) đi qua điểm A(
2
5
; 6)
15) y = tgx, y = 0, x = 0, x =
4
π .
16) y = lnx, y = 0, x =
e
1 , x = e
