Văn Phong Bài giảng Nguyên hàm – Tích phânVĂN ĐÌNH PHONG Tài liệu dùng cho học sinh ôn thi TNPT và ĐH, CĐ Cuốn bài giảng “Nguyên hàm – Tích phân” này được biên soạn và tham khảo từ một
Trang 1Văn Phong Bài giảng Nguyên hàm – Tích phân
VĂN ĐÌNH PHONG
Tài liệu dùng cho học sinh ôn thi TNPT và ĐH, CĐ
Cuốn bài giảng “Nguyên hàm – Tích phân” này được biên soạn và tham khảo từ một số nguồn khác nhau và chắc chắn còn nhầm và thiếu sót, Thầy mong các em góp ý và
bổ sung để tài liệu được hoàn thiện hơn Thầy cảm ơn các em Thầy chúc các em cùng gia đình Mạnh Khỏe, An vui; chúc các em học tập tốt, đạt kết quả cao trong các kỳ kiểm tra cũng như các kỳ thi
Nội dung cuốn bài giảng gồm 3 phần:
Phần I NGUYÊN HÀM
Phần II TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
Phần III ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
Hy vọng rằng, cuốn bài giảng này sẽ góp phần giúp các
em có thêm niềm yêu thích và tiến bộ trong học Toán
Ngày Nhà giáo Việt Nam 20/11, xin Kính chúc các Thầy Cô
giáo Mạnh khỏe, An vui để tiếp tục chăm lo dựng xây các thế
hệ vì tương lai đất nước
Các em cũng là những người Thầy của Thầy, chúc các em
luôn khỏe mạnh, vui tươi và đạt thành tích cao trong học tập
và tu dưỡng đạo đức Món quà nhỏ này thầy dành tặng các
em, Thầy cảm ơn các em nhiều!
ĐỖ NHO TRƯỜNG ĐỒNG THỊ THẢO
LÊ THỊ TƯƠI
ĐỖ THỊ HẠNH CAO THỊ KIM ANH TRẦN THỊ HIỀN CAO THỊ HẠNH TRANG CAO VĂN DƯƠNG CAO VĂN HỢI NGUYỄN NHƯ DU NGUYỄN HỮU HƯNG
LÊ MINH TIẾN
LÊ THỊ HƯƠNG v.v…
Trang 2ĐẠO HÀM, VI PHÂN
1 Bảng đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản và các hệ quả:
0)'
.'
x
.'
u u
2
1'1
2
''
x x
e
e u
x a
ln
1'
|
|
a u
u u
a
ln
''
sin
''
)(sinlim
0 ) (
x u
x
)(sin
)(lim
0 ) (
x u
x u
Trang 3Văn Phong Bài giảng Nguyên hàm – Tích phân
)()('
b f b F
a f a F
2 Định lý
F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a, b) thì:
+ F(x) + C cũng là nguyên hàm của f(x) trên (a, b) với C là hằng số
+ Mọi nguyên hàm của f(x) trên (a, b) đều có thể viết dưới dạng F(x) + C
Ký hiệu tất cả các nguyên hàm của f(x) là f(x)dx nên ta viết: f(x)dx = F(x) + C
Nếu F’(x) = 0 trên (a, b) thì F(x) không đổi trên (a, b)
x dx
u du u
)0(
|
|ln
a
x x
)10
u u
sinxdxcosxC sinuducosuC
2
cos1
Trang 4C x dx
C b ax a
dx b
sin( ) 1cos( ) ( a 0)
C b ax a
a dx
e axb axb
C b ax a
dx b
dx a
11
2
2
x2 a dx x x2 a alnx x2 a C
22
a
2 2
C x C
x x
dx
arccosarcsin
C a
x x
Trang 5Văn Phong Bài giảng Nguyên hàm – Tích phân
3(
Giải:
a x dx x d x (3x51) C (3x151) C
3
1)13()13(3
1)
1
3
(
5 5
4 4
b sin xcosxdxsin xd(sinx)sin5 xC
5 4
4
e
e d dx
e
x x x
1)
1cos
22
I x x sin2xC
4
122
cos
11
cos1
x C
x x
x d dx
x
x dx
5 4
cos4
1cos
4
1cos
)(coscos
sincos
)4(2
14
2 2
2 2
dx x
16
5
1
2
C x
x C x
x x
d x x
3
1
Trang 6VD4 Chứng minh rằng F(x)lnx x2 a(a0) là một nguyên hàm của hàm số
a x
)()('
),()
()('
b f b F
a f a F
b a x x f x F
Vậy ta giải: VD4 như sau:
2 2 2
2 2
2 2
x f a x a x x a x
x a x a
x x
a x x
a x x
a x x a x x
0)
(
2
x khi x
x
x khi e
x F
2
0)
(
x khi x
x khi e
x f
2
0)
('
x khi x
x khi e
x F
0 0
F x F F
F x F F
x x x
(2)
- Từ (1) và (2) suy ra F'(0) F'(0)1F'(0)1
01
2
0)
(
x khi x
x khi e
Vậy F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên R
VD6 Xác định a, b, c sao cho F(x) = (ax2 + bx + c).e-x là một nguyên hàm của hàm số:
f(x) = (2x2 – 5x + 2).e-x trên R?
Ta có: F'(x)(2axb)ex (ax2 bxc)ex [ax2 (2ab)xbc]ex
Trang 7Văn Phong Bài giảng Nguyên hàm – Tích phân
Do F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên R nên
Rxf(x),
2
52
2
252)
2
2
c b a
Vậy a = -2, b = 1, c = -1 thỏa mãn bài toán
Bài tập 1 Tính các tích phân bất định sau:
1 )dx
x
1-3x(x2
)1(
F(x) = C
x x
33
5 3 4 2 3
F(x) = x x C
3 2
32
2 3 5
2sin
1
F(x) = tanx - cotx + C
x x
x
2 2
cos.sin
2cos
Trang 8x x
3ln
31
x x x
10
5.3
22
C
x
6ln6
dx e
C e
dx e
e
x x
5 2
5 2
x
x x
4 f’(x) = x - 12 2
x và f(1) = 2 ĐS f(x) = 2
3212
Trang 9Văn Phong Bài giảng Nguyên hàm – Tích phân
2
x x
2
1)
(
2
x khi x
x khi x
12
)(
x khi
x khi x
0)
1ln(
)(
2
x khi
x khi x
x x
0)
1ln(
1
2)
2 2
x khi
x khi x
x x
x f
Bài tập 5 Xác định các hệ số a, b, c sao cho F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên R
(
2
x khi b ax
x khi x
12
)(
x khi
x khi x
x f
b F(x) = (ax2 + bx + c).e-2x, f(x) = -(2x2 – 8x + 7).e-2x
c F(x) = (ax2 + bx + c) 2 x 3,
32
73020
)(
Từ đó tìm nguyên hàm G(x) của f(x) với G(2) = 0
)1(
733)
b Tìm nguyên hàm F(x) của
2sin)(x 2 x
82
)(
x x F
41sin2
1)
Bài tập 7 Tìm nguyên hàm của hàm số
x x
f
cos
1)(
Bài 8 Tìm nguyên hàm của hàm số:
x x
f
2sin
1)(
ĐS: F x lntgx C
2
1)(
Trang 10CHỦ ĐỀ II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
I PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
Xét f(x)dx Giả sử x (t)là một hàm liên tục cùng với đạo hàm của nó và có hàm ngược t1(x) Khi đó ta có công thức:
f dx x
( ) ( )'( ) ( )
Ta trả lại biến cũ:
x C dx
cos
|
|
0,2
,2
,sin
t
a x
t t
t
a x
2 2
sin
|
|
t t a x
t t a x
2 2
|
|
t gt a
x
t tgt a x
x a
x a
hoặc
x a
x a
x b x a x f
cossin
)(
2
x tg
2cosx
))(
(
1)
(
b x a x x
a x
b x
a x
Trang 11Văn Phong Bài giảng Nguyên hàm – Tích phân
x C n
t dt t dx x
n n
n n
1
) 1 ( 1
) 1 (
1 1
x C
n
t dt t I
dt xdx
xdx dt
x
n n
n
)1(2
11
2
12
12
1
1 2 1
x C
t t dt
t t I
dx x dt
1
8 3 7
3 8
7 6
2 3
1
2 5
x
dx x I
Giải:
2
12
2 2
1 2
1 ) 1 ( 1
1
2 2
2
4 2
5
t t
dt t
t t t
dt t
x
xdx x x
1
|
|ln2
( x
xdx I
t t dt
t
t t
dt t
3
12
14
14
114
12
12
11
22
14
1
Trang 12VD6 Tính: dx
x x
56
2
Giải:
Đặt t 3x2 5x1dt (6x5)dx Khi đó ta có:
C x
x C t t
dt dx
x x
53
12
12
1133
)1
dx x I
Giải:
1 Đặt x1t x1t2 dx2tdt Khi đó ta có:
x C
t
t dx
t t t
tdt x
121
x
x xdx
tg
2 3
3 3
2
cos
sin.sincos
sinĐặt t cosxdtsinxdx Khi đó ta có:
x C
t t
dt t t dt
1
|
|ln2
11
)1(
2 2
3 3
2 2
3
x x x x
e e
dx e e
t
t dt
t t t
tdt e
e
dx e I
x x x
11ln
21
1ln21
121
)1
2 3 10
3 10
t x
dx x
Trang 13Văn Phong Bài giảng Nguyên hàm – Tích phân
dx I
x x
dx I
x a x
sin2
2,
b t dt t
b t t dx t
b t x t tx x b x x t
b
2 2
2 2 2
2 2
2 2
2
24
)(244
b t t t t
b t
b
x
22
22
2 2
2 2
dt dt t
b t t
b t b
2
22
11
2 2
4 2
3
3
x x
dx x
x
xdx x
1
2 3
t t
dt I
zdz I
dt zdz z
2 3
)1(
11
22
12
1
Đặt z = tgu
C z
z arctgz
C u tg
tgu arctgz
C u u
C u u
du u udu
du u tg
u tg I
du u tg
1.1
24
2sin22
1cos
)1
(
)1
()
1
(
2 2
2 2
2
2 3
2
Tiếp tục trả biến ta được:
C x
x x
arctg C
z
z arctgz
2 3
4
12
1)
1(42
x
x x
arctg
2 2
3
4
12
1
Trang 14VD10 Tính tích phân:
)1(x3x
dx I
Giải:
Đặt t x3 dt 3x2dx Khi đó ta có:
C x
x C
t
t dt
t t t
t
dt x
x
dx x x
ln3
11
113
1)1(3
1)1()
1
3 3
3 2 3
t 1ln 1 Khi đó ta có:
C t
dt t dx x
x
I 3/2 1ln 3/2
3
23
2ln
dx
sin1
1
x
xdx I
Giải:
t
dt t
t
tdt I
xdx tdt x
t x
1
3 2 2
2 2
x x C C
t dt
t tdt
t dx x
x
1 2 2
2 2
5 2
3
11
5
25
2)
(1
x x C
I 1 2 41 2
5
2
Trang 15Văn Phong Bài giảng Nguyên hàm – Tích phân
12cos3cos
3cos
3.sin33
2sin
24
Giải:
2
,2,
t dt
t tg dt
tgt
t tg dx
)3(3
13.3
2 2 2
C
x arctg tg C
3ln
42
x x
x x
cossin
cossin
Giải:
x x
x x
d dx
x x
x x
)cos(sin
cossin
cossin
5cos3sin
dx I
Ta cần nhớ lại, khi đặt
2
x tg
1
2sin 2
Trang 16Đặt dt
t dx
1.31
2.4
125
cos3sin
2 2 2
2
t t dt t
t t
t t dt x
x
dx I
tg
C t
t
t d t
12
12
)2(
1
Bài tập Tính các tích phân bất định sau:
1 (5x1)2dx 2 5
)23
x
3 2
25
3
)1
dx e
28 2 1
x x
x x
3
4 4
xdx
36 x dx 3x
cossin
Trang 17Văn Phong Bài giảng Nguyên hàm – Tích phân
II PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
Ta có công thức d(uv) = udv + vdu; d(uv)udvvduuvudvvdu
Vậy:
udvuv vdu (*) Công thức (*) được gọi là công thức tính tích phân từng phần
Như vậy để sử dụng phương pháp tính tích phân từng phần ta thực hiện theo các bước sau:
- Bước 1: Biến đổi f(x)dx f1(x)f2(x)dx
(
)(
2 1 2
1
dx x f v
x df du dx
x f dv
x f u
xdx du
xdx dv
x
u
cos
2sin
dx du xdx
dv
x u
sincos
Vậy I1'xcosxdx xsinxsinxdx xsinxcosxC
Suy ra I1 (x2 1)cosx2(xsinxcosx)C(x2 1)cosx2xsinxC
t t tdt t
t t I t
v
dt t du tdt
dv
t
u
sin6sin2sin
3sin2sin
3cos
2 3
2 3
2
2 3
tdt du tdt
dv
t u
cos2cos'
cos
2sin
2 2 2
+ Tính I2 ''tcostdt tsintcostC (xem I ) 1'
C t t
t t t t t
I
C t t
t t t
2
cos2sin2cos
'
2 3
2
2
2
C x x
x x
x x x
Trang 183 Đặt I x x xdx x x x C
x v
dx du xdx
x e
I x
v
dx e du xdx
dv
e
sin.2sin.sin
2cos
2 2
4
2 2
+ Tính I4'e2x.sin xdx
Đặt:
4 2
2 2
4
2 2
2cos.cos
.2cos.'
cos
2
dx e du xdx
e
I
C x x
e
I
I x x
e I x e
x e
I
x
x
x x
)cos2(sin5
4)cos2(sin)
2cos(
2sin
4 2
2
4
x x
x x x
x I x x v
dx x du dx
x x dv
x
4
ln4
41
1)
2(
2 4 5 2 4
x dx x
x x x
ln4
3 4 2
4 3
2 4 5
dx x x
x x
du dx
dv
x x
u
11
12
11
2
11
1ln
x x
x
x
dx x x
x x
x x
x x
12
11
1
ln
1
11
2
11
1
ln
12
11
2
1.11
11
ln
2 2 6
Đến đây các em đã có thể rút ra một số kinh nghiệm để giải một số bài toán tích phân bất định có sử dụng phương pháp tích phân từng phần
Bằng kinh nghiệm có được, khi chúng ta gặp tích phân có lượng giác, đa thức, lũy thừa… thì chúng ta nhớ đặt ưu tiên “Nhất log, nhì tang, tam đa, tứ mũ”, tức là chúng đa chọn đặt làm sao cho khéo để việc tính toán tích phân theo phương pháp từng phần được dễ dàng và nhanh gọn hơn
Trang 19Văn Phong Bài giảng Nguyên hàm – Tích phân
Bài tập: Tính các tích phân bất định sau:
1.x sin xdx 2.x cos xdx 3.(x2 5)sin xdx 4 (x2 2x3)cosxdx
24.x2cos2xdx
III TÍCH PHÂN MỘT SỐ LỚP HÀM
III.1 TÍCH PHÂN CÁC HÀM HỮU TỶ
Hàm f(x) được biểu diễn dưới dạng:
)(
)()(
x Q
x P x
là hàm hữu tỷ, trong đó P(x), Q(x) là những đa thức với hệ số thực
)(
, trước tiên ta cần chú ý:
A Nếu bậc của P(x) lớn hơn hoặc bằng với bậc của Q(x) thì bằng phép chia đa thức cho đa thức
ta có:
)(
)()()(
)(
x Q
x R x h x Q
x P
x R
)(
)(
Do đó không mất tính tổng quát, ta luôn giả thiết bậc P(x) bé hơn bậc của Q(x)
B Giả sử đa thức Q(x) có bậc là n và viết dưới dạng:
s
s s m
n r n
n
q x p x q
x p x x
x x
a x
Q( ) ( 1) 1( 2) 2 ( ) ( 2 1 1) 1 ( 2 )
Trong đó: 1: là nghiệm bội n 1 của phương trình Q(x) = 0
2 : là nghiệm bội n 2 của phương trình Q(x) = 0
…
r : là nghiệm bội n r của phương trình Q(x) = 0
Các đa thức: x2 p i xq i không có nghiệm thực ( 0)
Đồng thời n 1 + n 2 + ….+ n r + 2(m 1 + m 2 + + m s ) = n Khi đó ta có thể viết:
)(
)(
2 2 1
1
2 2 2
21 1
1 2
1 12 1
A x
A x
A x
A x
Q
x P
Trang 20Qua việc phân tích trên, việc tính tích phân dx
x Q
x P
)(
)( đưa về tính các tích phân dạng sau:
a x
N Mx
N Mx
k
Vậy ta có các cách tính sau:
a x
a x A a x d a x A dx a x
dx Mp
N dx q px x
p x M
dx q px x
N Mx
2 2
2
2
22
2
2
p q
p x
dx Mp
N q px x
q px x d M
p q
p x arctg p
q
Mp N q px x
2
4
24
2ln
k
q px x
dx Mp
N q
px x
q px x d M dx q px x
N Mx
2 2
q px x
dx Mp
N k
q px x M
2
1 2
21
2Vậy để tính tích phân này ta đưa về tích phân sau:
dt p
q
p x
p x d q
px x
dx I
2 2 2
2 2
42
t k t a
2
)(
2)
a a t k a
t t
t ka
)(
2
1
2 2 2 1
Trang 21Văn Phong Bài giảng Nguyên hàm – Tích phân
t ka
t
2 2 2 1
2
122
Các công thức trên cho phép ta đưa việc tính I về việc tính I k-1 Do đó sau (k – 1) bước liên tiếp
dùng công thức truy hồi ta đi tới tích phân cuối cùng:
C m
t arctg m m t
dt
2 2 11
VD1 Tính các tích phân bất định sau:
23
2
1
x x
dx
256
2 2
x x
dx I
x x
x
I
84
13
2
x x
x x
I
1
32
2 4 3 4
2
11
1)
2)(
1(23
2
1
x
dx x
dx dx
x x
x x
dx x
ln1
ln
x
dx x
dx x
2 2
3
dx x x
dx x x
x dx
x x
x dx
x x
58
4
422
38
4
542238
4
13
2 2
2 2
2
34)2(
584
842
3
x
dx x
x x
dx x
x
x x
d
x x arctg x C
2
22
584ln
2
2 2
4 2 2
)32(1
32
dx x x
x dx
x x
x x dx x x
x x
dt t t
t dt
t t
t dt
121
2)12(1
3
2
2 2
2 2
12
1ln
2
11
21
12
1
2 2
2 2
2
t
t d t
t t
t
dt t
t
t t
d
t arctg t
21ln
21ln
2
2 4
Trang 222
102
23
1 3 2 3
4
3)1(
.4
1)12(2
33.2)
1(
.)13
(
2
1
I x
x I
x I
33.2)1(
.)12
(
2
1
2 2 1
2 2
Vậy
x x
x x
x
x x d dx
x x
x dx
x x
x
2 2
2
2 2
2 2
2
9)1(10
2
1022
310
2
1)22(2310
2
23
Để tính được tích phân này ta tính tích phân tổng quát sau:
tdt a
dt t tg a
t tg a
cos2
11
1cos
1)
1(
1)
2 3 2
2 4
2 2
2
2
x a
ax a
x arctg a
C t tg a
tgt a
x arctg
x
x x I
8147
62
2 3 2
1)
4)(
2)(
1(
628
147
6
2 3 2
B x
A x
x x
x x x
x x
x x
)2)(
1()4)(
1()3)(
2(6
Trang 23Văn Phong Bài giảng Nguyên hàm – Tích phân
6248
2356
1
C B A
C B A
C B A
C B
A
x x
713
x x
x I
)3()1(
1
3 2
Giải:
Ta có:
31
)1()1()3()
1
(
1
2 3
3 2
C x
B x
A x
13
33
0352
130
D C B A
D C B A
D C B A
D C
5132
5)1(8
3)1(2
1)
3()1(
1
2 3
3 2
x
dx x
dx x
dx x
dx dx
x x
x I
x
x x
5)1(8
3)
1(
dx I
11
1)
1(
3 3 3
3 2 2
5
x x
x d x
x d x
x
dx x
x
dx I
t t t t dt t t dt t
t t
dt t I
1 (
1 1
1 1
1 1 1
1
2 3
3
3 3
3
Ta xét:
) 1 )(
1 (
) )(
1 ( ) 1 (
1 1
) 1 )(
t t A t
t
C Bt t
A t
t t
Trang 24Khai triển tử và đồng nhất ta được:
100
C B A
C A
C B A
B A
t t
t t
dt dt
t t t
113
1)1)(
1(
1
2
3)12(213
11ln
2
2
32
1212
11
)1(
6
11ln
3
1
t
t d t
t
t t d t
3
123
1)1ln(
6
11ln
2
2
b a
b x a c bx ax
dx
chúng ta đã học và làm các dạng bài tập ở phần “Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số”
Để hiểu hơn phương pháp giải tích phân dạng này chúng ta xét một số ví dụ sau:
Trang 25Văn Phong Bài giảng Nguyên hàm – Tích phân
2
1
x x
3 2
2
x x
2 2
3
x x
dx I
Giải:
b x
x x
C t
t
t
dt x
x d x
ln3
ln
33
)1(
)1(4
2
2 2
2 2
x x
a
dx
arcsin
2 2
t a
2
cos)
sin1(a
acostdtdx
x C
t dt t a
tdt a x a
tdt a x
a
dx
arcsincos
coscos
2 2 2
2 2
2
3
23
1
323
19
43
43
131
43
x
x d
x x
dx x
x
dx I
C
x C
1 3
1 3
2 arcsin 3
2 2
3
2
72
32
23
2
74
92
3.22
132
x
x d
x x
dx x
x
dx I
C t
t t
2 2
2
7ln
21
2
72
C x
a x
Trang 262 1
x x
2 2
2
x x
252
5.26
2 1
x x
dx x
x
dx I
2 2
2
12
12
525
t
dt x
x d
2 2
4
32841
43
8
4116
94
3.22
432
x
x d
x x
dx x
x
dx I
x
x
x d
4414
3arcsin21
4
34
412
43
2 2
Chú ý: Các em có thể tham khảo phương pháp và cách giải sau để so sánh với phương pháp trên và sau đó các em đưa ra nhận xét cho riêng mình
(Phương pháp giải toán Tích phân – Lê Hồng Đức, Lê Bích Ngọc – trang 111)
))(
dx I
0
b x
a x
x a x
dx b
x a x
dx b x a x dx b x a
x
22
2
12
t t
dt b
x a x
(
Trang 27Văn Phong Bài giảng Nguyên hàm – Tích phân
0
b x
a x
x dx
b x a
()
(2
1)
(21
dt b
x a x
)2
x C
t t
dt b
x a x
2
x x
dx I
Giải:
)3)(
2
dx I
Ta xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: Với:
30
3
02
x
dx x
x
dx x x
dx x
x
322
322
32
32
12
x C
t t
dt x
2(
Trường hợp 2: Với:
20
3
02
dx x x
32
32
12
2
1
dt x
x
322
C t t
dt x
2(Các em so sánh kết quả này với kết quả ở VD ở trang 25 Các kết quả “nhìn” khác nhau nhưng đều đúng Vậy các em chọn cách giải nào!!!!!!
Trang 28B Tích phân dạng dx
c bx ax
B Ax
a
Ab B c
bx ax
c bx ax d a A
dx c bx ax
a
Ab B dx
c bx ax
b ax a
A dx
c bx ax
a
Ab B b ax a
A dx c bx
2
2 2
2 2
2)
(2
2)
2(22
)2
(2
dx a
Ab B C c bx ax a
A
2 2
2Đối với tích phân:
c bx ax
dx I
x I
182
35
2
x x
x I
86
43
2 2
x I
182
35
x
182
1384
131
82
844
5
2 2
x x
dx dx
x x x
13182
)182
(
4
5
2 2
2
x
dx x
x
x x d
2
142
ln2
13182
2
7)
2(2
134
5
x
dx t
dt
x x
x I
86
43
x
86
13)62(
2
3
2
Trang 29Văn Phong Bài giảng Nguyên hàm – Tích phân
C x
x x
C x
x d x
x
x x
dx dx
x x
x x d
13863
)3(1
)3(13863
86
138
6
)86(
2
3
2
2 2
2 2
x I
18
x I
2
23
2 2
218
182
11
8
2)82(211
8
2
2 2
2 2
2
1
x x
dx x
x
x x d dx
x x
x dx
x x
1
2 2
12
22
32
2
1)12(232
23
2 2
2 2
2 2
x x
dx x
x
x x d dx
x x
x dx
x x
x I
x x
x x
x d x
1arcsin2
123
2
12
3
212
12
2 2
2
3
12arcsin2
12
2
)(
bx ax x Q c bx
Trong đó Q(x) là đa thức với hệ số bất định có bậc thấp hơn bậc của p(x) một đơn vị là hằng
số cần tìm Lấy đạo hàm hai vế của (1) ta được:
c bx ax c bx ax
b ax x
Q c bx ax x Q c bx ax
dx x p
2
2)
()
(')
()
(')
Dùng phương pháp cân bằng các hệ số của (2) ta xác định được đa thức Q(x) và hệ số
Như vậy tích phân đã được giải quyết xong
Trang 30Đối với tích phân:
x I
23
x x x I
244
291612
2
2 3
2
4 3
x x
dx x I
x x
x dx
x x
x I
23
13232
3
1
2 2
x x
x
23
12323
2 2
523
232
32
32
1
234
5)32(23
4
934
1
23
132
3
2 2
2 2
2
2 2
2 2
x x
dx x
x
x x d dx
x
dx x
x
x dx
x x
dx x x
x dx
x x
Đến đây là các dạng đã được xét ở trên, các em có thể tự giải tiếp được rồi
x x x
I
244
291612
2
2 3
44)(
244
291612
2 2
2 2
2 3
2
x x
dx x
x C Bx Ax dx x
x
x x x
2(2916
12
244244
24)
(
244)2
(2
44
2916
12
2 2
2 3
2 2
2
2 2
2 3
x C Bx Ax C
Bx Ax B Ax x
x x
x x x
x
x C
Bx Ax
x x B Ax x
x
x x x
Trang 31Văn Phong Bài giảng Nguyên hàm – Tích phân
8/1
4/31
22
2
946
4
168
B
A
C B
1244)8
14
3(
2 2
2
2
x x
dx x
x
x x
32
2 2
3 2
4 3
x x
dx x
x D Cx Bx Ax x
x
dx x
3(2
32
3
232
32
32
232
323
2 3 2
2
4
2 2
2 3
2 2
x C Bx Ax
x
x x x
x
x D
Cx Bx Ax
x x C Bx Ax
02
33
4
02
3
2
02
36
6
02
32
9
13
C B A
D
C C
A
B
A B
x x
dx x I
Trang 324
32
14
32121
4
32
1
4
32
1
2 2
2 2
2
2
x x
c
b a x b a ax dx x
c dx
x
x b dx
0 2
0
1
c b a
x x
x x x
C x
x x
x x x
x x
x x x
x
dx dx
x
x dx
1ln8
114
3
2
12
1ln2
111
2
1ln8
314
1
2
4
3212
1
4
321214
321
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2
1ln8
114
ax d b ax c b a
dx c ax dx
b ax c b
c ax b ax c b I
2 / 1 2
/ 1
32
)()()()(111
VD Tính tích phân sau:
231
dx I
Trang 33Văn Phong Bài giảng Nguyên hàm – Tích phân
x d x
x d x
2 / 1 2
/ 1
231
39
2
)23()23()13()13(3
1
E Tích phân dạng: x max nbp
Đây là dạng bài tập phức tạp, ít gặp, thầy giới thiệu để các em tham khảo
Trong đó a,bR; m,n,pQ (a,b,n,p)0
Tích phân này đưa được về tích phân hàm hữu tỷ trong ba trường hợp sau:
1 Nếu p nguyên thì ta dùng phép biến đổi x = t N , với N là mẫu số chung của các phân số m
3 2
11
dx I
2 3
t t
t dt
4 2
2 8 1
)1(
34326
)1(6
t
t t
dt t
3 5
)1(
61
181845
6
Mà:
C arctgt t
t t
td dt
x x
x x
6 5
1
318
45
6
Trang 341
13
2)
1
dt t
t t td dt
t
t I
t t
2 2
4
1
11
13
1)1(32
C arctgt t
t t
1ln6
1)1(3
;11
1
3
3 3 3
/ 1 3 3
x t
x x
C t
t dt t t
dt t
t t
t t
3
3 / 4 3 2 3
3 3 / 2 3 3
)1(2
32
21
)1(1)
1(
VD2 Tính các tích phân sau:
x dx
x
x x x
2
x x
dx
132
32
2 4
2
22
Trang 35Văn Phong Bài giảng Nguyên hàm – Tích phân
Khi đó:
t
dt dt
t dt t
t t dt t t
t t t
2
3 5 2
6
4 6
2
31
66
1
16
)1(
2 Mẫu số chung nhỏ nhất của các phân số: 2/3, 1/2 là 6
Vậy ta đặt:
dt t dx x
t t
6
62121
dt t t
t
dt t
1
11313
3 4
5 2
C t
1 ln 3 ) 1 ( 2 3
6 2 6
2
3 Mẫu số chung nhỏ nhất của các phân số: 2/3, 1/2 là 6
Vậy ta đặt:
dt t dx x
t t
6
62323
Khi đó:
C arctgt t
t t t
t
dt dt
t t t dt t
t t
dt t t I
373
13
13
1
31
6.21
3 5 7
2 2
4 6 2
8 2
5 3 3
323
32332)32(5
3)32(73
4 Đặt
t dt
t dx
t
t x
t t
x t xt x t
x
x
2 3
2 3
3 3
3 3
3 3
1
121
)1(2)
1(2)1(2
22
1
41
1222
t
t t
t x
t t
dt dt
t
t t t
t I
3 / 2 2
3 2
3
2 6
2 3 4
2
24
34
32
31
12.16
12
III.3 TÍCH PHÂN CÁC HÀM LƯỢNG GIÁC
Tích phân các hàm lượng giác có khá nhiều dạng khác nhau từ cơ bản đến phức tạp, mỗi dạng lại có các cách làm khác nhau Để các em đỡ phải nhớ nhiều các dạng gây rối trong quá trình học tập, Thầy sẽ tóm tắt các dạng chính giúp các em tiện theo dõi và làm bài tập tốt hơn
Ở phần trên, chúng ta cũng đã làm một số bài toán liên quan đến các hàm lượng giác, các
em xem lại để củng cố giúp cho việc làm các dạng sau được tốt hơn
Trang 36A Tích phân dạng: Rsinx,cosxdx với R là hàm hữu tỷ
Phương pháp: dùng phép thế:
2
x tg
t khi đó ta có:
2
1
2sin
t
t x
t
t x
Như vậy với phép thế như trên thì hàm dưới dấu tích phân trở thành hàm hữu tỷ đổi với t
Trong một số trường hợp đặc biệt, để việc tính tích phânRsinx,cosxdx trở lên đơn giản
hơn thì chúng ta cần chú ý đến tính chất chẵn, lẻ của hàm số R đối với sin hoặc cos
+ Nếu R(sinx, cosx) là hàm lẻ đối với sinx tức là:
R(-sinx, cosx) = - R(sinx, cosx)
thì ta dùng phép thế t = cosx
+ Nếu R(sinx, cosx) là hàm lẻ đối với cosx tức là:
R(sinx, -cosx) = - R(sinx, cosx)
thì ta dùng phép thế t = sinx
+ Nếu R(sinx, cosx) là hàm chẵn đối với cosx tức là:
R(-sinx, -cosx) = R(sinx, cosx)
thì ta dùng phép thế t = tgx
5cos3sin
dx I
tg
C t
t
dt
t t dt t
t t
t t dt x
x
dx I
22
12
1)
2
(
)44(2
251
1.31
2.4
125
cos3sin
4
2
2 2
2 2
2
x
x x
3
cos
sinsin
Giải:
Ta có:
x
x x
C t
t
dt t
dt t
dt t x
x d x dx
x
x x I
2
2)
2(cos
cos)cos2(cos
sin)sin
1
(
2 2
2 2
2 2
2
Trang 37Văn Phong Bài giảng Nguyên hàm – Tích phân
Giải:
Hàm dưới tích phân là hàm lẻ đối với sinx nên ta đặt t = cosx Khi đó:
C x x
C t t
dt t dt t dt t
t x
x d x x
/ 7 2
/ 3 3
/
7
2 / 1 3
/ 4 3
/ 2 2
2cos
7
33
27
3
)1(cos
cos)cos1(cos
sin
x x
x x
dx
coscos
sin2sin
Hàm dưới dấu tích phân là hàm chẵn đối với sinx và cosx nên ra đặt t = tgx Khi đó:
C tgx
tgx
C t
t t
t
d
t t
dt tgx
x tg
dtgx tgx
x tg
dx x
x x x
dx I
21ln
2
2
1
21
21ln22
12)
1
(
)1(
121
2)
12(
coscos
cossin2sin
2
2 2
2 2 2
2
x x
x x
5 3
sinsin
coscos
Giải:
Hàm dưới dấu tích phân là hàm lẻ đối với cosx nên ta đặt t = sinx Khi đó ta có:
C x arctg x
x
C arctgt t
t dt t t
dt t
t
t t t
t
dt t t
x x
x d x x
x x
xdx x
x dx
x x
x x
sin
2sin
621
621)
2(
23)
2(
)2)(
1
(
sinsin
sin)sin2)(
sin1(sin
sin
cos)cos1(cossin
sin
coscos
2 2
2 2
2 4 2
2
2 2
4 2
2 2
4 2
2 2
4 2
5 3
B Tích phân dạng: sinm x.cosn xdx
VD1 Tính tích phân: I sin5 x.cos6 xdx
Giải:
Ta có:
C x x
x
x d x x
x x
xd x
x
x xd x
x xd x
xdx x
11
6 8
10 6
2 4
6 2 2 6
4 6
5
cos 7
1 cos
9
2 cos
11
1
cos ) cos cos
2 (cos
cos cos
).
1 cos 2 (cos
cos cos
) cos 1 ( cos cos
sin cos
sin
Trang 38Giải:
Ta có:
C x tg x
tg
dtgx x tg x tg x
dx x x
x dx
x
x I
2 2
2 2
2
2 6
2
3
1 5
1
) 1
( cos
cos
1 cos
sin cos
tg x tg x
tg
C t t
t t
t
t d t
t t
dt t
t t t t dt t
t xdx
4 6
2 2
4 6
2
2 2
4 6
2 3
5 2
7 7
1ln2
12
14
16
1
1ln2
12
14
12
14
16
1
11
Trang 39Văn Phong Bài giảng Nguyên hàm – Tích phân
Giải:
Ta có:
C x
x d x
d
x d x
x x
x
dx
x
x x
dx x
x
dx I
/ 2
3 / 5 3
/ 1
3 / 1 2 3
/ 1 4
3 12
3 11
cot8
3cot
2
3
cotcot
cotcot
cotcot
cot1cot
sin
sin
cossin
cossin
Giải:
C tgx C
x
tg
dtgx x tg x tg
dtgx x
x tg dx
x x x
dx x
x
dx I
/
1
4 / 3 4
/ 3 2
4 / 3
cos.cos
cos
sincos
sin
x x
dx I
sin22sin
1(
sin2
1)1(cossin
sin)
1(cossinsin
22
xdx x
x
xdx x
x
dx x
x
dx I
Hàm dưới dấu tích phân là hàm lẻ đối với sinx nên ta đặt t = cosx Khi đó ta có:
dt t
c t
b t
a t
t
dt x
1(2
1)1)(
1(2
1)1)(coscos
1
(
sin2
1
2 2
1
4/1
2/1
cossin
sin
dt x
x d x
xdx x
dx I
Dạng quen thuộc, các em tự giải tiếp…
Trang 40Cách 2
x x
dx x
dx
sin.sinsin
x
x du
dx x dv
x
u
cotsincos
Khi đó ta có:
C x
x x
tg I
C
x tg I x
x x
dx x
dx x
x
dx x
x x
x dx
x
x x
x x
xdx x
x
x x
3 2 3
2 2
2
sin
cos2
cotsin
sinsin
cot
sin
)sin1(sin
cotsin
cossin
cotsin
cos.cotsin
cotsin
x x
3
4 4
2 11
3
x x
e
x x
x
3
)sin
x
2
sin41
2sin
2 2
ln2)1ln(
1
x
x x
x x
x
168
1
2 4
5
x x
x
3 3
)1(1
17
1)3( 2)5(
1
1)2(
19
)1
4
cos2cos
dx x x x
x
4 3 4
3 6
)(
1
