Vẽ đờng tròn đờng kính AC có tâm O, đờng tròn này cắt BA và BC tại D và E.. aChứng minh AE = EB.
Trang 1Phòng GD&ĐT Lâm Thao
Trờng THCS Lâm Thao kì thi chọn đội tuyển lớp 9
dự thi cấp huyện năm học 2010-2011
đề thi Môn Toán
Thời gian làm bài: 90phỳt (khụng kể thời gian giao đề)
Ngày thi 23 tháng 11 năm 2010
-Cõu 1: (1.5 điểm)
Chứng minh rằng nếu 3 số a, a + k , a + 2k đều là cỏc số nguyờn tố lớn hơn
3 thỡ k 6
Cõu 2: (3.0 điểm)
a)Giải phơng trình
2011 2010
2010 2010
) 1 (
1
4 3
1 3 2
1 2 1
1
+
−
+
−
= + + +
+ +
x
x x
x
b) Tìm cặp số (x;y;z) thỏa mãn phơng trình:
( x2 + 1)( y2 + 4)( z2 + 9) = 48xyz
Cõu 3 (1,5 điểm): Cho các số a,b,c thỏa mãn điều kiện a+b+c=0
Chứng minh rằng: 2(a5+b5+c5)= 5abc(a2 +b2 + c2 )
Cõu 4: (3,0 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC có B = 450 Vẽ đờng tròn đờng kính AC có tâm O, đờng tròn này cắt BA và BC tại D và E
a)Chứng minh AE = EB
b)Gọi H là giao điểm của CD và AE, Chứng minh rằng BH ⊥AC
c)Chứng minh OD vuông góc với bán kính đờng tròn ngoại tiếp ∆BDE
Cõu 5: (1,0 điểm) Cho a;b;c >0 chứng minh
3
+ + ≥ + + ữ
Trang 2
-Hết -Phòng GD&ĐT Lâm Thao
Trờng THCS Lâm Thao kì thi chọn đội tuyển lớp 9 dự thi
cấp huyện năm học 2010-2011
Hớng dẫn chấm Môn Toán
Ngày thi 23 tháng 11 năm 2010
1
Chứng minh rằng nếu 3 số a, a + k , a + 2k đều là cỏc số nguyờn
tố lớn hơn 3 thỡ k 6
Vỡ a và a + k cựng lẻ nờn a + k - a = k 2 (1)
Do a, a + k , a + 2k là cỏc số nguyờn tố lớn hơn 3 nờn chỳng đều
là số lẻ và khụng chia hết cho 3, như vậy ớt nhất cú 2 số cú cựng số dư
khi chia cho 3
- Nếu a và a + k cú cựng số dư khi chia cho 3 thỡ a + k -a = k
3
- Nếu a + k và a + 2k cú cựng số dư khi chia cho 3 thỡ
a + 2k - a - k = k 3
- Nếu a và a + 2k cú cựng số dư khi chia cho 3 thỡ (a + 2k - a = 2k
3 suy ra k 3 Vậy k 3 (2)
Từ (1) và (2) và (2;3) = 1 suy ra k 6 (đpcm)
0,5
0,5
0,5
2
a)
2011 2010
2010 2010
) 1 (
1
4 3
1 3 2
1 2
.
1
1
+
−
+
−
= + + +
+ +
x
x x
x
1
1 1 ) 1 (
1
3 2
1 2
.
1
1
+
−
= + + + +
x x
x
2011 2010
1 1
2011 2010
2010 2010
+
−
−
= +
−
+
−
x x
x ( x≤ 2010)
2010 0
2010
0 1 2010
2010
0 2010
2010
2011 2010
1
=
⇔
=
−
⇔
= +
−
−
⇔
=
− +
−
⇔
+
−
= +
x x
x x
x x
x x
Vậy x=2010
b)x2 +1 ≥ 2x , y2 + 4 ≥4y, z2 + 9 ≥ 6z
Suy ra ( x2 + 1)( y2 + 4)( z2 + 9) ≥ 48xyz
nên ( x2 + 1)( y2 + 4)( z2 + 9) = 48xyz
0,5
0,5 0,5
0,5
Trang 3
=
=
=
⇔
=+
=+
=+
3 2
1 69
44
21
2
2
2
z y
x
z
z
y
y
x
x
Vậy (x;y;z)=(1;2;3)
0,5 0,5
3
Ta có a+b+c=0 nên a+b=-c Do đó a+b=-c nên( a+b)3=-c3
Suy ra a3+b3+c3= 3abc;a2+b2=c2-2ab; a2+c2=b2-2ac; c2+b2=a2-2bc
Nên 3abc(a2+b2+c2)= (a3+b3+c3) (a2+b2+c2)
= (a5+b5+c5)+a3(b2+c2)+ b3(a2+c2)+ c3(b2+a2)
= (a5+b5+c5)+a3(a2-2bc)+ b3(b2-2ac) +c3(c2-2ab)
=2(a5+b5+c5)-2abc(a2+b2+c2)
Vậy 3abc(a2+b2+c2)= 2(a5+b5+c5)-2abc(a2+b2+c2)
Hay 2(a5+b5+c5)= 5abc(a2 +b2 + c2 )
0,5
0,5
0,5
4
I
H A
C
D
E
O
B
a)Ta có ∠AEC = 90 0 nên ∆ABE vuông tại E có ∠ABE = 45 0
nên ∆ABE vuông cân tại E suy ra AE=BE
b) ∆ABC có AE; CD là hai đờng cao nên H là trực tâm suy ra BH ⊥AC
c)Đờng tròn ngoại tiếp ∆BED đi qua H nhận BH là đờng kính
ta có
0 0
90 90
:
;
=
∠ +
∠
⇒
=
∠ +
∠
∠
=
∠
⇒
∠
=
∠
=
∠
∠
=
∠
IDC ODC
IDC BDI
ma
DBI BDI
ODC OCD
DBI DBI
BDI
hay ID⊥OD ( đcm)
1,0 1,0
1,0
5
áp dụng Bất đẳng thức(x y z) 1 1 1 9
với x;y;z >0 Dấu “=” khi
x=y=z( chứng minh bằng cách phá ngoặc vế trái)
Ta có
0,5
Trang 4( ) 1 1 1 9 1 1 1 9 (1)
2
2
(3) 2
a b b
Tuongtu
+ + + + ÷≥ ⇔ + + ≥
+
+ + ≥
+ + + ≥
+
Céng ba B§T (1) (2) (3) ta cã 1 1 1 3 1 1 1
+ + ≥ + + ÷
DÊu “=” x¶y ra khi a=b=c
0,5