Bất đẳng thức trong đề đại học

Tìm giá trị nhỏ nhất của: 2 P  Hướng đi: Nhiệm vụ của hướng đi là giúp bạn hướng tư duy và dự đoán dấu bằng Việc đầu tiên ta sẽ dự đoán dấu bằng của nó... Cách chứng minh BĐT này đã có

Bất đẳng thức trong đề đại học

Câu 1: (Diễn đàn Toán phổ thông) Cho a b, và c là các số thực dương Tìm giá trị nhỏ nhất của:

2

P



Hướng đi: (Nhiệm vụ của hướng đi là giúp bạn hướng tư duy và dự đoán dấu bằng)

Việc đầu tiên ta sẽ dự đoán dấu bằng của nó Đối với bài này, thông thường dấu = xảy ra khi b  c

Khi đó

2

2

P

Đến đây ta có thể dự đoán a  b(theo Cauchy)

Từ đây ta sẽ biết được a  b  c

Đến đây ta dùng Bất đẳng thức phụ: ( a b x  )(  y )  ax  by

( a b x )( y ) ax by 2 abxy ay bx 2 abxy

         (luôn đúng theo Cauchy)

Dấu = xảy ra khi a x

b  y

Đến đây ta sẽ lồng biểu thức  a b c  1 1 1

  vào BĐT phụ trên, và điều ưu tiên là ta sẽ khử đi ẩn a

 a b c  1 1 1 a 1 ( b c ) 1 1 1 b c



Đến đây ta kiểm tra, dấu = xảy ra khi 2

1



Điều này đi đúng với

hướng đã vạch ra là a  b  c

( Ở bước này ta có thể làm như sau

a b c

 

2 2

2



2

1

1 2

t





      nghịch biến trên 0;1

2

1

2

  Dấu = khi 1

2

t abc Vậy MinP  4 khi a  b  c

a  b  c a b   c  Tim giá trị lớn

nhất của a b c  2 b a c  2 1

P

Hướng đi: Với đề bài như thế này, ta sẽ mập mờ đoán ra a  b Khi đó, giả thiết sẽ là 2 2

a ac c 

Dấu = khi 1, 1

2

c ab

Giải: Chìa khóa bài này chính là bất đẳng thức phụ  2 2 2



Đây là bất đẳng thức đầu tiên mà bạn nên học nếu muốn chinh phục 10 điểm đề thi THPT Quốc gia Nó có rất nhiều tên gọi, một trong số đó là Schwarz Cách chứng minh BĐT này đã có rất nhiều trên mạng, các bạn có thể lên google search Vì là đất nước trên con đường hội nhập nên cách bạn hãy tự trang bị cho mình các kĩ năng,

và một trong đó là kĩ năng tìm kiếm thông tin Tôi chỉ xin nói ra dấu bằng của nó

Dấu = xảy ra khi x y

a  b

Từ đây ta sẽ có

Dấu bằng xảy ra khi 1, 1

2

c ab

Câu 3: (diendantoanhoc.net) Cho x y, và z thực dương thỏa mãn x2 y2 6 z2  4 ( z x  y ) Tim giá trị nhỏ

nhất của

P

z



Hướng đi: Qua hai câu trên, chắc chắn các bạn đã dự đoán được x y

Từ giả thiết suy ra (xz x)( 3 )z 0 Đến đây ta sẽ thử 2 trường hợp x yz và xy3z lần lượt vào P Thấy khi x yz thì P có giá trị nhỏ hơn Vậy dấu bằng khi xyz

Giải: Để ý thấy đây là BĐT là thuần nhất (có nghĩa là đồng bậc) nên ta sẽ sử dụng phép đặt như sau:

Đặt a x,b y

  (từ đây hướng đi của chúng ta đều quy về a  b  1 )

1





 2

a b

   và 2(ab)ab3

z



Đến đây, ta thấy sự tương quan giữa

3

2 1

a

b a  và

3

2 1

b

a b  Nhiệm vụ bây giờ của chúng ta là khử mẫu hoặc làm cho chúng cùng chung mẫu số Bây giờ ta 2 chia ra hai hướng

Hướng 1: Khử mẫu

Ta thấy ở tử là bậc ba, điều đó liên tưởng cho ta cauchy 3 số Và ta có thể khử theo hai cách như sau:

Cách 1.1:

Ta có

3

2

1

b a

 (lưu ý khi a  b  1 thì

3

2

1

b a

thế)

Tương tự

3

2

1

a b



   

2

a b

Cách 1.2: Ta có

2

2

;

1

1

b a

a b





2

a b

Hướng 2: Làm cho chúng cùng chung mẫu số

Mặt khác:

3

27

a b

a  b   (BĐT này rất dễ dàng chứng minh bằng tương đương, nhưng bạn hãy thử chứng minh theo hướng khác nhé, mọi bài toán lớn đều cần 1 bài toán nhỏ thế này)

Từ đó ta suy ra

3

27

1 27

2

a b

 

a b

Câu 4: (Boxmath) Cho a b, và c là các số thực dương thỏa 3 (a a b c)bc Tìm GTNN của P b c

a





Hướng đi: Ta dự đoán b  c Khi đó, 2  

3 ( a a  2 ) b  b  b  3 2 3  a

Vậy dấu bằng khi b   c  3 2 3   a

Giải: Ta thấy đây là BĐT thuần nhất Đặt x b;y c

  (từ đây ta sẽ xoay quanh x y 3 2 3 )

Theo giả thiết:  2

4

x y

6 4 3

Pxy 

Dấu = khi x  y   3 2 3  b   c  3 2 3   a

Câu 5: (THTT) Cho các số thực dương x y z, , thỏa 2 2 2

1

x  y  z  Tìm GTNN của

1

P

z



Hướng đi: Ta dự đoán dấu 2 2

x  y  x   z Thay vào P ta được

2

1 1

P

z z





Giải: Theo giả thiết z   0;1 

4

2 4

P

( )

1

f z

z



2

Bảng biến thiên:

Z

0 1

2 1 Theo bảng biến thiên,

f’(z) 0

8 3

3

MinP  Dấu bằng xảy ra khi

,

f(z) 2 2 3  

8 3 3

Lưu ý rằng sẽ nhiều bạn gặp khó khăn khi tìm

2 1

lim

1 1





Để làm tốt đề thi THPT Quốc Gia, tôi biết

các bạn sẽ phải chọn lọc những thứ cần học, và dĩ nhiên phần giới hạn lớp 11 sẽ bị bỏ qua, nên gặp những trường hợp thế này, các bạn cứ làm theo cảm tính, cứ tưởng tượng, z càng tiến tới 1 thì

2

2

1 z càng lớn Nên

ta cứ tự tin mà cho

2 1

lim

1 1



Câu 6: Cho các số thực không âm a b c, , thỏa a b c    1 và không có hai số nào đồng thời bằng 0 Tìm GTNN:

Hướng đi: Ta dự đoán dấu = khi a  b khi đó 2 a c   1

Khi đó

2 2

Giải: Theo giả thiết c    0;1

1 4

     (thêm 1 lần nữa, ta thấy được sức mạnh của Schwarz)

2 2

4

3 4 ( )

 

8

1

c

c



Suy ra hàm số nghịch biến trên   0;1  f c    f   0  8

Vậy MinP  8 khi 1, 0

2

ab c

Câu 7: (nguoithay.vn) Cho các số thực dương x y z, , thỏa 2 2 2

5( x  y  z )  9( xy  2 yz  zx ) Tìm GTLN của

 3

1

x

P

Hướng đi: Dự đoán yz Khi đó  2 2  2

5 x 2y 18 xyy x4y

Do đó 2 1 3

216.

P

  Khảo sát hàm số này ta thấy Pmax khi 1

12

y 

Vậy dấu = khi 1, 1

x yz Giải: Từ giả thiết, ta sẽ hướng đến các đại lượng đối xứng ( yz hoặc y  z hoặc y2 z2 )

5( x  y  z )  9( xy  2 yz  zx )  9 x y  z  5 x  5 y  z  18 yz   2 y  z

2 y z 9 (x y z) 5x 0

      (đây là bất phương trình đẳng cấp)

Đó là những gì ta có được từ giả thiết, và ta không thể quy về ẩn x để khảo sát hàm số Do đó ta sẽ quy về 1 ẩn khác Và chìa khóa chính là ẩn y  z

3

2

27

2



2

9

t

f t      t

Bảng biến thiên

T 0 6 

Theo bảng biến thiên, MaxP  16 Dấu bằng xảy ra khi

,

yz x

f’(t) 0

f(t)

0 

16

Câu 8: (toanhoc24h) Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn 4ac b a b c2 Tìm GTNN của

 

2

2

b

P



Thoạt nhìn biểu thức của P thật phức tạp, nhưng hãy nhìn kĩ, các biểu thức sẽ phân ra 2 phần, 1 phần đối xứng gồm (a,c) Và 1 phần không đối xứng gồm b Nên các bạn đừng quá lo lắng Cốt lõi bài toán sẽ nằm ở những thứ

đó

Hướng đi: Ta tiếp tục dự đoán như những bài trên a  c Và các bạn hãy làm thử các bước tiếp theo Tôi tin tới đây các bạn đã có thể vạch ra hướng đi trong đầu mà không cần ghi ra hướng đi trên nháp

a b c  b  b ac  ac  ac b  ac   b b ac  (bước này tương tự các câu trên, ta sẽ quy các biểu thức về ac hoặc a  c hoặc 2 2

a c Và bạn đừng ngại, cứ thử hết 3 cái đó, thế nào cũng có cái gọn nhất)

Và để ý 1 tí ta sẽ cần thứ này 2(a b c) 1 b

4.

P

Đặt 1

1

b

t

b





 (cái này khó mà tìm điều kiện chặt của t, nhưng ta chỉ cần điều kiện t>0 là đủ)

2 2

( ) 8

t

2

'( ) 16 0

2

t

    

Bảng biến thiên:

T

0 1

2  Theo bảng biến thiên,

MinP  6 Dấu bằng xảy ra khi

,

t b ac f’(t) 0

f(t)

 

6

Câu 9: (nguoithay.vn) Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn  a  2 b b c     4 bc và 3a  c Tìm GTNN của

2

P

ac



Hướng đi: Như những định hướng ở các bài trước, ta sẽ đoán được b  c Và bài này còn dễ hơn các bài trước

là có thêm dữ kiện 3a  cnên ta có thể giữ niềm tin dấu bằng sẽ xảy ra khi 3a  b  c

Nhìn vào giả thiết và cả biểu thức P ta đều nghĩ tới phép đặt ẩn phụ x a,y b

 

Giải: Từ giả thiết ta có 1

3

a

c 

Đặt x a,y b

3

x

Và

2



( )

Đến đây đạo hàm hơi vất vả

2

3 2

Vậy f y( ) đồng biến trên 1 1; ( ) 1 1

y  f y  f  

Dấu bằng khi 1 1

c

y x ab

Từ đây, ta thấy hướng của ta đã vạch ra là không đúng, đây là một bài toán khá hay, cho ta thấy được sự bất

biến của BĐT, bây giờ cũng đề bài trên, các bạn hãy thử tìm GTLN xem!

x  y  z  xy  x   y z Tìm GTNN của

2

Hướng đi: Bài này thực sự là 1 bài khá khó, đây không phải BĐT nửa đối xứng, và ta khó mà đoán được điểm

rơi của nó Nhưng khó chứ không phải là không thể Để ý kĩ, ta sẽ thấy sự xuất hiện của 2 biểu thức 1

x  z và

2

y  Điều này giúp ta liên tưởng đến việc khử mẫu và rất để ý thấy, hệ số của chúng đều là 20, nên rất có thể chúng bằng nhau

x   z y   x  y  z  xy  x   y z  x  y  x    y

Và P 2( x z ) 40 2

x z

 Khảo sát hàm số này thì hàm số sẽ có GTNN là 26 và x   z 4

4

  







Từ đó ta đã biết được điểm rơi của BĐT

3 xyz x y z 2xy xy z (dễ thấy x  y  z nên ta làm tiếp)

2

x  y  z

4

Đến đây thì đã đơn giản, có nhiều cách sử lí, và tôi sẽ chọn cách gần gũi với các bạn nhất

Đặt t  x    y z 2  2 2

2

t

 

3

40 2 2 40 2



       nghịch biến trên  2; 2 2 



Vậy f t    f  2 2   26

Vậy MinP  26 khi x1;y2; z3

Câu 11: (Tilado.edu.vn) Cho x y z, , là các số thực không âm thỏa mãn xyyzzx0 và 2

3

x  xy  yz  zx Tìm GTNN của P x 16 y 25 z

Hướng đi: Thoạt nhìn, ta thấy đây là bất đăng thức thuần nhất, vì thế không cần suy nghĩ nhiều, ta sẽ dùng phép đặt ẩn phụ

Giải: x  0: 2

x  xy  yz  zx  yz   xy  yz  zx  (vô lí)

Vậy x  0

Đặt a y;b z

  (các bạn có thể đặt khác tôi), a  0

2

2





2 2

P



Đến đây ta sẽ xét hàm f b  , nhưng thực phức tạp để đạo hàm, ta hãy dự đoán dấu bằng Ở trên kia ta đã thấy 1

3

b  nên ta hãy thử với 1

3

b  thì khi đó 34

3

P 

1 25

3

b

P



b

2 2

25 138 320 710 265 34 34

3 1

b

25 138 320 710 265 0

3

b  b  b  b   b )

3

3

b a  y x z

Bài toán này đòi hỏi sự biến đổi cẩn thận, các bạn hãy thử theo con đường khảo sát hàm số xem Biết đâu sẽ nhanh hơn

Câu 12: (THTT) Cho các số dương a b c, , thỏa a2b2c2 14 Tìm GTLN của

P



Hướng đi: Bài toán này tôi đánh giá rất khó, để tạo ra bài toán này, chắc hẳn tác giả phải tạo ra điểm rơi trước rồi mới nêu lên ý tưởng Còn đối với chúng ta, điểm rơi vẫn còn là dấu chấm hỏi

Nhận xét thấy các biểu thức trong P được chia thành hai nhóm là

+Nhóm 1: 2 4 3

a

a  bc   a b c  có chứa cả 3 biến a b c, ,

+Nhóm 2:  

a c





   chỉ chứa 2 biến số

Ta sẽ xử lý nhóm 1 trước Bây giờ, ta lồng ghép giả thiết vào P xem thử thế nào Để ý ta sẽ thấy

a b c  a b c  Dấu = xảy ra khi a   b c

a bc  a  bc b c  a  b c

Như các bài trên, ta cần đưa chúng về cùng dạng mẫu số với biểu thức

12

a b c và phải chú ý a   b cnên

ta làm như sau:

Vì ta chia thành 2 nhóm nên đồng nghĩa với việc ta sẽ biến đổi P thành hai hàm số độc lập (kiểu như

P  f x  g y ) nên ta cần tìm lần lượt GTLN của các hàm số thành phần

Ta sẽ tìm GTLN của

2

2 2

12

a

Tới đây, ta đã ép bài toán vào dấu = khi

3

1 14

c

     



Giờ ta sẽ đi giải quyết bài toán

Giải: Ta có

a b c  a b c  và

Suy ra

2

2 2

12

a

Tiếp tục, ta lại có:

   

2

3

28

4

a c

(bunhiacopsky)

25 a c 25

   (Đây là BĐT tiếp tuyến)

25 a b 5

 (Tiếp tục ta sử dụng BĐT tiếp tuyến Để biết thêm về BĐT tiếp tuyến, các bạn xem

http://diendantoanhoc.net/forum/index.php?app=core&module=attach&section=attach&attach_id=6785 )

Từ đó ta có  

2

15

MaxP  khi a3,b2,c1

5 x y z 6 xyyzzx Tìm GTLN

2

P  x   y z  y  z

Hướng đi: Ta dự đoán yz Khi đó  2 2 2  

2

2













Khi 2

5

x y thì 2 3 25 2

2

P  x  x (khảo sát ta thấy ra x dấu nên ta cứ cho là nó sai đi :3 )

Khi x2ythì

2 2

2

x

P  x  Khảo sát hàm số này thì được min 3

2

P  khi 1; 1

2

x yz Giải:

2

2

5

   

2 2

y z

P  x   y z  y  z                   

Vậy MaxP 1 khi 1; 1

2

x yz Bài này vẫn còn rất nhiều cách khác, cách bạn hãy thử tìm 1 lời giải khác cho bài này nhé!