phương trình bậc hai một ẩn số

- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.. - Lập phương trình biểu thị sự tương quan giữa các đại lượng.. Bước 3 : So sánh nghiệm của phương trình với điều

Người dạy: Nguyễn Như Hoàng

Giáo viên Trường PTDT nội trú

Tiết 51 – Bài 3 Phương trình bậc hai

một ẩn

Trên một thửa đất hình chữ nhật có chiều dài là 32m, chiều rộng là 24m, người ta định làm một vườn cây cảnh có con đường đi xung quanh Hỏi bề rộng của mặt đường là bao nhiêu để diện tích phần đất còn lại bằng 560m².

560m ²

32m

24m

x

x

x

x

1 Bài toán mở đầu.

Gọi bề rộng của mặt đường là x (m),

(0 < 2x < 24).

Khi đó phần đất còn lại là hình chữ nhật có:

Chiều dài là : 32 2x (m),–

Chiều rộng là : 24 2x (m),–

Diện tích là : (32 2x).(24 2x) (m ).– – ²

Theo đầu bài ta có phương trình:

(32 – 2x) (24 – 2x) = 560

hay x - 28x + 52 = 0 ²

Giải

Được gọi là phương trình bậc hai một ẩn

Muốn giải bài toán này ta làm như thế nào?Để giải bài toán bằng cách lập phương trình ta có

thể làm theo ba bước sau :

Bước 1 : Lập phương trình.

- Chọn ẩn, đặt điều kiện thích hợp cho ẩn.

- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các

đại lượng đã biết.

- Lập phương trình biểu thị sự tương quan giữa

các đại lượng.

Bước 2 : Giải phương trình vừa thu được.

Bước 3 : So sánh nghiệm của phương trình với

điều kiện của ẩn và trả lời.

Phương trình bậc hai một ẩn (nói gọn là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng:

ax + bx + c = 0 ²

gọi là các hệ số và a ≠ 0

Ví dụ :

a/ x + 50x - 15000 = 0 ²

với ẩn x, các hệ số là: a = 1, b = 50, c = -15000 b/ -2y + 5y = 0 ²

với ẩn y, các hệ số là: a = -2, b = 5, c = 0

c/ 2t - 8 = 0 ²

với ẩn t, các hệ số là: a = 2, b = 0, c = -8

2 Định nghĩa.

Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc hai? Chỉ rõ các hệ số a, b, c của mỗi phương trình ấy:

a/ x - 4 = 0 ²

b/ x + 4x - 2 = 0 ³ ²

c/ 2x + 5x = 0 ²

d/ 4x - 5 = 0

e/ -3x = 0 ²

?1

có a = 1, b = 0, c = -4 Không phải là phương trình bậc hai

có a = 2, b = 5, c = 0 Không phải là phương trình bậc hai

có a = -3, b = 0, c = 0

Giải phương trình 3x - 6x = 0 ²

Ví dụ 1

Giải: Ta có 3x - 6x = 0 ² ⇔ 3x(x 2) = 0–

⇔ 3x = 0 hoặc x 2 = 0 – ⇔ x = 0 hoặc x = 2

Vậy phương trình có hai nghiệm : x 1 = 0 ; x 2 = 2

?2 Giải các phương trình sau:

a/ 4x - 8x = 0 ² b/ 2x + 5x = 0 ²

c/ -7x + 21x = 0 ²

3 Một số ví dụ về giải phương trình bậc hai.

a/ Ta có 4x - 8x = 0 ² ⇔ 4x(x 2) = 0–

⇔ 4x = 0 hoặc x 2 = 0–

⇔ x = 0 hoặc x = 2

Vậy phương trình có hai nghiệm : x 1 = 0 , x 2 = 2

b/ Ta có 2x + 5x = 0 ² ⇔ x(2x + 5) = 0

⇔ x = 0 hoặc 2x + 5 = 0

⇔ x = 0 hoặc x = -2,5

Vậy phương trình có hai nghiệm : x 1 = 0 , x 2 = -2,5

c/ Ta có -7x + 21x = 0 ² ⇔ 7x(-x + 3) = 0

⇔ 7x = 0 hoặc -x + 3 = 0

⇔ x = 0 hoặc x = 3

Vậy phương trình có hai nghiệm : x 1 = 0 , x 2 = 3

- Muốn giải phương trình bậc hai khuyết hệ số c, ta phân tích vế trái thành nhân tử bằng cách đặt nhân tử chung Rồi áp dụng cách giải phương trình tích để giải.

- Phương trình bậc hai khuyết hệ số c luôn có hai nghiệm, trong đó có một nghiệm bằng 0 và một nghiệm bằng (-b/a)

Tổng quát và cách giải phương trình bậc hai khuyết hệ số c

ax + bx = 0 (a ² ≠ 0)

⇔ x(ax + b) = 0

⇔ x = 0 hoặc ax + b = 0

⇔ x = 0 hoặc x = -b/a

Vậy phương trình có hai nghiệm : x1 = 0 , x2 = -b/a

Nhận xét 1.

Giải phương trình x - 3 = 0 ²

Ví dụ 2

Giải : Ta có x - 3 = 0 ² ⇔ x2 = 3 tức là x =

Vậy phương trình có hai nghiệm : x1 = , x2 =

?3 Giải các phương trình sau :

a/ 3x - 2 = 0 ² b/ x + 5 = 0 ²

c/ -15 + 5x = 0 ²

3

±

3 − 3

a/ Ta có 3x - 2 = 0 ² ⇔ 3x 2 = 2 tức là x =

Vậy phương trình có hai nghiệm : x 1 = ; x 2 =

3

2

±

3

2

3

2

−

b/ Ta có x + 5 = 0 ² ⇔ x 2 = -5 < 0

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

c/ Ta có -15 + 5x = 0 ² ⇔ 5x 2 = 15 ⇔ x 2 = 3

Suy ra x =

Vậy phương trình có hai nghiệm : x 1 = ; x 2 =

3

±

- Muốn giải phương trình bậc hai khuyết hệ số b, ta chuyển hệ số c sang

vế phải, rồi tìm căn bậc hai của

- Phương trình bậc hai khuyết hệ số b có thể có hai nghiệm hoặc có thể vô nghiệm.

Tổng quát và cách giải phương trình bậc hai khuyết hệ số b

ax + c = 0 (a ² ≠ 0) ⇔ ax2 = -c

⇔ x2 =

+) Nếu < 0 ⇒ pt vô nghiệm

+) Nếu > 0 ⇒ pt có hai nghiệm x1,2 = ± c

a

−

Nhận xét 2.

c a

−

c a

−

c a

−

c a

−

Giải phương trình bằng cách điền vào chỗ trống ( ) trong các đẳng thức sau :…

Vậy phương trình có hai nghiệm là:

( )

2

7 2

x − 2 = ( ) 2

7

2

x , x

?4

2

14

2 ±

2

7

±

2

14

4 +

2

14

4 −

?5 Giải phương trình :

2

7 4

4x

2

1 4x

1 8x

?6

?7

Giải phương trình:

Giải phương trình :

.

7 2

2

x 4x 4

?5

2

7 2)

(x − 2 =

2

14

4 x

;

2

14

4

Biến đổi vế trái của phương trình, ta được:

Theo kết quả ?4 phương trình có hai nghiệm là:

?6

1 8x

2x

2 − =−

7 2

2

x 4x 4

?5

2x - 8x + 1 = 0 (*) ²

Ví dụ 3

⇔ (chuyển 1 sang vế phải)

2

7 2)

(x − 2 =

2

14

4 x

;

2

14

4

2

1 4x

x 2 − =−

1 2

− + = − +

2

Biến đổi vế trái của phương trình, ta được:

Theo kết quả ?4 phương trình có hai nghiệm là:

Thêm 4 vào hai vế của phương trình, ta được:

Chia hai vế của phương trình cho 2, ta được:

Biến đổi vế phải của phương trình, ta được:

Giải phương trình 2x - 8x + 1 = 0 ²

Vậy phương trình có hai nghiệm là:

Các kiến thức cần nhớ trong tiết học:

*) Định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn:

Phương trình bậc hai một ẩn (nói gọn là phương trình bậc hai) là phư

ơng trình có dạng ax2 + bx + c = 0 Trong đó x là ẩn; a, b, c là những

số cho trước gọi là các hệ số và a ≠ 0

*) Cách giải pt bậc hai khuyết b:

ax2 + c = 0  ax2 = - c

> → 1,2 = ± −

x

a

< →

c

a

x 0

ax b 0

=



x 0

b x

a

=





⇔

 = −



*) Cách giải pt bậc hai khuyết c:

ax2 + bx = 0 x(ax + b) = 0

Vậy pt có nghiệm x1= 0; x2 = -b/a

*) Cách giải pt bậc hai đầy đủ theo VD3 trong bài học.

1/ Học bài theo SGK và vở ghi.

2/ Nắm chắc định nghĩa và một số cách giải phương trình bậc hai dạng đặc biệt (b = 0 hoặc c = 0) và phương trình đầy đủ 3/ Làm các bài tập 12, 13 (Sgk-42, 43).

4/ Đọc và nghiên cứu trước bài Công thức nghiệm của phương “

trình bậc hai ”

Hướng dẫn về nhà.

Đưa các phương trình sau về dạng ax + bx + c = 0 ²

Đưa các phương trình sau về dạng ax + bx + c = 0 ²

và chỉ rõ các hệ số a, b, c :

a/ 5x + 2x = 4 x ² –

b/

c/

d/ 2x + m = 2(m 1)x ( ² ² – m là một hằng số)

Bài tập 11 (Sgk-42)

2

1 3x

7 2x

x 5

+

=

− +

1 x

3 3

x 2x2 + − = +

a/ 5x + 2x = 4 x ² – ⇔ 5x + 2x + x 4 = 0 ² –

⇔ 5x + 3x 4 = 0 ² –

Cã a = 5 , b = 3 , c = -4

b/

c/

d/ 2x + m = 2(m 1)x ² ² – ⇔ 2x - 2(m 1)x + m = 0 ² – ²

Cã a = 2 , b = - 2(m 1)– , c = m²

Gi¶i

2

15 c

, 1 -b

5

3 a

Cã

0 2

15 x

-x 5

3

0 2

1 -7 3x

-2x

x 5

3 2

1 3x

7 2x

x 5

3

2

2 2

−

=

=

=

=

−

⇔

=

− +

⇔ +

=

− +

,

1) 3

( c

, 3 1

b , 2 a

Cã

0 1)

3 ( )x 3 (1

2x 1

x 3 3

x

+

−

=

−

=

=

= +

−

− +

⇔ +

=

− +

Giải phương trình sau :

2x + 5x + 2 = 0 ²

Vậy phương trình có hai nghiệm Bài tập 14 (Sgk-43) 2 x 2 2 2 − = − = = − = ⇔ ± = + ⇔ =       + ⇔ + − =       + + ⇔ − = + ⇔ = + ⇔ = + + 2 1 2 2 2 2 x ; 2 1 x

2 x hoặc

2 1 x

4 3 4 5 x 16 9 4 5 x

16 25 1 4 5 4 5 x

1

x 2

5 x

-2 5x

2x

0 2

5x 2x

Bài giảng đến đây là kết thúc.