Luyện thi vào 10 Chuyên

NỘI DUNG BÀI TẬP VÀ ĐÁP ÁN MÔN TOÁN -LỚP 10CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO –THPT Câu 1.. Tìm toạ độ trọng tâm G, trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp I của ∆ABC... Hãy xác định các tham số thực

NỘI DUNG BÀI TẬP VÀ ĐÁP ÁN MÔN TOÁN -LỚP 10

CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO –THPT Câu 1 Giải phương trình : 3x 4+ = −2 3x (*)

(*) Pt 3x 4 2 3x (1)

3x 4 3x 2 (2)

+ = −



1 x 3 Vn

 =



⇔ 



Câu 2 Cho hệ phương trình : mx 2y 1

(I)

x (m 1)y m



 + − =

Tìm tất cả các giá trị của m để hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất.Tìm các giá trị của m để nghiệm duy nhất (x;y) là các số nguyên

Giải:

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất

* Điều kiện : D 0≠

* Tính D m= 2− −m 2 và giải được m≠ −1và m 2≠

Tìm m để nghiệm duy nhất là các số nguyên

* Khi m≠ −1và m 2≠ thì hpt (I) có nghiệm duy nhất (x ; y) với x 1

m 2

−

=

m 1 y

m 2

−

=

* Nghiệm duy nhất nguyên khi và chỉ khi m 2− = ±1 m 1

m 3

=



Câu 3 Cho phương trình : mx2+2(m - 2)x m 3 0 (1).+ − =

a/ Giải và biện luận phương trình (1) theo m

b/ Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x , x1 2 sao cho : 1 2

2 1

x x

3

x + x = Giải:

a/

* Khi m = 0 thì (1) trở thành : 4x 3 0 x 3

4

−

* Khi m 0≠ thì (1) là phương trình bậc hai có ∆ = −4 m

+ Nếu m > 4 thì phương trình (1) vô nghiệm

+ Nếu m 4≤ thì phương trình (1) có hai nghiệm : x1 2 2 m 4 m

m

,

Kết luận :

+ m = 0 : S 3

4

−

+ m > 4 : S= ∅

+ m 4≤ và m 0≠ : Phương trình (1) có hai nghiệm : x1 2 2 m 4 m

m

,

b/

* Khi m 4≤ và m 0≠ thì phương trình (1) có hai nghiệm x x1, 2.

* Thay vào và tính được m 1 65

2

− ±

= : thoả mãn điều kiện m 4≤ và m 0≠

Câu 4 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ∆ABC với A(1; 2),B(5; 2),C(3;2)− − Tìm toạ độ trọng tâm

G, trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp I của ∆ABC

Hướng dẫn:

Toạ độ trọng tâm G : G 9 1

2;

Toạ độ trực tâm H :

2 x 5 4 y 2 0

.

uuuur uuur

uuuur uuur

* H (3 ; - 1 )

Toạ độ tâm đường trong ngoại tiếp I :

*

4x 8y 8

* I 3 1

2

;

Câu 5

1 Cho hai tập hợp: A=[1; 4); B= ∈{x R x/ ≤3} Hãy xác định các tập hợp: A B A B∩ , \ ?

2 Tìm hàm số bậc hai y = ax2 + bx +6 biết đồ thị của nó có đỉnh I(2,-2) và trục đối xứng là x = 2 Giải:

1 A = [1; 4); B= ∈{x R x/ ≤3} = [-3, 3]

A B∩ =   1;3

\A B=(3;4)

2 Thay tọa độ đỉnh I(2;-2), ta có hệ phương trình:

2 2a

b b





b b



Giải hệ ta được: 1

4

a b

 =

 = −

Vậy hàm số cần tìm là y = x2 – 4x +6

Câu 6

1 Cho hệ phương trình: x 2 1

( 1)

 + − =

 Hãy xác định các tham số thực m để hệ phương trình

có nghiệm duy nhất

2 Cho phương trình: x2−2 x+m -m=0m 2 Tìm tham số thực m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn 1 2

3

Giải:

1 Hệ phương trình có nghiệm duy nhất

* Điều kiện : D 0≠

* Tính D m= 2− −m 2 và giải được m≠ −1và m 2≠

Vậy với m≠ −1và m 2≠ thì hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất (x ; y) với x 1

m 2

−

=

m 1

y

m 2

−

=

2 Phương trình:x2−2mx + m m = 0 có hai ngiệm phân biệt khi ' 02 − ∆ > ⇔ >m 0

TheoYCBT thì: + = ⇔ 2+ 2 =

.x

2

(x x ) 5x x 0

⇔(2m) 5(m2− 2−m) 0= ⇔ −m2+5m 0 = ⇔  = =0 (5 )

m

Vậy với m = 5 thì thỏa YCBT

Câu 7 Chứng minh rằng nếu x,y,z là số dương thì (x y z)(1 1 1) 9

x y z

Giải: ∀x y z, , >0 Áp dụng BĐT Cô si cho ba số, ta được: x y z+ + ≥3 3 x y z (1)

1 1 1

x y z

x y z

Nhân BĐT (1) & (2) vế theo vế, ta được:(x y z)(1 1 1) 9

x y z

Câu 8

1 Trong mặt phẳng Oxy, cho các vectơ:

uuur r r uuur r r uuur r r

OA i 2j, OB 5i j, OC 3i 2j Tìm tọa độ trọng tâm, trực tâm của tam giác ABC

2 Cho sin 4 (0 )

π

1 tan P

1 tan . Giải: 1 Tọa độ các điểm A(1;-2), B(5;-1), C(3;2)

Toạ độ trọng tâm G : G 3 1

3

Toạ độ trực tâm H : Gọi (x;y) là tọa độ của H

2 x 5 4 y 1 0



( ) ( )

uuuur uuur

* (25; 2)

2 Ta có: sin 4

5

α = Tìm được cos 3; tan 4

Thay vào biểu thức: α

α

+ +

4 1

4

3

Câu 9 Cho tam giác ABC có ba cạnh là a, b,c CMR:

c

C b

B a

A abc

c b

2

2 2 2

+ +

= +

Giải: Ta có: (uuur uuur uuurAB BC CA+ + )2 =AB BC2 + 2+CA2+2AB.BC 2AB.CA 2BC.CAuuur uuur+ uuur uuur+ uuuruuuur

⇔a2 + + =b2 c2 2AB.BC 2AB.CA 2BC.CAuuur uuur+ uuur uuur+ uuuruuuur

⇔a2 + + =b2 c2 2ac.cosB 2cb cosA 2ab.cosC+ +

+ +

⇔ a2 b2 c2 = cosA cosB cosC+ +

Câu 10

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y = x2- 2x – 3

b) Tìm m để phương trình: x2 - 2x - m + 1 = 0 có bốn nghiệm phân biệt

Giải: a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y = x2- 2x – 3

* Tập xác định : D = ¡

* Đồ thị là parabol có đỉnh I:

2 1

1 2.1 3 4 4

I

I

b x

a y

a

−

 = − = − =



 = − = − − = −



nhận đường thẳng x = 1 làm trục đối xứng

* Vì a = 1 > 0 nên hàm số nghịch biến trong (-∞;1), đồng biến trong (1;+∞)

Bảng biến thiên:

- 4 y

*Đồ thị (C ) đi qua các điểm: (-1;0),(0;- 3), (2;-3),(3;0)

* Đồ thị (C ): y = x2 - 2x - 3

b) Tìm m để phương trình: x2 - 2x - m + 1 = 0 có bốn nghiệm phân biệt

Ta có: x2 - 2x - m + 1 = 0 ⇔ x2 -2 x -3 = m – 4 (1)

* Số nghiệm của pt (1) bằng số giao điểm của đồ thị (C1) : y = x2 -2 x -3 với đường thẳng d: y

= m- 4

* Vì hàm số y = x2 -2 x -3 là hàm số chẵn nên nên đồ thị ( C1) được suy ra từ đồ thị (C ) bằng

cách giữ nguyên phần đồ thị (C ) ứng với x≥ 0 và lấy đối xứng phần đồ thị này qua trục Oy

* Để pt (1) có bốn nghiệm phân biệt thì: - 4< m – 4< -3 ⇔ 0 < m< 1

Câu 11 Tìm m để hệ phương trình : 2 (2 1) 2 1

2



Giải: Tìm m để hệ phương trình : 2 (2 1) 2 1

2



* D = 2 -m-12 2 2 1 ( 1)(2 1)

1 -m = − m + + = − −m m m+

Dx= 2 1 -m-1 2 3 2 3 3 2 2 2 (2 1)

2 -m

m

− +

Dy= 2 -m+12 2 2 4 1 ( 1)(2 1)

1 -m 2m = − m − m m+ − = m+ m+

−

* D = -(m-1)(2m+1) ≠ 0⇔ m≠ 1 và m ≠ - 1

2 thì hệ pt có nghiệm (x;y) duy nhất:

x

− − y =

1

y

+

x

x

d: y = m - 4

m -1

O1

-4 I

-3

2 -3 -2

y

x

y = x 2 -2x-3

O1

-1 3

-4

I

-3 2

Câu 12 Bằng cách đặt ẩn phụ, giải phương trình sau: (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) = 3

Giải: Bằng cách đặt ẩn phụ, giải phương trình sau: (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) = 3

* Ta có: (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) = 3⇔(x-1)(x – 4)(x-2)(x-3) – 3 = 0

⇔(x2- 4x +4)(x2- 4x +6) – 3 = 0 (1)

* Đặt t = x2- 4x +4.Pt (1)⇔ t(t+2) – 3 = 0 ⇔ t2 +2t – 3 = 0 1

3

t t

=



⇔  = −

* t = 1: x2- 4x +4 = 1 ⇔ x2 – 4x + 3 = 0 5 13

2

⇔ =

* t = - 3: x2- 4x +4 = - 3 ⇔ x2 – 4x + 7 = 0.Phương trình này vô nghiệm

Vậy nghiêm của pt (1): 5 13

2

Câu 13 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,cho :A(2;6),B(-3;4),C(5;0)

a) Chứng minh A,B,C là ba đỉnh của một tam giác

b) Tìm tọa độ điểm D sao cho uuurAD= −2BCuuur

Giải:

a) Chứng minh rằng A,B,C là ba đỉnh của một tam giác

* ABuuur= (-5;-2); ACuuur= (3;-6)

* Vì 5 2

− nên AB

uuur

và ACuuurkhông cùng phương nên A,B,C không thẳng hàng, hay A,B,C là

ba đỉnh của một tam giác

b) Tìm tọa độ điểm D sao cho uuurAD= −2BCuuur

Giả sử D(x;y)

* ADuuur= (x-2;y-6)

(8; 4)

uuur

⇒ -2 BCuuur= (-16;-8)

*uuurAD= −2BCuuur⇔  − = −x y− = −26 168 ⇔ 14

2

x y

= −



 = −



Câu14 Cho ∆ABC có trọng tâm G.Đặt ar= GBuuur, b GCr uuur= Hãy biểu thị mỗi vectơ CB GA AC BAuuur uuur uuur uuur, , ,

qua

các vectơ ar và br

Giải:

ar

= GBuuur, b GCr uuur= Hãy biểu thị mỗi vectơ CB GA AC BAuuur uuur uuur uuur, , ,

qua các vectơ ar và br

CB GB GC a buuur uuur uuur r r= − = −

GAuuur= −GB GCuuur uuur− = − −a br r

2

uuur uuur uuur uuur uuur r r

2

uuur uuur uuur uuur uuur r r

Câu 15 Giải phương trình:

a) 4x+ =7 2x−3 (1) b) 2x+ = −3 x 1 (2)

Giải: a) Điều kiện 7

4

4x 7 4x 12x 9

⇒ + = − + ⇒ 4x2-16x+2=0 ⇒x1,2=4 14

2

±

Cả hai giá trị đều thoã mãn điều kiện nhưng khi thay vào pt thì x2=4 14

2

− không thoã mãn.

Vậy phương trình có một nghiệm là x=4 14

2

+

b) +)Với x≥ 3

2

− pt trở thành 2x+3=x-1 hay x=-4 (không thoã mãn đk x≥ 3

2

− n ên bị loại)

+) Với x< 3

2

− phương trình trở thành -2x-3=x-1 Hay x= 2

3

− (lo ại) Vậy: Phương trình vô nghiệm

Câu 16 Cho a,b,c>0 Chứng minh rằng: a b b c c a 8

Giải: Áp dụng bất đ ẳng th ức Côsi cho hai số dương ,ta được

( ) ( ) ( )

Nh ân c ác b ất đ ẳng th ức (1);(2);(3) theo từng vế ta được:

8

Dấu “=” xảy ra khi a=b=c

Câu 17 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y=(-2x+3)(x-1), với 1 3

2

x

≤ ≤

Giải: Ta có y=(-2x+3)(x-1)=1

2(-2x+3)(2x-2),Với

3 1

2

x

≤ ≤ Ta có 2x-2>0 và -2x+3>0

Áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 số dương là 2x-2>0 và -2x+3>0 ta được:

Hay y ≤ 1

8.Vậy giá trị lớn nhất của y là

1

8 tại x =

5 2

Câu 18 Cho A(-4;2);B(2;6);C(0;-2)

a) Hãy tìm toạ độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành

b) Xác định toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC

c) Xác định toạ độ trực tâm H của tam giác ABC

Giải: a) Tứ giác ABCD là hình bình hành nên AB DCuuur uuur= (1)

Mà uuurAB=(6; 4);DCuuur= −( ; 2x −y)

Vậy D(-6;-2)

b) Gọi G là trọng tâm của tam giác.Khi đó: ;

2 ( ; 2) 3

c) Gọi H là trực tâm của tam giác ABC.Khi đó:

( 4; 2 ;) ( 2; 6 ;) ( 2; 8 ;) (4; 4)

Ta có:

12 x

y 5

 = −



=



uuur uuur uuur uuur

VậyH( 12 8; )

−

a) 3x−4 =2x−1 b) x2 −2x+6 =2x−1

Giải: a) Tùy theo cách cách giải khác nhau để cho điểm sau đây là một cách cụ thể

Đặt đk:

2

1 0

1

2x− ≥ ⇔ x≥

Pt 3x 4 2x 1 x 3

So sánh điều kiện kết luận pt có nghiệm x = 3 và x =1

b) Đặt đk:

2

2x 1 0

 − ≥



x 3

= −





 =



So sánh điềm kiện kết luận: Pt có nghiệm x =

3

5

Câu20 Cho 3 số dương a, b, c Chứng minh rằng :

c b a ab

c ac

b bc

+ +

≥ + +

Giải: Dùng bất đẳng thức cô si ta có:

bc ac c

ac ab a











a ab

c ac

b bc

c b

1

1+ ( đpcm)