Bạn tự giải tiếp.. Bạn tự giải tiếp.. Bạn tự giải tiếp l.. Bạn tự giải tiếp.. Bạn tự giải tiếp.. Bạn tự giải tiếp.. Bạn tự giải tiếp.. Bạn tự giải tiếp.. Bạn tự giải tiếp.. Bạn tự giải t
Trang 1I Biến đổi đa về các phơng trình quen thuộc:
1 a ĐH Quốc gia (D+G) 97: 2cos2x - 3cosx + 1 = 0 ⇔ coscosx x==
2
⇔ x= ± +x= k k
3
π π
π
b CĐSP Quảng Ninh (D) 98: cos2(x + π
3 ) + 4sin(x + π
3 ) = 5
2 ⇔ 1 - 2sin2(x + π
3 ) + 4sin(x + π
3 ) = 5 2
⇔ 4sin2(x + π
3 ) - 8sin(x + π
3 ) + 3 = 0 ⇔ sin(sin(x x++ ))==
π π
3 12
3 32 ⇔ x k
= − +
=
π π
π π
6 2
2 2
c CĐSP Quảng Ninh (F) 98: sinx + cosx = 2 sin5x ⇔ sin(x + 450) = sin5x ⇔ x x k
45 451805 5 360360
d ĐH KTQD 97: cos7x - 3 sin7x = 2 ⇔ sin300cos7x - cos300sin7x = sin450⇔ sin(300 - 7x) = sin450 Bạn tự giải tiếp
e ĐH Ngoại ngữ 98: sin3x + cos2x = 1 + 2sinxcos2x ⇔ 3sinx - 4sin3x + 1 - 2sin2x = 1 + 2sinxcos2x ⇔
⇔ sinx(4sin2x + 2cos2x + 2sinx - 3) = 0 Bạn tự giải tiếp
f ĐH Ngoại thơng 98: sinx + sin2x + sin3x + sin4x = cosx + cos2x + cos3x + cos4x ⇔
⇔ sinx - cosx + (sinx - cosx)( sinx + cosx) + (sinx - cosx)(1 + sinxcosx) + (sinx - cosx)(sinx + cosx) = 0
⇔ (sin x - cosx)[2 + 2(sinx + cosx) + sinxcosx] = 0 ⇔ + (sinsinx+xcos ) sin cos−cosx x+= x ( )x= ( )
(1) ⇔ tgx = 1 ⇔ x =
4
π
+ k π (2) ⇔ Đặt: sinx + cosx = t, - 2 ≤ t ≤ 2 4 + 4t + t2 - 1 = 0
⇔ t2 + 4t + 3 = 0 ⇔ t = - 1; - 3 ⇔ sin(x +
4
π
) = - 2 /2 ⇔ x k
= − +
= +
π2 π
2 2
g ĐH Dân lập Đông Đô 97: cos2x + 2cosx + sin2x + 1 = 0 ⇔ cos2x + 2cosx + 1 = 0 ⇔ cosx = - 1.
h TTĐT Bu chính viễn thông I 97: Cho y = 4x - sin2x + 4 2 cosx Tìm x để y ‘ = 0
Ycbt ⇔ 4 - 2cos2x - 4 2 sinx = 0 ⇔ 2sin2x - 2 2 sinx + 1 = 0 ⇔ sinx = 2 /2 Bạn tự giải tiếp
i TTĐT Bu chính viễn thông I 98: 2(1 + cos2x)sinx = sin2x ⇔ cos sinx−x=cosx=
4 2 2 0 0 Bạn tự giải tiếp.
k ĐH NNghiệp 1 (B) 98: cos sin cos
cos sin
−
2
2 2 1 3 (1) ĐK: 2sin2x - sinx - 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ π
2 + 2k π ; (1) ⇔ 3 cos2x + sin2x = cosx - 3 sinx ⇔ 3
2 cos2x + 1
2 sin2x = 1
2 cosx - 3
2 sinx ⇔ sin(2x + 600) = sin(300 - x)
l ĐH NNghiệp 1 (A) 98: sin cos
sin cos
2 2 4 2 1
0
+ − = m 3 - sinx + tgx = 5cos4
2
x
(Đại số hoá)
2.a 63.II.1: 16(sin8x + cos8x) = 17cos22x ⇔ (1 - cos2x)4 + (1 + cos2x)4 = 17cos22x ⇔ 2cos42x - 5cos42x + 2 = 0 ⇔
⇔ cos22x = 12 ⇔ cos4x = 0 ⇔ x = π8 + k4π
b 52.II: cos 4
3
x
= cos2x ⇔ cos 4
3
x
= 1 2 2
+ cos x
⇔ 4cos22
3
x
- 2 = 1 - 3cos 2
3
x
+ 4cos32
3
x
⇔
⇔ (cos 2
3
x
- 1)(4cos22
3
x
- 3) = 0 Bạn tự giải tiếp.
c 15.III.1: 2cos2 3
5
x
+ 1 = 3cos 4
5
x
⇔ cos 6
5
x
+ 2 = 6cos22
5
x
- 3 ⇔ - 3cos 2
5
x
+ 4cos32
5
x
+ 2 = 6cos22
5
x
- 3 ⇔ 4cos32
5
x
- 6cos2 2
5
x
- 3cos25x + 5 = 0 ⇔ (cos25x - 1)( 4cos2 2
5
x
- 2cos25x - 5) = 0 Bạn tự giải tiếp
d 48.II.2: sin22x - cos28x = sin(172π + 10x) ⇔ 1−cos2 4x−1+cos216x = cos10x ⇔
64
Trang 2⇔ 2cos10x + cos16x + cos4x = 0 ⇔ 2cos10x + 2cos10xcos6x = 0 ⇔ cos10x(cos6x + 1) = 0Bạn tự giải tiếp
e 68.II.1: 2cos3x + cos2x + sinx = 0 ⇔ 2cos3x + cos2x - sin2x + sinx = 0 ⇔ cos2x(2cosx + 1) + sinx(1 - sinx) =0
⇔ (1 - sin2x)(2cosx + 1) + sinx(1 - sinx) =0 ⇔ (1 - sinx)[(1 + sinx)(2cosx + 1) + sinx] = 0 ⇔
⇔ x+ + x= +x x k+ x=
π 2 2 π
2cos 1 2sin cos 2sin 0 (*) (*) ⇔ 2(sinx + cosx) + 2sinxcosx + 1 = 0
Đặt: sinx + cosx = t, - 2 ≤ t ≤ 2 thì cos: t = 0 ⇔ x = -
4
π
+ k π
f 69.III.2: 4cosx - 2cos2x - cos4x = 1 ⇔ 4cosx - 2cos2x - 2cos22x = 0 ⇔ 4cosx - 2cos2x(1 + cos2x) = 0 ⇔
⇔ 4cosx - 4cos2xcos2x = 0 ⇔ coscosxcosx=x =
2 0 1 Bạn tự giải tiếp
g 72.II.1: cos4x - cos2x + 2sin6x = 0 ⇔ cos4x - 1 + 2sin2x + 2sin6x = 0 ⇔
⇔ (cos2x - 1)(cos2x + 1) + 2sin2x(1 + sin4x) = 0 ⇔ sin2x[2(1 + sin4) - cos2x - 1] = 0
⇔ x− x=x k+ =
2 sin 4 cos 2 1 0 (*) (*) ⇔ 2sin4x - sin2x = 0 ⇔ sin2x(2sin2x + 1) = 0 ⇔ x = k π
h 76.II.1 ≡ ĐH TCKT.98: cos10x + 2cos24x + 6cos3xcosx = cosx + 8cosxcos33x ⇔
cos10x + cos8x + 1 = cosx + 2cos(4cos3x - 3cos3x) ⇔ 2cos9xcosx + 1 = cosx + 2cos9xcosx ⇔ cosx = 1 ⇔ x = 2k π
i ĐH Dân lập HP 97: 2cos2x + cos2x
2 - 10cos( 5
2
π
- x) + 7
2 = 1
2 cosx ⇔ 4cos2x + 1 + cosx - 20sinx + 7 = cosx ⇔ 4 - 8sin2x
- 20sinx + 8 = 0 ⇔ 2sin2x + 5sinx - 3 = 0 ⇔ sinx = 1
2 ⇔ x = 300 + k3600 Hay x = 1500 + k3600
k ĐH Mỹ thuật công nghiệp 96: cos7xcos5x - 3 sin2x = 1 - sin7xsin5x ⇔ cos2x - 3 sin2x = 1 Bạn tự giải tiếp l sin4x + cos4x = cos4x ⇔ sin4x + cos4x = cos22x - sin22x ⇔
⇔ sin4x + cos4x = sin4x + cos4x - 2cos2xsin2x - 4sin2xcos2x ⇔ sin2x = 0 ⇔ x k900.
m ĐH Mở 97: cosx(cos4x + 2) + cos2xcos3x = 0 ⇔ cosx(cos4x + 2 - 3cos2x + 4cos2xcos2x) = 0 ⇔ cosx = 0
Hoặc 2cos22x - 1 + 2 - 3cos2x + 2cos2x(1 + cos2x) = 0 ⇔ cosx = 0 ⇔ x = π
2 + k π
n ĐH Thái Nguyên (A).98: 2cos2( π
2 cos2x) = 1 + cos( π sin2x) ⇔ 2cos2( π
2 cos2x) - 1 = cos( π sin2x) ⇔
cos( π cos2x) = cos( π sin2x) ⇔ cos2x = ± sin2x + 2k ⇔ coscos22x x−+22sinsin22x x ==44k k−−11
Có nghiệm ⇔ 12 + 22≥ 16k2 - 8k + 1 ⇔ 4k2 - 2k - 1 ≤ 0 ⇔ 1 5
4
− ≤ k ≤ 1+4 5 ⇔ k = 0 Bạn tự giải tiếp
o Đ KTQD 98: 16cosxcos2xcos4xcos8x = 1 ⇔ Nhân 2 vế với sinx Bạn tự giải tiếp
p ĐHDân lập Đông Đô 97: cos2x - 7sinx + 8 = 0.
q CĐ Lao động xã hội: 1 + sin2x + cosx + sinx + cos2x = 0 ⇔ (cosx + sinx)2 + cosx + sinx+ cos2x - sin2x=0
⇔ (cosx + sinx)(2cosx + 1) = 0 Bạn tự giải tiếp
r ĐH Thuỷ lợi 98: (1 + sinx)2 = cosx ⇔ (1 + sinx)4 = cos2x ⇔ (1 + sinx)4 =1 - sin2x Bạn tự giải tiếp
Cách 2: Nhân hai vế với cosx Cách 3: Đổi về góc x/2.
s ĐH Hàng hải 98: sin2x = 1 + 2 cosx + cos2x ⇔ 2sinxcosx = 1 + 2 cosx + 2cos2x - 1 Bạn tự giải tiếp
II Phơng trình có ẩn số ở mẫu số:
1 a tg(1200 + 3x) - tg(1400 - x) = sin(800 + 2x) ⇔ tg3(x + 400) + tg(x + 400) = sin2(x + 400)
Đặt: X = x + 400 ĐK: cos3X ≠ 0; cos(x + 400) ≠ 0 PT ⇔ tg3X + tgX = sin2X ⇔ sin4X = sin2Xcos3XcosX
⇔ sin2X(cos3XcosX - 2cos2X) = 0 Bạn tự giải tiếp.
b ĐH Kiến Trúc 92: 2tg3x - 3tg2x = tg22xtg3x ĐK: cos3xcos2xcosx ≠ 0.
PT ⇔ 2(tg3x - tg2x) = tg2x(1 + tg3xtg2x) ⇔ 2tgx = tg2x (Chia hai vế cho: 1 + tg3xtg2x).Bạn tự giải tiếp.
65
Trang 3c 84.II.1: tg2x - tg3x - tg5x = tg2xtg3xtg5x §K: cos5xcos3xcos2x ≠ 0.
PT ⇔ tg2x - tg5x = tg3x(1 + tg2xtg5x) ⇔ tg(-3x) = tg3x (Chia hai vÕ cho: 1 + tg2xtg5x) B¹n tù gi¶i tiÕp.
d 34.II1: tg22xtg23xtg5x = tg22x - tg23x + tg5x §K: cos5xcos3xcos2x ≠ 0.
PT ⇔ tg23x - tg22x = tg5x(1 - tg23xtg22x) ⇔ tg5x = ( 1 ( tg x tg x tg x tg x 3 tg xtg x 3 − 2 2 )( )( 1 3 tg xtg x + 3 2 2 ) )
+ − ⇔ tg5x = tg5xtgx.
e - 100.III.1: tg2x = 1
1
3 3
−
−
cos sin
x
x §K: cosx ≠ 0 PT ⇔ 1
1
2 2
−
−
cos sin
x
x =1
1
3 3
−
−
cos sin
x
⇔ 11 11 11 22
−
−
+
cos
sin .(
cos sin
cos cos sin sin )
x
x
x x
x x = 0 ⇔ (cosx−sin )(sin cosx cosx x x=+sinx+cos )x =
1
0
f §H KiÕn tróc 93: tg2x = 1
1
3 3
+ +
cos sin
x
x g - 61.III.1: tg2x = 11+−cossinx x B¹n tù gi¶i tiÕp.
h §H Ngo¹i ng÷ 96: tgx + tg2x - tg3x = 0 §K: cos3xcos2xcosx ≠ 0 PT ⇔ tgx = sin
cos cos
x
3 2 ⇔
⇔ cos xsincosx=x=cosx
3 2 0 ⇔ cossinx x==cosk x
5 B¹n tù gi¶i tiÕp vµ kiÓm tra §K
i §H Quèc gia (B) 95: tgx - tg2x = sinx B¹n tù gi¶i tiÕp vµ kiÓm tra §K
2 a §H Giao th«ng vËn t¶i 97: 3(cotgx - cosx) - 5(tgx - sinx) = 2 §K: x ≠ k900.
PT ⇔ 3 cos cos sin
sin
sin sin cos cos
x
x
−
− 5 − = 2 ⇔ 3cos2x -3cos2xsinx -5sin2x + 5sin2xcosx = 2sinxcosx ⇔ 3(cos2x - cos2xsinx - sin2x + sin2xcosx) - 2(sinxcosx + sin2x - sin2xcosx) = 0
⇔ 3(cosx - sinx)(cosx + sinx - sinxcosx) - 2sinx(cosx + sinx - sinxcosx) = 0 ⇔
⇔ (cosx + sinx - sinxcosx)(3cosx - 3sinx - 2sinx) = 0 B¹n tù gi¶i tiÕp vµ kiÓm tra §K
b - 106.I.2: 2(tgx - sinx) +3(cotgx - cosx) + 5 =0 §K:x ≠ k900⇔ 2( sin
cos
x
x - sinx + 1) + 3( cos
sin
x
x - cosx + 1) = 0 ⇔ 2
cos x (sinx+cosx-sinxcosx) + 3
sin x (sinx+cosx-sinxcosx) = 0 ⇔ sinx+costgx x= −−sin cos/x x=
c - 97.II2: 6tgx + 5cotg3x = tg2x §K: x ≠ k900 PT ⇔ 5(tgx + cotg3x) = tg2x - tgx ⇔
⇔ 5 cos
sin cos
sin cos cos
2
x
x
= ⇔ 5cos22x = sin3xsinx ⇔ 10cos22x = cos2x - cos4x B¹n tù gi¶i tiÕp
d - 143.II.1: 3sinx + 2cosx = 2 + 3tgx §K: cosx ≠ 0 PT ⇔ 2(1 - cosx) + 3tgx(1 - cosx) = 0
⇔ (1 - cosx)(2 + 3tgx) = 0 ⇔ tgx cos x= −=
3 B¹n tù gi¶i tiÕp vµ kiÓm tra §K
e §H KTQD 96: (1 cos )( sin )(1 cos ) sin sin
4 1
1 2
+ +
x
tg x §K: cosx ≠ 0.
PT ⇔ (1 cos )4 1( sin )(1 cos ) 1 sin2 2 1 sin
2
2
+
x
x
tg x x ⇔
⇔ (1 cos )( sin )(1 cos ) sin ( )
4 1
1
2 1 2
2
+ +
x
x
tg x ⇔ 2 + 2cos2x = 2cos2x(1 + 2tg2x) ⇔ 2sin2x = 1 ⇔ x =
4
π
+ k π
2
3 a §H Quèc gia (A) 98: 2tgx + cotg2x = 2sin2x + sin x12 §K: sin2x ≠ 0.
PT ⇔ 2sinx−cossinx2xcosx + cossin22x x−1 = 0 ⇔ 2sinx 1 2− cos2
cos
x
x + −2
2
2 sin sin
x
x = 0 ⇔
⇔ 1
cos x (sinx - 4sinxcos2x) = 0 ⇔ 4cos2x - 1 = 0 ⇔ 2 + 2cos2x - 1 = 0 B¹n tù gi¶i tiÕp
b §H C«ng ®oµn 98: sin
2
2
2 4
x
−
x
2 V×: sin2x = 4cos2x
2 sin2x
2 Nªn §K: cos x
2 ≠ 0
66
Trang 4PT ⇔ 4cos2x
2 sin2x
2 - 2 = - 4cos2x
2 sin2x
2 ⇔ sin2x = 1 ⇔ x = π
2 + k π
c ĐH Giao thông vận tải 98: tgx + cotgx = 2(sin2x + cos2x) ĐK: x ≠ k900.
PT ⇔ sin cosx1 x = 2(sin2x + cos2x) ⇔ sin22x + cos2xsin2x = 1 ⇔ cos2xsin2x - cos22x = 0
⇔ cos2tg x2x==10
⇔ x x== ++k k
22 545 9090
0 , 0 Bạn tự kiểm tra điều kiện.
d ĐH Luật 98: tgx - sin2x - cos2x + 2(2cosx - 1
cos x ) = 0 ĐK: x ≠ π
2 + k π
PT ⇔ sinx( 1
cos x - 2cosx) - cos2x + 2cos2x 1
cos x = 0 ⇔ - cos sin
cos
2x x
x - cos2x + 2cos2x 1
cos x = 0 ⇔ cos2x( 2
cos x - sin
cos
x
x - 1) = 0 ⇔ sinx+coscos2x x==02(VN)
⇔ x =
4
π
+ k π
2
e ĐH An ninh (A) 98: 3 sinx + cosx = cos x1 ĐK: x ≠ π2 + k π PT ⇔ 3 sinxcosx + cos2x = 1 ⇔
3 sinxcosx - sin2x = 0 ⇔ tgx sin x==
=
= +
π
π 3
1
tgx gx
gx
−
− cot
(cos sin ) cot sinx.cosx ≠ 0; cosx - sinx > 0
PT ⇔ sinx cosx = 2
1
(cos sin ) cot
gx
−
− ⇔ cosx(cosx - sinx) = 2(cos x − sin ) x ⇔
cos x − sin x ( 2 - cosx cos x − sin x ) = 0 ⇔ cosx cos x − sin x = 2 ⇔
cos x coscosx>xsinx
0
2
3 2 Vô nghiệm (Đánh giá)
III Phơng trình đẳng cấp:
1 a HV Kỹ thuật quân sự 97: 2cos3x = sin3x ⇔ 2cos3x = - 4sin3x + 3sinx ⇔
⇔ 2cos3x = - 4sin3x + 3sinx(sin2x + cos2x) ⇔ sin3x - 3sinxcos2x + 2cos3x = 0 ⇔ tg3x - 3tgx + 2 = 0 ⇔
⇔ (tgx - 1)2(tgx + 2) = 0 ⇔ x =arctg x= +− +k k
π
4 2 ( )
b ĐH Luật 96: 4sin3x + 3cos3x - 3sinx - sin2xcosx = 0 ⇔ 4sin3x + 3cos3x - 3sinx(sin2x + cos2x) - sin2xcosx = 0
⇔ sin3x - sin2xcosx - 3sinxcos2x + 3cos3x = 0 ⇔ tg3x - tg2x - 3tgx + 3 = 0 ⇔ (tgx - 1)(3tg2 - 1) = 0.
c ĐH Ngoại thơng 96: cos3x - 4sin3x - 3cosxsin2x + sinx = 0 ⇔ 3tg3x + 3tg2x - tgx - 1 = 0 ⇔ (tgx + 1)(3tg2 - 1) = 0
d ĐH Quốc gia 96: 1 + 3sin2x = 2tgx ⇔ cosx + 6sinxcos2x = 2sinx ⇔ (tgx + 1)(3tg2 - 1) = 0
6sinxcos2x + (cosx - 2sinx)(cos2x+sin2x) = 0 ⇔ 2sin3x - sin2xcosx - 4sinxcos2x - cos3x = 0 ⇔
⇔ 2tg3x - tg2x - 4tgx - 1 = 0 ⇔ (tgx + 1)(2tg2x - 3tgx - 1) = 0 ⇔ Bạn tự giải tiếp Cách 2: Đặt tgx = t.
e ĐH Xây dựng (Tại chức) 96: sin2x(tgx + 1) = 3sinx(cosx - sinx) + 3 ⇔ sin2x
sin cos cos
x
+
= 3(1 - sin2x + sinxcosx) ⇔ sin3x + sin2xcosx = 3cos3x + 3sinxcos2x ⇔ tg3x + tg2x - 3tgx - 3 = 0 ⇔ (tgx + 1)(tg2x - 3) = 0 ⇔ Bạn tự giải tiếp
f ĐH Thái Nguyên 97: 4cos2x - cos3x = 6cosx + 2(1 + cos2x) ⇔ 4cos2x - cos3x = 6cosx - 4cos2x
⇔ cosx(4cos2x - 8cosx - 3) = 0 ⇔ x = π2 + k π Hoặc: x = ± π3 + 2k π
g ĐH Mỏ 97: 5sinsin5x x = 1 ĐK: sinx ≠ 0 PT ⇔ sin5x = 5sinx ⇔ sin3xcos2x + sin2xcos3x = 5sinx
⇔ (3sinx - 4sin3x)(cos2x - sin2x) + 2sinxcosx(-3cosx + 4cos3x) = 5sinx(cos2x + sin2x)2⇔
⇔ 12sin5x + 20sin3xcos2x = 0 ⇔ 3sin2x + 5cos2x = 0 ⇔ x ∈ Φ
Cách 2: PT ⇔ sin3xcos2x + sin2xcos3x = 5sinx ⇔ (3 - 4sin2x)cos2x + 2cosxcos3x = 5 ⇔ Vô nghiệm.
67
Trang 5Cách 3: PT ⇔ sin5x - sinx - 4sinx = 0 ⇔ 4cos3xcosxsinx - 4sinx = 0 Bạn tự giải tiếp
h ĐH Phơng Đông 98: sin2x - 3sinxcosx = - 1 ⇔ sin2x - 3sinxcosx = - sin2x - cos2x ⇔ 2sin2x - 3sinxcosx + cos2x = 0
i ĐH Huế 98: cos3x + sinx - 3sin2xcosx = 0 k Quốc Gia (B) 98: cos3x + sin3x = 2(cos5x + sin5x)
l sin(3x + π
4 ) = sin2xsin(x - π
4 )
IV Phơng pháp đánh giá : * sinx + 2sin2x = 3 + sin3x ⇔ 2sin2x - 2sinxcos2x = 3 VN Vì: 22 + 22sin2x < 32
1 a ĐH Thơng mại 97: cos2x + cos 3
4
x
= 2 Vì: cos2x ≤ 1; cos 3
4
x
≤ 1 Nên: PT ⇔ cos
cos
1
3 4
x
x
=
=
Bạn tự giải tiếp
b CĐSP Quảng Ninh (T) 97: 2cos2x + 3cosx - 5 = 0 ⇔ 2cos2x + 3cosx = 5
Vì: 2cos2x ≤ 2; 3cosx ≤ 3 Nên: PT ⇔ coscos2x x==11
⇔ x = 2k π
c ĐH Thuỷ lợi 97: sin6x + cos6x = 1 Vì: sin6x ≤ sin2x; cos6x ≤ cos2x Nên: sin6x + cos6x ≤ sin2x + cos2x = 1
Vậy: PT ⇔ cossin sincos
=
=
⇔ x = k π
d 94.III.2: sin14x + cos13x = 1 ⇔ cossin sincos
=
=
sin sin cos cos
x x x x
=
= ±
=
=
0 1 0 1
⇔ x = k π
2
e 109.II.2: sin10 4cos10 4cossin262 cossin62 2
+
= ++ Ta có: VP = 4cossin262 cossin62 2
+
= (sin2 cos2 )3 sinsin2 2cos2 (sin2 cos2 )
3
4 3 2
1 4
x
− = Vậy PT ⇔ sin10x + cos10x = 1 Bạn tự giải tiếp
f ĐH An Ninh 97: (cos2x - cos6x)2 = 6 - 2sin3x VT ≤ 4; VP ≥ 4 Bạn tự giải tiếp ⇔ Vô nghiệm.
g 74.II.1: (cos4x - cos2x)2 = 5 + sin3x Bạn tự giải tiếp
74.II.2: Giải và biện luận (cos4x - cos2x)2 = (a2 + 4a + 3)(a2 + 4a + 6) + 7 + sin3x.
Giải: VT ≤ 4 VP = [(a + 2)2 - 1][(a + 2)2 + 2] + 7 + sin3x = t4 + t2 + 5 + sin3x = t2(t2 + 1) + 5 + sin3x ≥ 4.
Vậy: PT ⇔ VT VP==
4
4 ⇔
t x
=
= −
0
3 1
sin cos cos
Bạn tự giải tiếp
h ĐH Kiến trúc 97: sin3x(cosx - 2sin3x) + cos3x(1 + sinx - 2cos3x) = 0 ⇔
⇔ sin3xcos3x - 2sin23x + cos3x + cos3xcosx - 2cos23x = 0 ⇔ cos2x + cos3x = 2 Bạn tự giải tiếp
i 35.II: sinx + cosx = 2 (2 - sin3x) VT = 2 sin(450 + x) ≤ 2 VP ≥ 2 Bạn tự giải tiếp
2 a ĐH Quốc gia 96: 8sin 2x+ 8cos 2x= 10 + cos2y ⇔ 8 sin 2x+ 81 −sin x2 = 9 + 2cos2y
Đặt: 8sin 2x= t ĐK: 1 ≤ t ≤ 8 PT ⇔ t2 −9t t+8 = 2cos2y VP ≥ 0 VT ≤ 0 Vì : t nằm trong hai nghiệm
Vậy: PT ⇔ t t y
2 9 8 0
0
− + =
=
cos Bạn tự giải tiếp
b ĐH Giao thông vận tải 98: 6 - 4x - x2 = |sin cos |y5
x y
x VP = 102
|sin x y|≥ 10 VT = - (x + 2)2 + 10 ≤ 10 Vậy: PT ⇔ x y
x
= −
= ±
2 1
2
sin ⇔ y = ± +x= − k
2 2
2
c DL Đông Đô 98: cos2x + 8 = 7sinx VP ≤ 7; VT ≥ 7 Hệ ⇔ cossin2x x= −=11
x = π
2 + 2k π
d 105.II: sin2x + sin2y + sin2(x + y) = 94 ⇔ 1 2
2
2
−
+ − cos x cos y
+ 1 - cos2(x + y) =49
68
Trang 6⇔ cos2(x + y) + cos(x + y)cos(x - y) + 1
4 = 0 ⇔ [cos(x + y) + 1
2 cos(x - y)]2 + 1
4 [1 - cos2(x - y)] = 0 ⇔ cos(sin(x x−+y y))==
0 1
2 ⇔ x= ± +y = +x l k −l
π π
6 2 ⇔ x y= ± += ± +k k l−l
π π
e 99.V: tg2x + tg2y + cotg2(x + y) = 1 (*) Vì Cotg(x + y) = 1tgx−tgxtgy+tgy ⇔ (tgx + tgy)cotg(x + y) = 1 - tgxtgy ⇔
⇔ tgxtgy + tgy(cotg(x + y) + tgx(cotg(x + y) = 1 (**) Lấy (**) trừ (*):
tg2x - tgxtgy + tg2y + cotg2(x + y) - tgxcotg(x + y) - tgycotg(x + y) = 0 Nhân với 2:
(tgx - tgy)2 + [tgx - cotg(x + y)]2 + [tgy - cotg(x + y)]2 = 0 ⇔
⇔ tgx =tgx=g x tgy+y
cot ( ) ⇔ x= − − +x = +y x k y l
π π
π
2 ⇔ Bạn tự giải tiếp
f 131.III.2: sin2x + 1
4 sin23x = sinxsin23x ⇔ sin2x + 1
4 sin23x + 1
4 sin43x = sinxsin23x + 1
4 sin43x ⇔
⇔ sin2x - sinxsin23x + 1
4 sin23x + 1
4 sin43x + 1
4 sin23x - 1
4 sin43x = 0 ⇔
⇔ [sinx - 1
2 sin23x]2 + 1
4 sin23x(1 - sin23x) = 0 ⇔ sinsin
2 1 2
3x 1
x
=
=
⇔ cossin3 10
2
x x
=
=
k
+ +
g 91.II.1: sin4xcos16x = 1 ⇔
sin cos sin cos
16 1
x x x x
=
=
= −
= −
⇔
= +
= − +
8 4
32 16
8 16
16 8
2 a - 77.III.2: [tgx + 1
4cotgx]n = cosnx + sinnx (n = 2, 3, 4, ) + n = 2: VT = [tgx + 14 cotgx]2≥ 1; VP = 1 Vậy: PT ⇔ tgx = 14cotgx ⇔ tg2x = 14 ⇔ x = ± arctg 12 + k π
+ n > 2: VT ≥ 1 ≥ VP Nhng vế phải = 1 ⇔ x = k π
2 lúc đó VT không xác định ⇒ PT vô nghiệm.
b 136.II.2: (cos2x + 12
cos x )2 + (sin2x + 12
sin x )2 = 12 + 0,5siny VP ≤ 12,5.
Theo BĐT Bunhiacốpxki: a + b ≤ 2 ( a2 + b2) ⇔ 1
2 (a + b)2≤ a2 + b2
VT ≥ 1
2 [cos2x + sin2x + sin 2x1cos 2x ]2 = 1
2 [ 1 + sin422x]2≥ 252 = 12,5 Vậy PT ⇔ sinsiny x==
1
2 ⇔ y x= += +k k
π
π π
π 2
4 2
2
.
c 83.III.1: (cos3 x
2 +
1 2
3
cos x )2 + (sin3 x
2 +
1 2
3
sin x )2 = 81
4 cos24x VP ≤ 81
4
VT = cos6 x
2 + sin6x
2 + 16
2 cos x + 16
2 sin x + 4 = cos6 x
2 + sin6x
2 + sin cos sin cos
6
6
2 6 2
+
+ 4 =
= (cos2 x
2 + sin2x
2 )3 - 3 cos2 x
2 sin2x
2 ( cos2 x
2 + sin2x
2 ) + 4 + 1 3 2 2 2 2
1
64 6
− sin cos sin
= 5 -
4
3
sin2x + 64 1 36 2
( sin ) sin
x ≥ 5 -
4
3 1 + 64 1 1
1
3
( − ) = 81
4 PT ⇔ cos
sin
2 2
1
x x
=
=
⇔ x = π
2 + k π
d - 101.II.1: sinx - 2sin2x - sin3x = 2 2
69
Trang 7VT = -2cos2xsinx - 2sin2x ≤ [( cos ) − 2 2 x 2 + − ( 2 sin 2 x ) ](sin2 2x + 12) = 2 sin2 x + 1 ≤ 2 2
Vậy: PT ⇔
=
= 1
2 sin sin
2 cossin 1
2
x x
x x ⇔ Vô nghiệm.
e - 146.III: sinx + 2 − sin2 x + sin x 2 − sin2 x = 3
Ta có: sinx + 2 − sin x 2 ≤ ( 1 2 + 1 2 )(sin 2 x+ − 2 sin 2x) = 2
sinx 2 − sin x 2 ≤ | sinx 2 − sin x | = |sinx|.| 22 − sin x | 2 ≤ ( |sin | x + 2 − sin x | )
2
2
2≤ 1 Cộng hai BĐT thức cùng chiều có: VT ≤ 3 Vậy PT ⇔ sinx = 2 - sin2x ⇔ sinx = 1 ⇔ x =900+k3600
f * 2cosx + 2 sin10x = 3 2 + 2cos28xsinx ⇔ 2cosx - 2cos28xsinx + 2 sin10x = 3 2 ⇔
⇔ 4 4 + cos228 x [ 4 24 228
cos cos
x x
+ - 24 428 228
cos sin cos
x
+ ] + 2 sin10x = 3 2 ⇔
⇔ 2 1 1 + cos228 x [ 1+coscosx228x -
cos sin cos
28
1 2 28
x
+ ] + 2 sin10x = 3 2 Đặt: 1
1 + cos 2 28x = cos ϕ ; 1coscos28228
x x
+ = sin ϕ PT ⇔ 2 1 1 + cos228 x cos( ϕ +x) + 2 sin10x=3 2
VT ≤ 2 2 + 2 = 3 2 Vậy PT ⇔
cos cos( ) sin
2 28 1
1
10 1
x x x
=
=
x k
=
= − +
π
28
20 5 2
g sin8x + cos8x = 32(sin12x + cos12x) HD: VT ≥ 1; VP ≤ 1 ⇒ VN.
V Phơng trình chứa căn và GTTĐ :
1 a ĐH Bách Khoa 97: ( 1 − cos x + cos x )cos2x = 1
2 sin4x ⇔ 1−cosxcos+2xcos=x0 1( )=sin2 2x( )
Bạn tự giải tiếp (1) Còn (2) ⇔ −cosx+coscosx x+≥ cos; sinx−xcos≥ x =sin x
⇔ 2 cos x − cos2 x = - cos22x ⇔ cos22x = 0 (Theo trên) KL: x = ±
4
π
+ 2k π
b 108.II.2: 4sinx = 1+cosxcos+x1−cosx ⇔ 4sinxcosx = 2 (|cos x
2 | + |sin x
2 |) (1)
Ta thấy: Nếu x0 là nghiệm của (1) thì x0 + π cũng là nghiệm Nên ta tìm nghiệm x ∈ [0, π ] Lúc đó:
(1) ⇔ 4sinxcosx = 2 ( cos x
2 + sin x
2 ) ⇔ 2sin2x = 2sin( x
2 + 4
π
) ⇔ x x==
π π
6 3 6
⇒ x x== ++k k
π π
π π
6 3 6
c CĐSP Quảng Ninh (A, B) 97: 4 − x (sin22 π x + 3cos π x) = 0 ĐK: - 2 ≤ x ≤ 2 ⇔ x = ± 2 Hoặc:
cos π x(2sin π x + 3) = 0 ⇔ cos π x = 0 ⇔ π x = π
2 + k π ⇔ x = 1
2 + k
Do ĐK: x = - 3
2 ; x = - 1
2 ; x = 1
2 ; x = 3
2 ; = - 2; x = 2.
d CĐSP Quảng Ninh (D) 97: x2 − 1 (cos22x - 2cos2x + 1) = 0 Bạn tự giải tiếp
e HVQH Quốc tế 97: sin x + sinx + sin2x + cosx = 1 ⇔ sin x + sinx + cosx - cos2x = 0
Đặt: sin x = U ≥ 0; cosx = V Ta có U + U2 + V - V2 = 0 ⇔ U V
= −
= −
= −
1 2
(1) ⇔ sincosx=xcos≤ x
0
2 ⇔ sinx = − +1 5
2 ⇔ (Kết hợp điều kiện): x = π - arcsin − +1 5
2 + 2k π
70
Trang 8(2) ⇔ sinx = 0 Vµ cosx = 1 ⇔ x = 2k π
f 37.II.1: 1 − sin x + 1 + sin x = 2cosx ⇔ + coscosx x≥= cos x
0
2 2 2 4 2 ⇔ cosx = 1 ⇔ x = 2k π
37.II.2: Gi¶i vµ biÖn luËn: 1 − sin x + 1 + sin x = kcosx ⇔ k x
k
cos ( )
≥
0 1
1 1 2
1 2 2
2
Tõ (2) cã: 1 2 + k 2 ≤ k2 - 1 ⇔ k ≤ - 2 HoÆc k ≥ 2.
+ NÕu k ≤ -2 Th×: cosx = - 1+ 1 2+2 k2
k ⇔ x = ± arccos(- 1 12 2 2
+ + k
k ) + 2k π + NÕu k ≥ 2 Th×: cosx = 1+ 1 2+2 k2
k ⇔ x = ± arccos 1+ 1 2+2 k2
k + 2k π + NÕu - 2 < k < 2 Th×: PT V« nghiÖm.
g 1 − cos x − 1 + cos x = 4sinxcosx ⇔
⇔ ( 1 − cos x + 1 + cos x )( 1 − cos x − 1 + cos x ) = 4sinxcosx( 1 − cos x + 1 + cos x )
⇔ - 2cosx = 4sinxcosx( 1 − cos x + 1 + cos x ) ⇔ sin (x −coscosx x+= +cos )x = −
+ x = 2k1800.HoÆc sin
x
<
0
4 2 2 2 2 1⇔ 4sin2x(2 - 2sinx) = 1 ⇔ (2sinx - 1)(4sin2x - 2sinx - 1) = 0 ⇔ sinx = 1 5
4
− = sin (-180) ⇔ x k
19818 360360
h 64.II.1: cos 2 x + 1 + sin 2 x = 2 sin x + cos x ⇔
⇔ (cos x − sin )(cos x x + sin ) x + (sin x + cos ) x 2 = 2 sin x + cos x (1) §K: cosx+sinx ≥ 0; cos2x - sin2x ≥ 0.
+ NÕu: cosx + sinx = 0 Th× PT cã nghiÖm tgx = - 1 ⇔ x = -
4
π
+ k π + NÕu: cosx + sinx > 0 Th× §K: cosx - sinx ≥ 0 vµ (1) ⇔ cos x − sin x + cos x + sin x = 2 ⇔
⇔ (cos x − sin )(cos x x + sin ) x = 2 - cosx ⇔ cos2x + 4cosx - 5 = 0 ⇔ cosx = 1 ⇔ x = 2k π
i 111.II.1: cos 2 x + 1 − sin 2 x = 2 sin x − cos x B¹n tù gi¶i tiÕp
k §H SP II 97: 5 cos x − cos 2 x + 2sinx = 0 ⇔ 5 cos x − cos 2 x = - 2sinx ⇔ cos xsin+ xcos≤x− =
0
l §H V¨n ho¸ 97: 1−cos2
sin
x
x = 2 (cosx - 12)
2.a §H Quèc gia (A) 97: cosxsinx + |cosx + sinx| = 1 §Æt: |cosx + sinx| = t; §K: 0 ≤ t ≤ 2
PT ⇔ 1
2 (t2 - 1) + t = 1 ⇔ t2 + 2t - 3 = 0 ⇔ t = 1 ⇔ cosxsinx = 0 ⇔ sin2x = 0 ⇔ x = kπ2 .
b 51.II.1: |cosx - sinx| + 4sin2x = 1 B¹n tù gi¶i tiÕp
c §H C«ng ®oµn 96: |tgx| = cotgx + cos x1 §K: x ≠ k900
+ NÕu tgx > 0 Th× ta cã: sin2x = cos2x + sinx ⇔ 2sin2x - sinx - 1 = 0 ⇔ sinx = - 12 ⇔ x = 2100 + k3600
+ NÕu tgx < 0 Th× cã: - sin2x = cos2x + sinx ⇔ sinx = - 1 (Lo¹i).
d 46.I.2: |cotgx| = tgx + 1
sin x B¹n tù gi¶i tiÕp e 57.III.2: Gi¶i víi k = 2, 3: 3cosx + 2|sinx| = k + k = 2: 2|sinx| = 2 - 3cosx ⇔ sin x= −cosxcos≤ x+ cos x
2 3
4 4 12 9 ⇔ cosx = 0 ⇔ x = π
2 + k π
71
Trang 9+ k = 3: 2|sinx| = 3 - 3cosx ⇔ 4sin2x = 9 - 18cosx + 9cos2x ⇔ coscosx==
13 ⇔ x= ±x= k + k
13
π π
arccos
e 59.III: |cosx| + sin3x = 0:+ Nếu cosx ≥ 0 ⇒ cosx = cos(900 + 3x) + Nếu cosx ≤ 0 ⇒ cosx = cos(900 - 3x) f 86.III.2: |cosx + 2sin2x - cos3x| = 1 + 2sinx - cos2x ⇔ |2sin2xsinx + 2sin2x| = 2sin2x + 2sinx
⇔ |2sin2x(sinx + 1)| = 2sinx(sinx + 1) ⇔ | sinsinx x| sin= −= x
2 2 1 ⇔ sinx = - 1 Hay sinx = 0 Hay cosx = 1
2 Phơng trình chứa tham số:
1 a: ĐH Kiến Trúc 88: Giải và biện luận: 2msinxcosx - (sinx + cosx) + 1 = 0 (1) m ≠ 0.
Đặt: sinx + cosx = t |t| ≤ 2 (*) Thì (1) ⇔ f(t) = mt2 - t + 1 - m = 0 (2)
Cách 1: + (1) Vô nghiệm ⇔ < − ∆ << <
t t (Đã có ac < 0) ⇔ mf mf((− ))<<
2 0 ⇔ Bạn tự giải tiếp
Cách 2: + Nếu m = 0 thì PT có nghiệm t = 1 ⇔ x = π4 + 2k π
+ Nếu m ≠ 0 Thì (2) luôn có nghiệm t = 1 và t = 1−m m Bạn tự giải tiếp
b ĐH Thơng mại 96: Tìm m để phơng có hai nghiệm thuộc [0, π ]: 2sinsinx x+−31= m
Đặt: sinx = t Thì Ycbt ⇔ Tìm m để phơng trình có 1 nghiệm ∈ [0,1]: 2 1
3
t t
− + = m Bạn tự giải tiếp
c ĐH Ngoại ngữ 97: Tìm m để f(x) = sin4 x + cos4 x − 2 m sin cos x x có nghĩa ∀ x.
Giải: Ycbt ⇔ sin4x + cos4x - 2msinxcosx ≥ 0, ∀ x ⇔ 1 - 1
2 sin22x - msin2x ≥ 0, ∀ x ⇔
f(t) = X2 + 2mX - 2 ≤ , ∀ X ∈ [-1,1] ⇔ X1≤ - 1 < 1 ≤ X2⇔ f f( )( )− ≤≤
1 0 ⇔ - 1
2 ≤ m ≤ 1
2
d 5.II - 56.II.2: Tìm a để PT có nhiều hơn một nghiệm thuộc(0, π
2 ): (1 - a)tg2x - 2
cos x + 1 + 3a = 0
Giải: PT ⇔ (1 - a) 12
cos x - 2
cos x + 4a = 0 Đặt: X = 1
cos x Ví: 0 < x < π
2 ⇒ 0 < cosx < 1 ⇒ 1 < X < ∞
Nên:Ycbt ⇔ f(X) = (1 - a)X2 - 2X + 4a = 0 thoả: 1 < X1 < X2⇔
( ) ( ) '
0 1 2
− >
>
>
a f
S
a
≠
< <
1 2 1
e 11.II.1: Tìm a để PT có nghiệm: sin6x + cos6x = a|sin2x|
C1: PT ⇔ a|sin2x| = 1
-4
3 sin22x ⇔ a =|sin12x|-
4
3
|sin2x| =|sin12x|+ |sin2x| - 7
4 |sin2x| ≥ 2 - 7
4 |sin2x| ≥ 1
4
C2: Đặt |sin2x| = X, ĐK: 0 < X < 1 Khảo sát hàm số ⇒ KL.
C3: Đặt |sin2x| = X Xét f(X) = 3X2 + 4aX - 4 = 0 có nghiệm ∈ (0,1).
2.a ĐH Bách khoa 98: Giải và biện luận: 2 − x2 sin x + 2 + x2 cos x = |a + 1| + |a - 1|
Giải: PT Vô nghiệm ⇔ 4 < 2a2 + 2 ⇔ a < - 1 Hoặc a > 1.
+ Nếu: a = ± 1 PT ⇔ 2 − x2 sin x + 2 + x2 cos x = 2 ⇔ 1
2 ( 2 − x2 sin x + 2 + x2 cos ) = 1 x
Đặt: 2
2
2
−x = cos α ; 2
2
2 +x = sin α PT ⇔ sin( α + x) = 1 ⇔α + x = π
2 + 2k π ⇔ x = - α + π
2 + 2k π
+ Nếu: - 1 < a < 1: Thì PT ⇔ sin( α + x) = |a+ + −1| |2 a 1| ⇔ x = - α + (-1)karcsin |a+ + −1| |2a 1| + 2k π
72
Trang 10b ĐH Xây dựng 98: Giải và biện luận: mcotg2x = cos sin
cos sin
− + ⇔ mcotg2x = cos
sin cos
2
x
−
+ Luôn có nghiệm: x = π4 + kπ2 Ngoài ra: sinm2x =4−sin422x Đặt sin2x = X, X ≠ 0 - 1 ≤ X ≤ 1 Có
4m - mX = 4X ⇔ (m + 4)X = 4m Nếu: m = - 4 ⇔ VN m ≠ - 4 ⇔ X = m4+m4 Bạn tự giải tiếp
c Tìm m để PT có đúng 4 nghiệm ∈ (0,2 π ): mcos2x + sinx = cosxcotgx PT ⇔ cos ( sinx msinx≠x− =) ( ) ( )
+ Nếu m = 0 Hệ ⇔ cos2x = 0 ⇔ x1 =
4
π
; x2 = 3 4
π
; x3 = 5 4
π
; x4 = 7 4
π
KL: m = 0 là một giá trị.
+ Nếu m ≠ 0 Hệ ⇔ cossin2 10
x
x m
=
=
Có đúng 4 nghiệm ⇔ sinx = 1
m Vô nghiệm ⇔ | 1
m | > 1 ⇔ |m| < 1 và m ≠ 0
Hoặc sinx = 1
m có nghiệm ≡ các nghiệm của cos2x = 0 ⇔ | 1
m | = 2
2 ⇔ |m| = 2 KL: |m| < 1 Hoặc |m| = 2
d Tìm m để: sin5x + cos5x - m(sinx + cosx) ≥ sinxcox(sinx + cosx), ∀ x ∈ [0, π4].
Giải: Vì sin5x + cos5x = (sin2x + cos2x)(sin3x + cos3x) - sin2xcos2x(sinx + cosx) Nên đặt : t = sinx + cosx Thì:
Ycbt ⇔ Tìm m để f(X) = X2 + 4X + 4m - 4 ≤ 0, ∀ X ∈ (0;1) ⇔ X1≤ 0 < 1 ≤ X2⇔ f f( )( )01 ≤≤00
⇔ m ≤ - 1
4
e Tìm m để: sin3x + msin2x + 3sinx ≥ 0 (*), ∀ x ∈ [0,π2].
Giải: (*) ⇔ -2sin3x + msinxcosx + 3sinx ≥ 0 ⇔ - 2sin2x + mcosx + 3 ≥ 0 (Vì sinx ≥ 0)
⇔ 2cos2x + mcosx + 1 ≥ Đặt cosx = X Thì: 0 ≤ X ≤ 1
Và Ycbt ⇔ f(X) = 2X2 + mX + 1, ∀ X ∈ [0;1] ⇔ ≤∆≤<
0 1
0
⇔ m ≥ - 2 2
3 a Giải và biện luận: (8a2 + 1)sin3x - (4a2 + 1)sinx + 2acos3x = 0
+ Nếu a = 0 Ta có: sin3x - sinx = 0 ⇔ x = kπ2
+ Nếu a ≠ 0 Vì sinx = 0 không là nghiệm nên PT ⇔ 2aCotg3x - (4a2 + 1)Cotgx + 8a2 + 1 = 0
⇔ (Cotgx - 2a)(2aCotg2x - Cotgx - 2a) = 0 ⇔ aCotg x Cotgx x=arc− g a k− +a=
π (*) ⇔ 4a = 2 2 1
cot cot
gx
g x− ⇔ tg2x = 4a ⇔ x = 21arctg4a + mπ
2 .
b Tìm m để phơng trình có nghiệm: sin2x + sin23x - mcos22x = 0.
Giải: PT ⇔ 1−cos2 2x +1−cos2 6x - mcos22x = 0 ⇔ 4cos32x + 2mcos22x - 2cos2x - 2 = 0
Đặt: cos2x = X, - 1 ≤ X ≤ 1 Thì Ycbt ⇔ Tìm m để f X( )= −− ≤X +X X≤+ =mX
Vẽ hình có m ≥ 0.
Hệ Phơng trình, Bất phơng trình:
1 a ĐH Mở 98: Cho sin
sin
2 2
x mtgy m
tg y m x m
a Giải khi m = 1 b Tìm m để hệ có nghiệm.
+ m = 1 Đặt: sinx = X, - 1 ≤ X ≤ 1; tgy = Y (x = π
2 + k π ) Có: X Y
2 2
1 1
+ =
⇒ X2 - Y2 + Y - X = 0 ⇔
73