200 bài toán bất đẳng thức từ các đề thi PTTH quốc gia, đại học năm 2015 2016

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P Câu 24... Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau P Câu 31... Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P Câu 38... Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S Câu

200 BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC TỪ CÁC ĐỀ THI THỬ

2015-2016

Câu 1 Cho x,y thay đổi thỏa mãn 2 2

1

x y  Tìm GTLN và GTNN của biểu thức :

P =

2

2

2( 6 )

x xy

xy y



Câu 2 Cho a, b > 0 và a + b 1 Tìm GTNN của biểu thức

S = 31 3 12 12

a b a bab

Câu 3 Cho x, y > 0 thỏa mãn 4 4 1

2

xy

    Tìm GTLN của

P = 2 2 2 2 3

1x 1y 1 2 xy

Câu 4 Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi sao cho x + y + z = 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

F = 2 2 2

2

x y z  xyz

Câu 5 Cho a, b, c > 0 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P =

( 1)( 1)( 1)

a b c



Câu 6 Cho ba số thực dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

P = 24 3

13a12 ab16 bc  a b c 

Câu 7 Cho x, y, z là các số thực không âm và thỏa mãn điều kiện 2 2 2

2

x y z  Tìm GTLN của biểu thức P =

2 2

1

      (A, A1 2014)

Câu 8 Cho ba số thực dương , ,a b c thỏa mãn a b  c 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

3 3 1 3

4

Pa b  c

Câu 9 (A-2011) Cho x, y, z là các số thực thuộc đoạn [1; 4] và x y x, z Tìm GTNN của biểu thức

P

Câu 10 (D - 2012) Cho các số thực x, y thỏa mãn (x – 4)2 + (y – 4)2 + 2xy  32 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

A = x3 + y3 + 3(xy – 1)(x + y – 2)

Câu 11 (B-2011) Cho a và b là các số thực dương thỏa mãn 2(a2 + b2) + ab = (a + b)(ab + 2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

Câu 12 (Sở - GD-ĐT – Bình Dương - 2015) Cho a, b, c là ba số thực dương thoả

1

a b c  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

(1 c)

P

a a b b a b

Câu 13 (THPT – Chu Văn An – An Giang - 2015) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn

1

a  b c Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

A

ab bc ca

Câu 14 (THPT – Chí Linh – Hải Dương - 2015) Với a, b, c là các số thực dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

( 2)( 2)( 2)

a b c

 

Câu 15 (THPT – Trần Thị Tâm – Quảng Trị - 2015) ) Cho các số thực dương , ,x y z thỏa

mãn: 5(x2 y2 z2 )  9(xy 2yzzx) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

1

x P

Câu 16 (THPT – Bến Cát – Bình Dương - 2015) Cho các số thực ;x y thay đổi Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P x y  x  x y  x  y

Câu 17 (THPT – Nguyễn Viết Xuân – Phú Yên - 2015) Cho x y, là các số thực dương thỏa

 2 2

Câu 18 (THPT – Lương Thế Vinh – Lần 3 -2015) Cho các số thực , a b dương và thỏa mãn 1

ab 

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 1 32

T

Câu 19 (THPT – Thạch Thành – Thanh Hoá - 2015) Cho a b, là các số thực dương Tìm giá

Câu 20 (THPT – Nghĩa Hưng - 2015) Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn 2x3y7 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P2xy y 5(x2y2)24 8(3 xy) ( x2y23)

Câu 21 (THPT – Nam Đàn – Nghệ An - 2015) Cho x là số thực thuộc đoạn [ 1,5]

4

 Tìm giá

trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của 5 4 1

P



Câu 22 (THPT – Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm – Quảng Nam - 2015) Cho a b c, , là ba số thực dương thỏa mãn 2 2 2

3

a b c  Chứng minh rằng :

2

Câu 23 (THPT – Nguyễn Huệ - Quảng Nam - 2015) Cho ,a b là các số thực dương thỏa mãn

3

a b ab Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P

Câu 24 (THPT – Chuyên Vĩnh Phúc – Lần 2 - 2016) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

1 1 1

P

a b b c c a a b c

Câu 25 (THPT – Nguyễn Huệ - Nam Định – Lần 8 - 2015) Cho x, y, z là các số thực dương

(y z )

y z x  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

(1 ) (1 ) (1 ) (1 )(1 y)(1 z)

P

Câu 26 (Sở GD-ĐT Thanh Hoá – Lần 1 - 2015) Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn

0 , 0 , 2 2 1 2

2

 x y z và xyz1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2

2

) ( 8

1 )

(

1 )

(

1

z y z

x y

x

P













Câu 27 (THPT – Nguyễn Thị Minh Khai - 2015) Cho x,y là 2 số thực thỏa mãn

 2

x +16y + 2xy+1 =2 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau

P=x x +3 +2y 4y +3

Câu 28 (THPT- Lê Hồng Phong – Phú Yên-2015) Cho 3 số thực dương x y z, , thỏa mãn

1

x  y z Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

2 2

P

x yz y zx z xy



Câu 29 (THPT – Quỳnh Lưu 3- Nghệ An – lần 1 - 2015) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn ab 1; c a bc3.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

6 ln( 2 )

Câu 30 (THPT – Nguyễn Trung Thiên – Lần 2 - 2015) Cho các số thực không âm a b c , ,

thoả mãn a2 b2 c2 3b0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau

P

Câu 31 (THPT – Hậu Lộc 4 - 2015) Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn 2 2

3

x yxy xy xy Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2

2 2 (1 2 ) 3

2

xy

xy

Câu 32 (THPT – Bắc Yên Thành – Nghệ An - 2015) Cho các số thực , , 1;1

2

a b c  

  Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

a b b c c a P

Câu 33 (THPT – Hưng Yên – Lần 1 - 2015) Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn

5 x y z 9 xy2yzzx Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

1

x P

Câu 34 (THPT – Quỳnh Lưu 1 – Nghệ An – Lần 1 - 2015) Cho a,b,c thuôc đoạn [1;2] Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2

4

a b

c ab bc ca



Câu 35 (THPT –Lý Thái Tổ - Bắc Ninh – Lần 2 - 2015) Cho x, y là hai số thỏa mãn: x, y  1

và 3(x y) 4xy.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

3

Câu 36 (THPT – Triệu Sơn 5 – lần 2 - 2015) Cho a b c, , thuộc khoảng (0;1) thoả mãn

( 1)( 1)( 1) 1

a b c  Tìm GTNN của biểu thức :P = 2 2 2

a b c

Câu 37 (THPT – Như Xuân – Thanh Hoá - 2015) Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P

Câu 38 (THPT- Nam Yên Thành – Nghệ An – Lần 1 - 2015) Cho a,b,c là các số thực không

âm và thỏa mãn a b  c 3.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

3 2 2 2 2 2 2

P  ab bc ca  a b c  a b c  ab bc ca

Câu 39. Cho các số thực dương a, b, c thoả a b c  3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

(a b)(a c) (b )(b ) (c )(c )

P

Câu 40. Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn abc = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )

S

Câu 41. Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn a2 +b2 +c2 = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức

S

Câu 42. Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn a b c  3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

(2 c a) (2 a b) (2 b c)

S

Câu 43. Cho hai số thực x, y thỏa mãn 2 2

4

x y  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P = 5 2 x 54 2 x14y

Câu 44 (THPT-Ngô Sỉ Liên – Lần 2 -2016) Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn:

2 2 2 3

4

x y z Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P8xyz 1  1  1

xy yz zx

Câu 45 (THPT – Đội Cấn - 2016) Cho các số dương x y z, , thỏa mãn điều kiện

xy  yz  zx  xyz Chứng minh rằng

x yz  yxz  z xy  xyz  x y z

Câu 46 (THPT – Đức Thọ - Hà Tĩnh – Lần 1 - 2016) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn 1

ab  ; c a bc3.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

6 ln( 2 )

Câu 47 (THPT – Bố Hạ - Lần 2 - 2016) Cho các số thực , ,x y z thỏa mãn x2,y1,z0 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

( 1)( 1)

P

Câu 48. Cho x, y, z là ba số thực dương thay đổi và thoả mãn điều kiện 1

2zxyz Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 2

P

Câu 49. Cho x, y, z là ba số thực thuộc đoạn  1; 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2

4 4

P







Câu 50. Cho x, y, z là ba số thực dương thoả mãn điều kiện 2 2 2  

x y  z  z xy Tìm giá

trị nhỏ nhất của biểu thức :

P

z



Câu 51 (THPT – Việt Yên – Bắc Giang – Lần 1 - 2016) Cho , ,a b clà các số thực dương thoả

1

a b  c Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2

3

4

Câu 52 (THPT – Đoàn Thượng – Hải Dương – Lần 1 - 2016) Cho x, y là hai số thực thỏa

mãn điều kiện (xy)3 4xy2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biếu thức

2015 )

4 3 ( ) ( 2 ) (

Câu 53 (THPT – Khoái Châu - 2016) Cho ba số thực x y z, , thoả 2 2 20

2

x y z

  







Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : 3 3 3

Px  y z

Câu 54 (THPT – Lý Thái Tổ - Chọn HSG - 2016) Cho x y z, , là ba số thực dương Tìm giá trị

P

Câu 55. Cho hai số thực x, ythoả mãn x y , 1; 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P

Câu 56. Cho các số thực x y, thoả mãn 2 2

4x 2xyy 3 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức : 2 2

2

Px  xyy

Câu 57 (THPT – Yên Lạc 2 – Lần 1 - 2016) Cho a b, là các số thực không âm thoả

 2 2

2 a b   a b 6 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

6

(a b) 5

P

Câu 58 (THPT – Hiền Đa – Phú Thọ - Lần 2 - 2015) Cho các số dương a, b, c thay đổi thỏa

mãn a b c  3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P

Câu 59 (THPT – Lương Thế Vinh – Hà Nội – Lần 4 - 2015) Cho các số thực dương x y z, ,

4(x   x 1) 16  x yz 3 (y z)x  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

3 (x 1) 16

10 3

P

Câu 60 (THPT – Chuyên KHTN – Hà Nội – Lần 1 - 2016) Xét các số thực dương x y z, , thoả mãn 2 3 4 3 4 5

x y z x y z Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : 3 3 3

Px y z

Câu 61 (THPT – Thuận Thành 2 – Bắc Ninh – 22 - 2015) Cho các số thực dương x y, thỏa mãn 3 ln 1 9 3 3

3

x y

xy x y xy

 

    Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2 2

( 1) ( 1)

M

Câu 62 (THPT – Thuận Thành 2 – Bắc Ninh – 21 - 2015) Cho ba số thực không âm , ,x y z

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

4

P

Câu 63 (THPT – Việt Trì – Phú Thọ - Lần 1 -2016) Cho ba số thực dương a b c, , và thỏa mãn điều kiện a2 b2 c2 3.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

a c

a c c b

c b b a

b a S

2 2

2

3 3 3 3 3 3

















Câu 64 (THPT- Trần Phú – Hà Tĩnh – Lần 2 - 2015) Cho a, b, c là các số thực dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P

Câu 65. Cho ba số thực dương , ,a b c thỏa mãn a b  c 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

3

c

Câu 66. Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 3 thì

3a 3b 3c 4abc13

Câu 67. Cho ba số thực x y z , , 0, chứng minh rằng

3

x y z  xyz x yz  y zx z xy Câu 68. Cho ba số thực dương , ,a b c thoả mãn a b  c 1 Chứng minh rằng

1 ab1 bc1 ca  8

Câu 69 (THPT – Chuyên Lê Quý Đôn – Hải Phòng – lần 1 - 2015) Cho x, y là các số thực thuộc 0;1 thoả mãn    

3 3

1 x 1 y xy

   Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2 2

Câu 70 (Sở - GD – Vĩnh Phúc – Lần 2 - 2015) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

S 3 4 5

Trong đó a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác thỏa mãn 2 c  b  a b c

Câu 71 (THPT – Hậu Lộc 2 – Thanh Hoá – Lần 1 -2016) Cho a b c, , là các số thực dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3 4 8 .

P



Câu 72 (THPT – Xuân Trường – Nam Định – Lần 1 - 2016) Cho x y z , , 0; 2 thỏa mãn

3

xyz  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Câu 72 (THPT- Thuận Thành 1 – Bắc Ninh - 2016) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn 1

ab  ; c a b  c3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

6 ln( 2 )

Câu 73 (THPT – Lý Thái Tổ - Bắc Ninh – Lần 2 -2016). Cho x, y, z là ba số dương thỏa mãn:

3 2 1 3 2 1 (x y)(x z).

x y z   x z y     Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2

(x ) y z P

Câu 74 (THPT – Triệu Sơn – Thanh Hoá - 2016) Cho a b c, , là các số thực không âm thỏa mãn 2 2 2 2

1 3

a b c b   b Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2

b P

Câu 75 (Sở - GD – Vĩnh Phúc – Lần 1 - 2016) Cho x y  , thỏa mãn

2 2

2

y x

 





  

trị nhỏ nhất của biểu thức

4 4

2

2

x y



Câu 76 (THPT – Nguyễn Đình Chiểu – lần 1 - 2016) Cho x 0 và y 0 thỏa điều kiện

2



 y

x Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

1

1







xy xy P

Câu 77 (THPT – Thiệu Hoá – Thanh Hoá - 2016) Cho , ,a b c là ba số thực dương thỏa mãn

3

a  b c Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

3 2

abc P

Câu 78 (HSG – Phú Thọ - 2016) Cho các số , ,x y z thỏa mãn 0x y z Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

 2 2 22

6

Pxy yz zx xyz  

Câu 79 (THPT – Phú Nhuận) Cho ba số thực x, y, z thỏa mãnx  y z 1.Chứng minh rằng

x.2  y.2  z.2  2

Câu 80 (THPT – Nguyễn Huệ) Cho các số thực không âm , ,x y zthoả mãn x y z 27 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : P 2(xy yz xz) 3

x y z

 

Câu 81 (THPT – Trung Phú - 2015) Cho ba số dương x,y,z thỏa x + y + z = 4 và xyz = 2 Tìm GTNN của biểu thức: P = x4 + y4 + z4

Câu 82 (THPT – Củ Chi - 2015) Cho x,y,z>0 thỏa 2 2 2  

x y  z xy x y z Tìm GTNN

của 6 6 2 120 120

2

Câu 83 (THPT – Bùi Thị Xuân) Cho x, y là 2 dương thoả x + y = 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P =

2x 2y

Câu 84 (THPT – Chuyên Trần Đại Nghĩa - 2015) Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn

a b c  a b c   ab Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

3

48

10

P a b c

Câu 85 (THPT – Nguyễn Thượng Hiền - 2015) Cho a, b, c là 3 số dương thỏa mãn điều kiện a3 +b3 = c3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2 2

P

c a c b

 



Câu 86 (THPT – Nguyễn Thị Minh Khai - 2015) Cho x,y là 2 số thực thỏa mãn

 2

x +16y + 2xy+1 =2 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau :

P=x x +3 +2y 4y +3

Câu 87. Cho x, y là các số thực thỏa mãn  2 2 2 2 2 2 2

x y   x y   x  y Tìm GTLN và GTNN của biểu thức 2 2 2 2 2 2

1

x y x y P

x y



Câu 88 (THPT – An Lão - 2015) Cho x,y,z là các số thực dương Chứng minh rằng :

P = 3 3 3 3 3 3 3 3 3

4(x y ) 4(y z ) 4(z x ) 2( x y z )

Câu 89 (THPT – Phù Cát - 2015) Cho các số thực dương x y z, , thỏa xy z 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2

xy yz zx

x y y z z x

Câu 90 Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn : xy z 3.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2

Câu 91 (THPT – Vân Canh - 2015) Cho các số thực không âm a,b,c thõa mãn a+b+c =1.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 2 2 2 2 2 2

M  a b b c c a  ab bc ca   a b c

Câu 92 (THPT – Trần Cao Vân - 2015) Cho ba số thực dương x y z, , Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

2 2 2

4

P

x y x z y z

x y z

Câu 93 (THPT – Bình Dương - 2015) Cho a, b, c là các số thực thoả mãn a b  c 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M  4a9b16c  9a16b4c  16a4b9 c

Câu 94 (THPT – Nguyễn Bỉnh Khiêm - 2015) Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm

số

f x  x  x   x  x x  x Câu 95 (THPT – Lê Quý Đôn - 2015) Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn 2x3y7 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P2xy y 5(x2y2)24 8(3 xy) ( x2y23)

Câu 96 (THPT – Lý Tự Trọng - 2015) Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

x (y z) y (z x) z (x y) P

Câu 97 (THPT – Nguyễn Diêu -2015) Cho ba số thực x y z, , thoả mãn:

x y z  x y Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức T 2(xz)y

Câu 98 (THPT – Quy Nhơn - 2015) Cho a b c , , là ba số thực dương Chứng minh rằng:

Câu 99 (THPT – Trưng Vương - 2015) Giả sử x, y là các số thực lần lượt thỏa mãn các

phương trình 2

x  ax  với a 3; 2

y  by  với b 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

2

3

x y

 

Câu 100 (THPT – Nguyễn Thái Học - 2015) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn

xyz và x  y z 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P x z 3y

z y

  