bai giang phuong trinh bac hai

• Khi xét trên trường số phức, phương trình luôn có hai nghiệm có thể phân biệt hoặc không, mà ta sẽ ký hiệu là x1 và x2• Vậy có bao nhiêu cách để giải phương trình bậc hai?????... Lúc

• Hai thành phố A và B cách nhau 120 km Một ôtô khởi hành từ A lúc 7h00 sáng và

đi tới B Nhưng khi đi được 2/3 quang

đường thì xe bị hỏng!!!!!!!!!!!!!!

• Phải dừng lại sửa mất 20 min ruì tiếp tục

đi tiếp với vận tốc chậm hơn dự kiến là 8km/h và đến B lúc 10h00 sang!

Hỏi ôtô hỏng lúc mấy giờ????????????

• Gọi vận tốc dự kiến của ôtô là x km/h (x>8)

• Căn cứ vào gỉa thiết bài toán ta có

phương trình:

• 80/x + 1/3 +40/(x-8) = 3

x 2 – 53x + 241 = 0

TrongToán học, thuật ngữ phương trình bậc hai

thường được hiểu là Phương trình đại số bậc hai của một ẩn

• Về mặt hình học, bản chất của việc giải

phương trình bậc hai là tìm hoành độ giao

điểm của hàm số bậc hai

y = aX 2 + bX +c (1)

với đường thẳng

y = 0 (Trục hoành)

Đồ thị của Phương trình bậc hai

(có dạng một Parabol):

Do đó dạng tổng quát của phương trình bậc hai một ẩn là:

a.x2+ b.x + c = 0

trong đó a ≠ 0, các số a, b và c là các hằng số (thực hoặc phức) được gọi là các hệ số: a là hệ

số của x², b là hệ số của x và c là hằng số hay

số hạng tự do.

• Khi xét trên trường số thực, nghĩa là chỉ tìm các giá trị thực thỏa mãn phương

• Khi xét trên trường số phức, phương trình luôn có hai nghiệm (có thể phân biệt hoặc không, mà ta sẽ ký hiệu là x1 và x2)

• Vậy có bao nhiêu cách để giải phương

trình bậc hai?????

• Lịch sử việc giải phương trình bậc hai bắt nguồn từ nền văn minh Babilon

cổ đại( khoảng 1800 năm trước Công nguyên) Lúc đó họ đã biết giải tất cả các phương trình bậc hai có nghiệm dương

• Vào khoảng năm 1500 trước công

nguyên, trong một tác phẩm của

người Ai Cập về những bài toán cụ thể đã nói đến những ví dụ giải

phương trình bậc hai Tuy nhiên, các bài toán đó chỉ liên quan đến việc tính diện tích một số hình

• Trường phái Pythagores (500 BC)

đã giải phương trình bậc hai bằng hình học và về sau người ta gọi là phương pháp Pythagores Và

Euclid cũng làm điều tương tự ở Alexandria, Egypt Đây chính là

những nỗ lực đầu tiên trong toán học để tìm ra công thức nghiệm

bậc hai

• Ở thế kỉ III trước công nguyên, người

Hi Lạp cổ đại đã biến việc giải

phương trình bậc hai thành cơ sở

cho toàn bộ hình học của họ và để có thể làm việc với tập số thực, họ đã

thay thế các tính toán của người

babilon bằng các phép dựng hình

bằng thước thẳng và compass

• Như vậy, trong nền toán học của

người Hi Lạp, trên cơ sở hình học, lý thuyết phương trình bậc hai được

phát triển liên quan đến việc phát

minh ra tính vô ước của một số đoạn thẳng Vì lúc đó ,người Hi Lạp chỉ biết các số nguyên dương và phân số

dương nên đối với họ, phương trình x²= 2 vô nghiệm

• Tuy nhiên, phương trình đó lại

giải được trong phạm vi các đoạn thẳng vì nghiệm của nó là đường chéo của hình vuông có cạnh

bằng 1.

• Ở Trung Hoa cổ đại, cách giải

phuơng trình bậc hai cũng được trình bày trong bộ sách “ Sách toán chính phưƠng”, trong cuốn “ Trương khâu kiện toán kinh” và trong cuốn “sổ thư cửu chương ”

• Mặc dù thời cổ đại người

Babilon, nguời Ai Cập, người

Hilạp, người Trung Quốc….đã biết cách giải phuong trình bậc hai nhưng họ không biểu diễn được công thức nghiệm tổng

quát Và công thức đó mãi đến năm 825, nhà toán học Al-

khowarizmi(Ả Rập, thế kỷ 11 ) mới thiết lập đựơc

• Al-khowarizmi đã đã giải phương

trình bậc hai bằng cả đại số và hình

học Tuy nhiên, Al-khowarizmi chỉ làm việc với tập số thực dương nên công thức của Al-khowarizmi vẩn chưa

mang tính tổng quát Và nhà toán học được xem như là đầu tiên biết sử

dụng công thức đại số tổng quát, cho phép có các nghiệm dương và âm là

• Brahmagupta đã phát triển một cách độc lập một tập hợp các công thức để tìm nghiệm của phương trình bậc hai

• Tuy vậy, một số phương trình bậc hai lại không có nghiệm khi sử dụng công thức nghiệm của Brahmagupta Phải chờ đến thế kỉ XVI, khi xuất hiện số

phức thì phương trình bậc hai mới

thực sự có được lời giải đầy đủ nhất Điều này có nghĩa là tất cả phương trình bâc hai đều có thể giải được

dưa vào công thức nghiệm bậc hai

• Bên cạnh Brahmagupta và

Al-khowarizmi, Abraham bar Hiyya

Ha-Nasi (tên Latinh là Savasorda) cũng được biết đến với tư cách là người đầu tiên giới thiệu với

người châu Âu lời giải trọn vẹn

phương trình bậc hai trong cuốn

TRƯỜNG PHÁI PYTHAGORAS

VÀ PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC:

• To solve the quadratic equation x2 =

ab, they used what was to become

Proposition 13 in Book VI of The

Elements This involved making the

construction opposite, the length x

being the solution The technique is

based on the relationship b:x = x:c

which results from the properties of the similar triangles ACD and DCB This process was also used to find

• According to Heath the solution of

ax - x2 = b2

was obtained with the construction

"To a given straight line (a) to

apply a rectangle which shall

be equal to a given square (b2) and shall fall short by a square figure" as follows:

• Draw AB equal in length to a

Bisect AB at C Draw CO

perpendicular to AB and equal in

length to b Produce OC to N so

that ON is equal in length to CB

(a/2) With O as centre and radius

ON, describe a circle cutting CB

in D

• Hence, DB is found which equals x -

one solution to the quadratic

ax - x2 = b2 The other solution being

AD

• This is because triangle CDO is

right-angled with CO (= b), OD (= a/2), and

CD (= a/2-x) being Pythagorean

triples Thus

(a/2)2 = b2 + (a/2 - x)2

a2/4 = b2 + a2/4 - ax + x2

i.e 0 = x2 - ax + b2

• Though the justification for this

construction may require some

understanding, the construction itself is quite straight forward Of course for a Real solution to this

style of quadratic, b2 must not be

greater than (a/2)2

• As an example let us solve x2 - 10x +

EUCLID

PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC

• Tuong tu nhu pythgoras,

Euclid cung da co nhung no

luc trong viec giai phuong trinh bac hai bang hinh hoc Sau

day la mot vi du dien hinh ve

viec giai phuong trinh bac hai cua Euclid:

PHƯƠNG PHÁP GIẢI CỦA

AL KHAWARIZMI !!!

• Having introduced the natural

numbers, Al-Khwarizmi introduces the main topic of this first section

of his book, namely the solution of equations His equations are

linear or quadratic and are

composed of units, roots and

• For example, to Al-Khwarizmi a

unit was a number, a root was x, and a square was x2 However,

although we shall use the now

familiar algebraic notation in this article to help the reader

understand the notions,

Al-Khwarizmi's mathematics is done

He first reduces an equation (linear or quadratic) to one of six standard forms:

• Squares equal to roots 10x2 = 20x 2

• Squares equal to numbers 10x2 = 25

• Roots equal to numbers 10x = 20

• Squares and roots equal to numbers

x2 + 10x = 39 5.

• Squares and numbers equal to roots

• Al-Khwarizmi then shows how to solve the six standard types of

equations He uses both algebraic methods of solution and

geometric methods For example

to solve the equation x2 + 10 x =

39 he writes:

• a square and 10 roots are equal to

39 units The question therefore in

this type of equation is about as

follows: what is the square which

combined with ten of its roots will give

a sum total of 39? The manner of

solving this type of equation is to take one-half of the roots just mentioned Now the roots in the problem before

• Therefore take 5, which multiplied

by itself gives 25, an amount

which you add to 39 giving 64

Having taken then the square root

of this which is 8, subtract from it half the roots, 5 leaving 3 The

number three therefore

represents one root of this

square, which itself, of course is

9 Nine therefore gives the

square

• The geometric proof by completing the square follows Al-Khwarizmi

starts with a square of side x,

which therefore represents x2

(Figure 1) To the square we must

add 10x and this is done by adding

four rectangles each of breadth

10/4 and length x to the square

(Figure 2)

• Figure 2 has area x2 + 10 x which

is equal to 39 We now complete the square by adding the four little squares each of area 5/2 × 5/2 = 25/4 Hence the outside square in Fig 3 has area 4 × 25/4 + 39 = 25 + 39 = 64 The side of the square

is therefore 8 But the side is of

length 5/2 + x + 5/2 so x + 5 = 8,

CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA AL-KHAWARIZMI

Ngoài các phương pháp trên, bạn nào có thể tìm ra cách

giải khác bằng phương pháp hình học

XÂY DỰNG CÔNG THỨC NGHIỆM BẬC HAI

• Với những đóng góp to lớn của

các nhà toán học trên, toán học

hiện đại ngày nay đã tổng hợp và phát triển các công thức đó một

Phương pháp đại số

Công thức bậc hai được tính theo

thêm bình phương của vào cả hai vế của

Vế trái bây giờ là một bình phương đúng của

Vế phải có thể viết dưới dạng một phân

phương trình, ta được:

Lấy căn bậc hai của hai vế, sẽ có

Bớt

từ cả hai vế, ta có

• Ngoài ra, trong trường hợp hệ số b = 2b` thì công thức trên có thể viết dưới dạng đơn giản hơn là:

• Trong trường hợp này, biệt thức trở thành

Hai công thức này và sự chứng minh của nó vẫn chính xác nếu các hệ số

a, b và c là các số phức

Ký hiệu

Phương pháp hình học

Một số ví dụ giải phương

trình bậc hai băng phương phương pháp hình học

khác: