Chuyên đề Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình luyện thi đại học

Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số.. Phương Trình, Bất Phương Trình Chứa Dấu Trị Tuyệt Đối.. Hệ Phương Trình Không Mẫu Mực... Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ P

Chuyên đề 9 Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số 3

§1 Phương Trình, Bất Phương Trình Đa Thức 3

§2 Phương Trình, Bất Phương Trình Chứa Dấu Trị Tuyệt Đối 6

§3 Phương Trình & Bất Phương Trình Chứa Căn 9

§4 Hệ Phương Trình Mẫu Mực 19

§5 Hệ Phương Trình Không Mẫu Mực 22

Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số

§1 Phương Trình, Bất Phương Trình Đa Thức

Bài tập 9.1 Giải các phương trình, bất phương trình sau:

a) x

2− 3x − 2

x + 52x − 1 +

2x − 1

x + 5 > 2.

c) x3− 3√3x2+ 7x −√3 = 0 d) (4 + x)2− (x − 1)3 = (1 − x) x2− 2x + 17
.Lời giải

a) Bất phương trình tương đương với x

Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞; −3] ∪ [0; 1)

b) Bất phương trình tương đương với

(x + 5)2+ (2x − 1)2− 2 (x + 5) (2x − 1)

x2− 12x + 362x2+ 9x − 5 > 0Bảng xét dấu

d) Phương trình tương đương với

Bài tập 9.2 Giải các phương trình, bất phương trình sau:

Vậy phương trình có bốn nghiệm x = −1, x = 2, x = 3 ±

√13

b) Ta có x4= (2x − 5)2 ⇔ x2+ 2x − 5

x2− 2x + 5
= 0 ⇔ x = −1 ±√6

Vậy phương trình có hai nghiệm x = −1 ±√6

c) Phương trình tương đương với

Vậy phương trình có hai nghiệm x =

Bài tập 9.4 Giải các phương trình, bất phương trình sau:

b) Đặt x2+ x + 1 = t Phương trình trở thành t(t + 1) = 12 ⇔



t = 3

t = −4 .Với t = 3 ⇒ x2+ x + 1 = 3 ⇔



x = 1

x = −2 Với t = −4 ⇒ x

2+ x + 1 = −4 (vô nghiệm)

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1, x = −2

c) Phương trình tương đương với (x2− 2x − 2)2− (x2− 2x − 2) − x2+ x = 0

√17

2 ; t = 1 − x ⇒ x

2− 2x − 2 = 1 − x ⇔ x =1 ±

√13

Vậy phương trình có bốn nghiệm x = 3 ±

√17

2.e) Điều kiện: x 6= 0

Vậy phương trình có ba nghiệm x = 7, x = 2 ±

√37

c) Phương trình tương đương với

(x + 1) (x + 4) (x + 2) (x + 3) = 3 ⇔ x2+ 5x + 4

x2+ 5x + 6
= 3Đặt x2+ 5x + 4 = t Phương trình trở thành t (t + 2) = 3 ⇔



t = 1

t = −3 .Với t = 1 ⇒ x2+ 5x + 4 = 1 ⇔ x = −5 ±

√13

2 ; t = −3 ⇒ x

2+ 5x + 4 = −3 (vô nghiệm)

Vậy phương trình có hai nghiệm x = −5 ±

√13

d) Phương trình tương đương với

(x − 1) (x + 5) (x + 1) (x + 3) + 16 = 0 ⇔ x2+ 4x − 5

x2+ 4x + 3
+ 16 = 0Đặt x2+ 4x − 5 = t Phương trình trở thành t (t + 8) + 16 = 0 ⇔ t = −4

Với t = −4 ⇒ x2+ 4x − 5 = −4 ⇔ x = −2 ±√5 Vậy phương trình có hai nghiệm x = −2 ±√5.e) Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm phương trình Với x 6= 0, phương trình tương đương với



x − 1x

x = 1 ⇔ x

2− x − 1 = 0 ⇔ x = 1 ±

√5

√5



x + 2x

x = −5 ⇔ x

2+ 5x + 2 = 0 ⇔ x = −5 ±

√17

Vậy phương trình có bốn nghiệm x = −5 ±

√17

7 ±√17

§2 Phương Trình, Bất Phương Trình Chứa Dấu Trị Tuyệt Đối

Bài tập 9.6 Giải các phương trình, bất phương trình sau:

2x − 3

x − 3

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2.

d) Phương trình tương đương với

e) Ta có |x − 2| < |2x + 1| ⇔ (x − 2)2 < (2x + 1)2⇔ 3x2+ 8x − 3 > 0 ⇔



x > 13

x < −3 .Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞; −3) ∪ 1

3; +∞

.f) Điều kiện: x 6= 3 Bất phương trình tương đương với

|2x − 3| ≤ |x − 3| ⇔ (2x − 3)2 ≤ (x − 3)2⇔ 3x2− 6x ≤ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤ 2 (thỏa mãn)

Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = [0; 2]

Bài tập 9.7 Giải các phương trình, bất phương trình sau:

x + 12x − 1

b) Phương trình tương đương với |x + 2| = 5 − x2

Với x+2 ≥ 0 ⇔ x ≥ −2, phương trình trở thành x+2 = 5−x2 ⇔ x2+x−3 = 0 ⇔

"

x = −1+

√ 13 2

x = −1−

√ 13

2 (loại)Với x+2 < 0 ⇔ x < −2, phương trình trở thành −x−2 = 5−x2 ⇔ x2−x−7 = 0 ⇔

"

x = 1+

√ 29

2 (loại)

x = 1−

√ 29 2

Vậy phương trình có hai nghiệm x = −1 +

√13

−x2+ 2x + x2− 4 > 0 ⇔ x > 2 (loại) ⇒ S2 = ∅Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = S1∪ S2= (−∞; −1) ∪ (2; +∞)

f) Điều kiện: x 6= −1, x 6= 1

2.Đặt |x + 1

2x − 1| = t (t > 0) Phương trình trở thành

3

t2 − t − 2 = 0 ⇔ t3+ 2t − 3 = 0 ⇔ t = 1.Với t = 1 ⇒

Bài tập 9.8 Giải các phương trình, bất phương trình sau:

a)√x2− 2x + 1 +√x2+ 4x + 4 = 5 b) x2− 5x + 4 + x2− 5x = 4

c) |9 − x| = |6 − 5x| + |4x + 3| d) |7 − 2x| = |5 − 3x| + |x + 2|

e) |x − 1| − 2 |x − 2| + 3 |x − 3| = 4 f) p

x + 2√x − 1 +px − 2√x − 1 = 2.Lời giải

a) Phương trình tương đương với |x − 1| + |x + 2| = 5

Bảng xét dấu

Với x ∈ (−∞; −2], phương trình trở thành −x + 1 − x − 2 = 5 ⇔ x = 3 (loại)

Với x ∈ (−2; 1], phương trình trở thành −x + 1 + x + 2 = 5 ⇔ 3 = 5 (vô lý)

Với x ∈ (1; +∞), phương trình trở thành x − 1 + x + 2 = 5 ⇔ x = 2 (thỏa mãn)

Vậy phương trình có nghiệm x = 2



x = 4 (thỏa mãn)

Với x ∈ (4; 5], phương trình trở thành x2− 5x + 4 − x2+ 5x = 4 ⇔ 4 = 4 (đúng, ∀x ∈ (4; 5]).Với x ∈ (5; +∞), phương trình trở thành x2− 5x + 4 + x2− 5x = 4 ⇔



x = 0 (loại)

x = 5 (loại) .Vậy phương trình có tập nghiệm S = [0; 1] ∪ [4; 5]

5 (loại).

Với x ∈ (9; +∞), phương trình trở thành −9 + x = −6 + 5x + 4x + 3 ⇔ x = −34 (loại)

Vậy phương trình có tập nghiệm S =−3

3 (loại)

Với x ∈ 72; +∞
, phương trình trở thành −7 + 2x = −5 + 3x + x + 2 ⇔ x = −2 (loại)

Vậy phương trình có tập nghiệm S =−2;5

Với x ∈ (3; +∞), phương trình trở thành x − 1 − 2 (x − 2) + 3 (x − 3) = 4 ⇔ x = 5 (thỏa mãn).Vậy phương trình có tập nghiệm S = [1; 2] ∪ {5}

f) Phương trình tương đương với √x − 1 + 1 +

√

x − 1 − 1 < 0 ⇔ 1 ≤ x < 2, phương trình trở thành

√

x − 1 + 1 −√x − 1 + 1 = 2 ⇔ 2 = 2 (đúng, ∀x ∈ [1; 2))Vậy phương trình có tập nghiệm S = [1; 2]

§3 Phương Trình & Bất Phương Trình Chứa Căn

Bài tập 9.9 Giải các phương trình, bất phương trình sau:

b) Phương trình tương đương với



x + 1 ≥ 02x +√6x2+ 1 = x2+ 2x + 1 ⇔



x ≥ −16x2+ 1 = x4+ 2x2+ 1

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 0, x = 2

c) Phương trình tương đương với

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 5

d) Phương trình tương đương với

√2x − 1 = −x2+ 3x − 1 ⇔



−x2+ 3x − 1 ≥ 02x − 1 = x4+ 9x2+ 1 − 6x3+ 2x2− 6x

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 0, x = 2 −√2

Bài tập 9.10 Giải các phương trình, bất phương trình sau:

Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = [6; 7]

b) Bất phương trình tương đương với

x2− 4x − 12 ≥ 0

2x + 3 ≥ 0

c) Điều kiện: x ≥ 4 Bất phương trình tương đương với

Kết hợp điều kiện bất phương trình có tập nghiệm S = 10 −√34; +∞

d) Bất phương trình tương đương với

Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = {−1} ∪ [0; 2]

Bài tập 9.11 Giải các phương trình, bất phương trình sau:

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 0, x = 113

b) Điều kiện: 2 ≤ x ≤ 5 Phương trình tương đương với

√3x − 3 =√5 − x +√2x − 4 ⇔ 3x − 3 = 5 − x + 2x − 4 + 2p(5 − x) (2x − 4)

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2, x = 4

c) Điều kiện: x ≥ 2 Bất phương trình tương đương với

√5x − 1 >√x − 1 +√2x − 4 ⇔ 5x − 1 > x − 1 + 2x − 4 + 2p(x − 1) (2x − 4)

⇔ x + 2 >p(x − 1) (2x − 4) ⇔ x2+ 4x + 4 > 2x2− 6x + 4 ⇔ 0 < x < 10

Kết hợp điều kiện bất phương trình có tập nghiệm S = [2; 10)

d) Điều kiện: x ≥ 2 Bất phương trình tương đương với

x + 1 + 4 (x − 2) + 4p(x + 1) (x − 2) ≤ 5x + 1 ⇔ x2− x − 2 ≤ 4 ⇔ −2 ≤ x ≤ 3

Kết hợp điều kiện bất phương trình có tập nghiệm S = [2; 3]

Bài tập 9.12 Giải các phương trình, bất phương trình sau:

Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = 25

4 ; +∞

.c) Bất phương trình tương đương với





√2x2− 3x − 2 = 0

Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = −∞; −12 ∪ [3; +∞) ∪ {2}

d) Bất phương trình tương đương với

Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞; 0) ∪ (2; +∞)

Bài tập 9.13 Giải các phương trình, bất phương trình sau:

7 .b) Điều kiện: x ≤ √3

Bài tập 9.14 Giải các phương trình, bất phương trình sau:

2 (loại)Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3

b) Điều kiện: x ≥ −12, x 6= 0 Bất phương trình tương đương với

√

2x + 1 + 1 > 2x + 2 ⇔√2x + 1 > 2x + 1 ⇔ 2x + 1 > 4x2+ 4x + 1 ⇔ −1

2 < x < 0Kết hợp điều kiện bất phương trình có tập nghiệm S = −12; 0

c) Điều kiện: x ≥ −1 Nhận thấy x = 0 là nghiệm của bất phương trình

Với x 6= 0, bất phương trình tương đương với

1 −√x + 1
2> x − 4 ⇔ 1 + x + 1 − 2√x + 1 > x − 4 ⇔√x + 1 < 3 ⇔ x < 8Kết hợp điều kiện bất phương trình có tập nghiệm S = [−1; 8)

d) Điều kiện: x ≥ 0 Nhận thấy x2− x + 1 ≥ 34 ⇒p2 (x2− x + 1) > 1 Do đó PT tương đương với

⇔ x = 3 −

√52

Bài tập 9.15 Giải các phương trình, bất phương trình sau:



x = 1

x = −4 .Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1, x = −4

b) Phương trình tương đương với√2 + x − x2 = 1 + 2 x − x2

2.c) Đặt√2x2+ 4x + 3 = t (t ≥ 0) Bất phương trình trở thành t



x ≥ 1

x ≤ −3 .Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞; −3] ∪ [1; +∞)

d) Đặt√x2+ x + 4 = t (t ≥ 0) Bất phương trình trở thành t2− 4 − t + 2 ≥ 0 ⇔



t ≥ 2

t ≤ −1 (loại) .Với t ≥ 2 ⇒ x2+ x + 4 ≥ 4 ⇔



x ≥ 0

x ≤ −1 .Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞; −1] ∪ [0; +∞)

t = −1

t = −3 .Với t = −1 ⇒ (x − 3)

q

x+1 x−3 = −1 ⇔



x < 3(x − 3) (x + 1) = 1 ⇔ x = 1 −



x < 3(x − 3) (x + 1) = 9 ⇔ x = 1 −

√

13 (thỏa mãn)

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1 −√5, x = 1 −√13

Bài tập 9.16 Giải các phương trình, bất phương trình sau:

a) x +√4 − x2 = 2 + 3x√4 − x2 b) √3x − 2 +√x − 1 = 4x − 9 + 2√3x2− 5x + 2.c) (B-2011) 3 √

Vậy phương trình có ba nghiệm x = 0, x = 2, x = −2 −

√14



x ≤ 323x2− 5x + 2 = (3 − 2x)2 ⇔ x = 7 −

√21

2 (thỏa mãn).Vậy phương trình có nghiệm x = 7 −

√21

5 (thỏa mãn).

Với t = 3 ⇒√2 + x = 2√2 − x + 3 ⇔ 12√2 − x = 5x − 15 (vô nghiệm vì 5x − 15 < 0, ∀x ∈ [−2; 2]).Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 6

5.d) Điều kiện:



0 ≤ x ≤ 2 −√3

x ≥ 2 +√3 Nhận thấy x = 0 là một nghiệm của bất phương trình.

Với x > 0, bất phương trình tương đương với √x + √1

x +

r

x + 1

x − 4 ≥ 3.

Với t = 2x − 1 ⇒√x2− 2x = 2x − 1 ⇔

2x − 1 ≥ 0

x2− 2x = (2x − 1)2 ⇔



x ≥ 123x2− 2x + 1 = 0 (vô nghiệm).Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1 ±√2

2 .Với t = 2x − 1 ⇒√x3+ 1 = 2x − 1 ⇔

2x − 1 ≥ 0

Bài tập 9.18 Giải các phương trình, bất phương trình sau:

Từ (1) ⇒ v = 8 − 2u

3 vào (2) ta có5u3+ 3 8 − 2u

3

2

= 8 ⇔ 15u3+ 64 − 32u + 4u2 = 24 ⇔ u = −2 ⇒ v = 4 ⇒ x = −2Vậy phương trình nghiệm duy nhất x = −2

c) Phương trình tương đương với 2 x2+ 2
= 5p(x + 1) (x2− x + 1)

√ 37

2 Vậy phương trình có hai nghiệm x = 5 ±

√37

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 3 ±√13

Bài tập 9.19 Giải các phương trình, bất phương trình sau:



t = −x

t = x + 1 .Với t = −x ⇒√x + 5 = −x ⇔

⇔ x = 1 −

√21

⇔ x = −1 +

√17

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1 −

√21

−1 +√17

3x − 2 = x ⇔ 3x − 2 = x3 ⇔



x = 1

x = −2 .Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1, x = −2

.Vậy phương trình có ba nghiệm x = 1, x = −1 ±

√5

d) Đặt √3 35 − x3 = t Phương trình trở thành

(xt(x + t) = 30

t3+ x3 = 35 ⇔

(xt(x + t) = 30(t + x)3− 3xt (x + t) = 35

⇔

xt(x + t) = 30(t + x)3 = 125 ⇔

Bài tập 9.20 Giải các phương trình, bất phương trình sau:

a) x3+ 4x − (2x + 7)√2x + 3 = 0 b) (CĐ-2012) 4x3+ x − (x + 1)√2x + 1 = 0.c)p1 +√1 − x2 = x

Vậy phương trình có nghiệm x = 3

b) Phương trình tương đương với 8x3+ 2x − (2x + 2)√2x + 1 = 0

Với t = 2x ⇒√2x + 1 = 2x ⇔

2x ≥ 02x + 1 = 4x2 ⇔

(

x ≥ 0

x = 1±

√ 5 4

⇔ x = 1 +

√5

Vậy phương trình có nghiệm x = 1 +

√5

c) Nhận thấy 0 ≤ x ≤ 1 nên đặt x = sin t t ∈h0;π

2

i Phương trình trở thànhq

1 +p1 − sin2t = sin t1 + 2p1 − sin2t⇔√1 + cos t = sin t (1 + 2 cos t)

⇔1 + cos t = sin2t 1 + 4 cos t + 4cos2t
⇔ 1 = (1 − cos t) 1 + 4 cos t + 4cos2t

⇔4cos3t − 3 cos t = 0 ⇔ cos 3t = 0 ⇔ t = π

6;

π2

o

⇒ x ∈

1;12

.Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1, x = 1

2.d) Nhận thấy − ≤ x ≤ 1 nên đặt x = sin t t ∈h−π

2;

π2

i Phương trình trở thànhsin t +

inên t ∈

n

−π

6;

π18

o

⇒ x ∈

sin π

18; −

12

.Vậy phương trình có hai nghiệm x = sin π

a) Hệ đã cho tương đương với

((x + y)2− xy = 4

x + y + xy = 2 .Đặt x + y = S, xy = P (S2 ≥ 4P ) Hệ trở thành

Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) = (2; 0) và (x; y) = (0; 2)

b) Hệ đã cho tương đương với

(x + y)2− xy = 7

x + y + xy = 5 .Đặt x + y = S, xy = P (S2 ≥ 4P ) Hệ trở thành

(

S2− P = 7 (1)

S + P = 5 (2).

Từ (2) ⇒ P = 5 − S thay vào (1) ta có S2+ S − 12 = 0 ⇔



S = 3

S = −4 .Với S = 3 ⇒ P = 2 ⇒

Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) = (2; 1) và (x; y) = (1; 2)

c) Hệ đã cho tương đương với

((x + y)3− 3xy(x + y) + (xy)3 = 17

Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) = (2; 1) và (x; y) = (1; 2)

d) Hệ đã cho tương đương với

(x + y)2− 2xy + x + y = 4(x + y)2− xy + x + y = 2 Đặt x + y = S, xy = P (S



x + y + xy = 1(x + y)3− 3xy (x + y) + 3(x + y)2− 12xy − 4 = 0 .Đặt x + y = S, xy = P (S2≥ 4P ) Hệ trở thành

f) Hệ đã cho tương đương với

(x − y)2+ xy = 3 (x − y)(x − y)2+ 3xy = 7(x − y)2 ⇔

(x − y)2+ xy = 3 (x − y)

Bài tập 9.22 Giải các hệ phương trình sau:

x = y

y = 1−3x3 .Với x = y thay vào (1) ta có −x2= 3x ⇔



x = 0

x = −3 ⇒ hệ có nghiệm (x; y) = (0; 0), (x; y) = (−3; −3).Với y = 1 − 3x

b) Hệ đã cho tương đương với

(

x2− 3xy = 4y (1)

y2− 3xy = 4x (2).Trừ theo vế (1) và (2) ta có x2− y2 = 4y − 4x ⇔ (x − y) (x + y + 4) = 0 ⇔



x = y

y = −x − 4 .Với x = y thay vào (1) ta có −2x2= 4x ⇔



x = 0

x = −2 ⇒ hệ có nghiệm (x; y) = (0; 0), (x; y) = (−2; −2).Với y = −x − 4 thay vào (1) ta có x = −2 ⇒ hệ có nghiệm (x; y) = (−2; −2)

Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) = (0; 0) và (x; y) = (−2; −2)

c) Từ vế phải của các phương trình ta có x, y > 0 Hệ đã cho tương đương với

(3x2y = y2+ 2 (1)3xy2 = x2+ 2 (2).Trừ theo vế (1) và (2) ta có 3x2y − 3xy2 = y2− x2 ⇔ (x − y) (3xy + x + y) = 0 ⇔ x = y

Với x = y thay vào (1) ta có 3x3 = x2+ 2 ⇔ x = 1

Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x; y) = (1; 1)

d) Hệ đã cho tương đương với

(2x3+ x2y = 3 (1)2y3+ xy2 = 3 (2).Trừ theo vế (1) và (2) ta có 2x3− 2y3+ x2y − xy2= 0 ⇔ (x − y) 2x2+ 3xy + 2y2
= 0 ⇔ x = y.Với x = y thay vào (1) ta có 3x3 = 3 ⇔ x = 1

Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x; y) = (1; 1)

Bài tập 9.23 Giải các hệ phương trình sau:

(

x3+ y3= 1

((x − y)(x2+ y2) = 13(x + y)(x2− y2) = 25 .Lời giải

a) Hệ đã cho tương đương với

(

2x2+ 4xy − 2y2 = 14 (2).Trừ theo vế (1) và (2) ta có 5x2− 11xy + 2y2= 0 ⇔



x = 2y

y = 5x .Với x = 2y thay vào (1) ta có 14y2 = 14 ⇔ y = ±1 ⇒ hệ có nghiệm (x; y) = (2; 1), (x; y) = (−2; −1).Với y = 5x thay vào (1) ta có −28x2 = 14 (vô nghiệm)

Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) = (2; 1) và (x; y) = (−2; −1)

b) Hệ đã cho tương đương với

(5x2− 10xy + 15y2= 45 (1)9x2− 36xy + 45y2= 45 (2).Trừ theo vế (1) và (2) ta có −4x2+ 26xy − 30y2= 0 ⇔



x = 5y

x = 32y .Với x = 5y thay vào (1) ta có 90y2 = 45 ⇔ y = ±√1

2 ⇒ hệ có nghiệm (x; y) =±√5

2; ±√12

.Với y = 32x thay vào (1) ta có 954x2 = 45 ⇔ x = ±√6

19 ⇒ hệ có nghiệm (x; y) =±√6

19; ±√919

.Vậy hệ có bốn nghiệm (x; y) =



±√5

2; ±√12



c) Hệ đã cho tương đương với

(2x3+ 2y3 = 2 (1)

x2y + 2xy2+ y3= 2 (2).Trừ theo vế (1) và (2) ta có 2x3− x2y − 2xy2+ y3= 0 ⇔

Với y = 2x thay vào (1) ta có 18x3= 2 ⇔ x = √ 31

(

x3− x2y + xy2− y3 = 13

x3+ x2y − xy2− y3 = 25 ⇔

(25x3− 25x2y + 25xy2− 25y3= 325 (1)13x3+ 13x2y − 13xy2− 13y3= 325 (2).Trừ theo vế (1) và (2) ta có 12x3− 38x2y + 38xy2− 12y3= 0 ⇔

Với x = y thay vào (1) ta có 0 = 325 (vô nghiệm)

Với x = 32y thay vào (1) ta có 3258 y3 = 325 ⇔ y = 2 ⇒ hệ có nghiệm (x; y) = (3; 2)

Với x = 23y thay vào (1) ta có −32527y3= 325 ⇔ y = −3 ⇒ hệ có nghiệm (x; y) = (−2; −3)

Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) = (3; 2) và (x; y) = (−2; −3)

§5 Hệ Phương Trình Không Mẫu Mực

Bài tập 9.24 Giải các hệ phương trình sau:

x2 + 1 = 0 .e) (B-09)

a) Xét hệ

(

xy − 3y + 1 = 0 (1)4x − 10y + xy2 = 0 (2).

2;23

b) Xét hệ

(

x2+ 1 + y(y + x) = 4y (1)(x2+ 1)(y + x − 2) = y (2).

Từ (1) ⇒ x2+ 1 = y(4 − y − x) thay vào (2) ta có

y (4 − y − x) (x + y − 2) = y ⇔ y(x + y)2− 6(x + y) + 9= 0 ⇔



y = 0

y = 3 − xVới y = 0 thay vào (1) ta có x2+ 1 = 0 (vô nghiệm)

Với y = 3 − x thay vào (1) ta có x2+ x − 2 = 0 ⇔



x = 1

x = −2 .Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) = (1; 2) và (x; y) = (−2; 5)

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 0, x = −√2

Bài tập 9.10 Giải phương trình, bất phương trình sau:

Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = [6; 7]

b) Bất phương trình. .. (đúng, ∀x ∈ [1; 2))Vậy phương trình có tập nghiệm S = [1; 2]

§3 Phương Trình & Bất Phương Trình Chứa Căn

Bài tập 9.9 Giải phương trình, bất phương trình sau: