Toán Cao cấp D pot

Một quan hệ thứ tự trên tập X 6= ∅ mà mọi cặp phần tử của X đều so sánh đ-ợc gọi là quan hệ thứ tự toàn phần.. Các phép biến đổi trên ma trận sau đây gọi biến đổi sơ cấp: 1 Đổi chỗ dòng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐÀ LẠT KHOA TOÁN - TIN HỌC

Y Z

ĐỖ NGUYÊN SƠN - TRỊNH ĐỨC TÀI

TOÁN CAO CẤP D

(Bài Giảng Tóm Tắt)

Lưu hành nội bộ

Y Đà Lạt 2008 Z

I Đại số tuyến tính

1 Một số kiến thức cơ bản 1

1.1 Tập hợp-Tập con- Tập hợp bằng nhau 1

1.2 Các phép toán trên tập hợp 1

2 ánh xạ 2

2.1 Các định nghĩa 2

2.2 ảnh và nghịch ảnh 3

2.3 Đơn ánh- Toàn ánh- Song ánh 4

2.4 Các phép toán trên ánh xạ 4

3 Quan hệ trên tập hợp 6

3.1 Quan hệ hai ngôi 6

3.2 Quan hệ tương đương 6

3.3 Quan hệ thứ tự 7

4 Ma trận 8

4.1 Định nghĩa ma trận 8

4.2 Các ma trận đặc biệt 9

4.3 Các phép toán trên ma trận 10

4.4 Biến đổi sơ cấp trên ma trận 13

5 Định thức 14

5.1 Hoán vị 14

5.2 Nghịch thế-Ký số 14

5.3 Định nghĩa định thức 16

5.4 Tính chất của định thức 17

5.5 Các phương pháp tính định thức 19

5.6 áp dụng định thức tính ma trận nghịch đảo 23

5.7 Hạng của ma trận 24

5.8 Hệ phương trình tuyến tính 25

II Không gian vector 1 Không gian vector 31

1.1 Định nghĩa và ví dụ 31

1.2 Không gian vector con 33

1.3 Không gian con sinh bởi một tập hợp 33

1.4 Cơ sở- Số chiều- Tọa độ 34

2 ánh xạ tuyến tính 38

2.1 ánh xạ tuyến tính 38

2.2 ảnh và nhân của ánh xạ tuyến tính 40

2.3 Đẳng cấu tuyến tính 42

3 Phép biến đổi tuyến tính và chéo hóa 45

3.1 Đổi cơ sở - Công thức đổi tọa độ 45

3.2 Ma trận đồng dạng - Chéo hóa 46

3.3 Giá trị riêng - Vector riêng 46

3.4 Tiêu chuẩn chéo hóa 47

3.5 Thuật tóan chéo hóa 48

3.6 Thuật tóan chéo hóa ánh xạ tuyến tính 48

4 Dạng song tuyến tính - Dạng toàn phương 48

4.1 Dạng song tuyến tính đối xứng 48

4.2 Ma trận biểu diễn dạng song tuyến tính 49

4.3 Dạng toàn phương 50

4.4 Dạng chính tắc của dạng toàn phương 51

4.5 Dạng xác định 53

III Phép tính vi phân hàm một biến thực 1 Số thực 55

1.1 Số hữu tỉ 55

1.2 Số thực 56

1.3 Các phép tóan số học 57

1.4 Cận trên và cận dưới 57

2 Dãy số thực 58 2.1 Khái niệm dãy số 58

2.2 Dãy bị chặn, dãy đơn điệu 58

2.3 Giới hạn dãy số 59

2.4 Các tính chất và phép toán 60

2.5 Các điều kiện hội tụ 61

2.6 Số e và logarithm tự nhiên 62

3 Hàm một biến thực 63

3.1 Khái niệm hàm số 63

3.2 Các phép toán 63

3.3 Các loại hàm số với tính chất đặc biệt 64

3.4 Hàm hợp, hàm ngược 65

3.5 Các hàm sơ cấp 66

4 Giới hạn hàm số 67

4.1 Khái niệm giới hạn hàm số 67

4.2 Các tính chất và qui tắc tính giới hạn 68

4.3 Giới hạn một phía 71

4.4 Giới hạn vô cùng, giới hạn ở vô cùng 71

4.5 Vô cùng bé, vô cùng lớn 72

5 Hàm liên tục 73

5.3 Các tính chất của hàm liên tục trờn đoạn 75

6 Đạo hàm 76

6.1 Khái niệm đạo hàm 76

6.2 ý nghĩa hình học và cơ học của đạo hàm 78

6.3 Các định lý và qui tắc tính đạo hàm 78

7 Vi phân 80

7.1 Định nghĩa 80

7.2 ứng dụng của vi phân 80

7.3 Các qui tắc tính vi phân 81

7.4 Đạo hàm và vi phân cấp cao 81

8 Các định lý cơ bản của phép tính vi phân 82

8.1 Các định lý giá trị trung bình 82

8.2 Khai triển Taylor 86

9 ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số 87

9.1 Tính tăng giảm - Cực trị 87

9.2 Tính lồi lừm - điểm uốn 89

IV Phép tính tích phân hàm một biến 1 Nguyên hàm - Tích phân bất định 91

1.1 Nguyên hàm 91

1.2 Bảng cỏc tích phân các hàm sơ cấp 92

1.3 Các tính chất 93

1.4 Các phương pháp tính tích phân 93

2 Tích phân một số lớp hàm thông dụng 94

2.1 Tích phân các hàm hữu tỉ 94

2.2 Tích phân các hàm vô tỉ 97

2.3 Tích phân các hàm lượng giác 99

3 Tích phân xác định 100

3.1 Bài toán diện tích hình thang cong 100

3.2 Định nghĩa tích phân xác định 100

3.3 Các lớp hàm khả tích 101

3.4 Các tính chất của tích phân xác định 102

3.5 Công thức Newton-Leibnitz 103

3.6 Các phương pháp tính tích phân xác định 104

3.7 ứng dụng hình học của tích phân xác định 105

4 Tích phân suy rộng 107

4.1 Tích phân suy rộng loại 1 107

4.4 Tích phân suy rộng loại 2 112

V Lý thuyết chuỗi 1 Chuỗi số 115

1.1 Các định nghĩa và ví dụ 115

1.2 Tiêu chuẩn hội tụ 117

1.3 Các tính chất của chuỗi 117

2 Chuỗi dương 118

2.1 Chuỗi dương 118

2.2 Các dấu hiệu hội tụ của chuỗi dương 119

3 Chuỗi với dấu bất kỳ 122

3.1 Chuỗi đan dấu 122

3.2 Hội tụ tuyệt đối 122

4 Chuỗi hàm 123

4.1 Khái niệm chuỗi hàm - Sự hội tụ và hội tụ đều 123

4.2 Các tính chất của chuỗi hàm hội tụ đều 124

5 Chuỗi lỹ thừa 126

5.1 Khái niệm chuỗi luỹ thừa, bán kính hội tụ 126

5.2 Các tính chất của chuỗi lũy thừa 127

5.3 Khai triển hàm thành chuỗi lũy thừa 129

5.4 Khai triển thành chuỗi lũy thừa một số hàm sơ cấp 129

VI Phép tính vi phân của hàm nhiều biến 1 Không gian Rn 131

1.1 Không gian Rn 131

1.2 Tích vô hướng - Chuẩn - Khoảng cách trong Rn 132

1.3 Dãy trong Rn 132

1.4 Các tập hợp trong Rn 134

2 Hàm nhiều biến 136

2.1 Hàm nhiều biến 136

2.2 Giới hạn hàm nhiều biến 137

2.3 Tính liên tục 141

3 Đạo hàm riêng 142

3.1 Đạo hàm riêng 142

3.2 Các tính chất và qui tắc tính đạo hàm riêng 143

4 Đạo hàm riêng cấp cao - Cộng thức Taylor 144

4.1 Đạo hàm riêng cấp cao 144

5 Cực trị hàm nhiều biến 148

5.1 Cực trị 148

5.2 Cực trị với điều kiện 151

VII Phương trình vi phân 1 Khái niệm phương trình vi phân 155

1.1 Vài mô hình dẫn đến phương trình vi phân 155

1.2 Các khái niệm 156

1.3 Bài toán Cauchy 157

2 Giải một số phương trình vi phân cấp 1 158

2.1 Phương trình với biến số phân ly 158

2.2 Phương trình vi phân thuần nhất 160

2.3 Phương trình vi phân toàn phần 162

2.4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 165

2.5 Phương trình Bernoully 167

2.6 Phương trình Clairaut 168

2.7 Phương trình Lagrange 169

3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 170

3.1 Khái niệm phương trình vi phân cấp 2 170

3.2 Nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 171

3.3 Nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất 173

3.4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng 175

4 Hệ phương trình vi phân 178

4.1 Các khái niệm 178

4.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 hệ số hằng 179

I Đại số tuyến tính

1 Một số kiến thức cơ bản

1.1 Tập hợp - Tập con - Tập bằng nhau

Tập hợp là một khái niệm nguyên thủy Tập hợp đ-ợc mô tả nh- một toàn thể

nào đó bao gồm các đối t-ợng có cùng một dấu hiệu hay một tính chất nhất định

Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều là các phần tử của tập hợp X, thì ta nói A là

tập con của X, ký hiệu A ⊂ X Rõ ràng ta có ∅ ⊂ X với mọi tập hợp X Các

tập con của X lập thành một tập hợp , ký hiệu 2X, và gọi là tập hợp các tập con

Định nghĩa 1 Hợp của hai tập hợp A và B , ký hiệu A ∪ B, là tập hợp gồm các

phần tử hoặc thuộc A hoặc thuộc B.

Giao của hai tập hợp A và B, ký hiệu A ∩ B, là tập hợp gồm các phần tử vừa

Hiệu của hai tập hợp A và B , ký hiệu A \ B, là tập hợp gồm các phần tử thuộc

X \ (A ∪ B) = (X \ A) ∩ (X \ B), X \ (A ∩ B) = (X \ A) ∪ (X \ B) Chứng minh Các công thức đ-ợc dễ dàng suy ra từ định nghĩa các phép toán trên

tập hợp Ta chứng minh, chẳng hạn, công thức De Morgan Thật vậy ta có

Định nghĩa 2 Cho hai tập hợp X và Y Một ánh xạ f từ X đến Y là một qui

tắc cho t-ơng ứng mỗi phần tử x ∈ X với duy nhất một phần tử y ∈ Y Phần tử

y gọi là ảnh của x, ký hiệu là f (x), và x đ-ợc gọi là tạo ảnh của y Tập hợp X

giá trị của ánh xạ f Một ánh xạ th-ờng đ-ợc viết nh- sau

x 7−→ y = f (x).

Hai ánh xạ f và g gọi là bằng nhau, ký hiệu f = g, nếu chúng có cùng tập

nguồn X và f (x) = g(x) với mọi x ∈ X.

Nếu V = {y}, thì ta viết f−1(y) thay cho f−1({y})

Chứng minh Các công thức đ-ợc dễ dàng suy ra từ định nghĩa Ta chứng minh,

chẳng hạn, các công thức thứ hai trong 3) và 4) Thật vậy, ta có

Vậy f−1(A ∩ B) = f−1(A) ∩ f−1(B). 2

Nhận xét Đẳng thức f (A ∩ B) = f (A) ∩ f (B) nói chung không đúng Chẳng

hạn, với ánh xạ f : R → [−1, 1] , f (x) = sinx, và A = [0, π/2], B = [π/4, π].

2.3 Đơn ánh - Toàn ánh - Song ánh

Định nghĩa 4 Cho ánh xạ f : X −→ Y ánh xạ f gọi là đơn ánh nếu với mọi

x1, x2 ∈ X sao cho f (x1 ) = f (x2), thì suy ra x1 = x2 Nh- vậy, với mỗi phần tử

ánh xạ f gọi là toàn ánh nếu f (X) = Y , tức là, với mỗi phần tử y ∈ Y tồn tại

ít nhất một phần tử x ∈ X sao cho y = f (x).

ánh xạ f gọi là song ánh nếu f vừa đơn ánh vừa toàn ánh Tức là, với mỗi phần

tử y ∈ Y tồn tại đúng một phần tử x ∈ X sao cho y = f (x).

Ví dụ a) ánh xạ f : R −→ R, x 7−→ x3, là một song ánh Thật vậy, với mỗi

y ∈ R, ph-ơng trình y = x3 có duy nhất nghiệm x = √3

Định nghĩa 5 Cho hai ánh xạ f : X → Y và g : Y → Z Hợp của f và g, ký

hiệu g ◦ f , là ánh xạ từ X vào Z xác định bởi g ◦ f (x) = g(f (x)).

Ví dụ Với f : R → R, f (x) = x2 và g : R → R, g(x) = x + 2, ta có

(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(x2) = x2+ 2, (f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (x + 2) = (x + 2)2.

2.4.2 ánh xạ ng-ợc

Định nghĩa 6 ánh xạ f : X −→ Y gọi là khả nghịch nếu tồn tại một ánh xạ

g ◦ f = IdX và f ◦ g = IdY.

ánh xạ g khi đó gọi là ánh xạ ng-ợc cuả ánh xạ f và ký hiệu g = f−1.

Nhận xét ánh xạ ng-ợc của f : X −→ Y nếu tồn tại là duy nhất Thật vậy, giả

Ví dụ a) ánh xạ f : [−π/2, π/2] −→ [−1, 1], f (x) = sin x, là song ánh ánh xạ

ng-ợc của f đ-ợc ký hiệu là f−1(x) = arcsinx, tức là ta có

y = arcsinx ⇐⇒ x = sin y.

b) Ký hiệu R>0 là tập các số thực d-ơng Khi đó ánh xạ f : R −→ R>0,

f (x) = ex, có ánh xạ ng-ợc là f−1(x) = ln x Vì ta có

y = ln x ⇐⇒ x = ey.

Mệnh đề 5 Cho f : X → Y , g : Y → Z, là các song ánh Khi đó f−1 và g ◦ f cũng là song ánh và ta có

3.1 Quan hệ hai ngôi

Định nghĩa 7 Quan hệ (hai ngôi) trên tập X đ-ợc định nghĩa là một tập con

R của tích trực tiếp X ì X Nếu cặp phần tử (x, y) ∈ R thì ta nói x có quan hệ

Ví dụ a) Trên tập X bất kỳ ta có quan hệ bằng nhau

2) Đối xứng: Nếu xRy thì yRx.

3) Bắc cầu: Nếu xRy và yRz thì xRz.

Với mỗi x ∈ X tập con [x]R:= {y ∈ X | yRx} gọi là lớp t-ơng đ-ơng của x

(theo quan hệ t-ơng đ-ơng R) Tập tất cả các lớp t-ơng đ-ơng gọi là tập th-ơng

của X đối với quan hệ t-ơng đ-ơng R, ký hiệu là

ánh xạ X −→ X/R cho bởi x 7−→ [x]R là một toàn ánh đ-ợc gọi là toàn cấu

Dễ kiểm tra rằng đây là một quan hệ t-ơng đ-ơng Lớp t-ơng đ-ơng của m là

2) Phản đối xứ ng: Nếu xRy và yRx thì x = y

3) Bắc cầu: Nếu xRy và yRz thì xRz.

Một tập hợp X mà trên đó có trang bị một quan hệ thứ tự R gọi là tập sắp thứ

tự hay tập đ-ợc sắp Tập đ-ợc sắp th-ờng đ-ợc viết là (X, R).

Ng-ời ta th-ờng sử dụng dấu ≤ để ký hiệu một quan hệ thứ tự trên X Khi đó

x ≤ y đ-ợc đọc là x bé hơn hoặc bằng y Nếu x ≤ y và x 6= y thì ta viết x < y

c) Quan hệ chia hết x | y là một quan hệ thứ tự trên tập số tự nhiên N.

Trong ví dụ a) hai phần tử x, y bất kỳ ta luôn luôn so sánh đ-ợc, tức là luôn luôn

có x ≤ y hoặc y ≤ x Một quan hệ thứ tự trên tập X 6= ∅ mà mọi cặp phần tử

của X đều so sánh đ-ợc gọi là quan hệ thứ tự toàn phần Trong ví dụ c) không

phải hai phần tử nào cũng so sánh đ-ợc, chẳng hạn 2 và 3, nếu X có nhiều hơn

một phần tử thì điều này cũng xảy ra trong ví dụ b) Một quan hệ thứ tự không

toàn phần gọi là quan hệ thứ tự bộ phận.

Ma trận vuông cấp n là ma trận cấp n ì n Ta sẽ ký hiệu tập hợp tất cả các ma

trận vuông cấp n trên k là MatR(n) Ma trận vuông A = (aij)nìn có các phần tử

a11, a22, , ann ở trên một đ-ờng chéo gọi là đ-ờng chéo chính của A, đ-ờng

chéo còn lại gọi là đ-ờng chéo phụ.

4.2.3 Ma trận chéo

Ma trận chéo cấp n là ma trận vuông cấp n mà tất cả các phần tử ở ngoài đ-ờng

chéo chính đều bằng 0 Ma trận chéo cấp n đ-ợc ký hiệu là

diag(a11, a22, , ann) =

Ma trận đơn vị cấp n là ma trận chéo cấp n mà mọi phần tử ở trên đ-ờng chéo

chính đều bằng 1 Ma trận đơn vị cấp n đ-ợc ký hiệu là

Ma trận đối xứng cấp n là ma trận vuông cấp n mà tất cả các phần tử đối xứng

qua đ-ờng chéo chính đều bằng nhau

4.2.6 Ma trận tam giác

Ma trận tam giác trên (t.- d-ới) cấp n là ma trận vuông cấp n mà tất cả các

phần tử ở d-ới (t.- trên) đ-ờng chéo chính đều bằng 0 Nh- vậy, ma trận tamgiác trên có dạng

Ma trận bậc thang cấp m ì n là ma trận có tính chất sau: Nếu mọi phần tử ở

trên dòng i và đứng bên trái phần tử aij đều bằng 0, thì mọi phần tử ở cột j và

Định nghĩa 11 Cho hai ma trận A = (aij)mìn và B = (bij)mìn ∈ MatR(m, n)

Tổng của A và B, ký hiệu A + B, đ-ợc xác định bởi

A + B = (aij + bij)mìn.

Từ định nghĩa phép cộng ma trận ta dễ dàng kiểm chứng các tính chất sau

Mệnh đề 6 Cho A, B, C ∈ MatR(m, n) Khi đó

1) A + B = B + A.

2) (A + B) + C = A + (B + C).

3) A + O = O + A = O, trong đó O là ma trận không.

4.3.2 Nhân ma trận với một số

Định nghĩa 12 Cho ma trận A = (aij)mìn ∈ MatR(m, n) và α ∈ R Tích của

αA = (αaij)mìn.

Từ định nghĩa phép nhân một số với ma trận suy ra

Mệnh đề 7 Cho A, B ∈ MatR(m, n) và α, β ∈ R Khi đó

1) α(βA) = (αβ)A.

2) (α + β)A = αA + βA.

3) α(A + B) = αA + αB.

4.3.3 Nhân hai ma trận

Định nghĩa 13 Cho ma trận A = (aij)mìn ∈ MatR(m, n) và B = (aij)nìp

∈ MatR(n, p) Tích của A với B, ký hiệu AB, đ-ợc xác định bởi

j của ma trận B Sơ đồ tính phần tử cij nh- sau đây

ai1 ai2 ain

b1j b2j

Nhận xét Phép nhân AB chỉ đ-ợc định nghĩa cho tr-ờng hợp số cột của ma trận

A bằng số dòng của ma trận B.

Mệnh đề 8.

1) (AB)C = A(BC), với mọi A ∈ MatR(m, n) , B ∈ MatR(n, p) , C ∈ MatR(p, q)

3) A(B + C) = AB + AC, với mọi A ∈ MatR(m, n) ; B, C ∈ MatR(n, p)

4) ImA = A, AIn = A , với mọi A ∈ MatR(m, n)

Chứng minh 1) Giả sử A = (aij ) B = (bij), C = (cij) Khi đó

A = (taij)nìm ∈ MatR(n, m), trong đó taij = aji.

Dễ dàng kiểm chứng các tính chất sau

Mệnh đề 9 Cho A, B ∈ MatR(m, n) , C ∈ MatR (n, p) α ∈ R Khi đó

1) t(A + B) = tA + tB.

2) t(αA) = αtA.

3) t(AC) = tC tA.

4.4 Biến đổi sơ cấp trên ma trận

Định nghĩa 15 Các phép biến đổi trên ma trận sau đây gọi biến đổi sơ cấp:

(1) Đổi chỗ dòng (cột) i với dòng (cột) j, ký hiệu di ↔ dj (ci ↔ cj).

(2) Nhân dòng (cột) i với một số α 6= 0, ký hiệu αdi (αci).

(3) Cộng dòng (cột) i với α lần dòng (cột) j, ký hiệu di + αdj (ci + αcj).

Mệnh đề 11 Mọi ma trận A = (aij) ∈ MatR(m.n) đều có thể đ-a về dạng bậc thang bởi một số hữu hạn phép biến đổi sơ cấp trên dòng.

Chứng minh (Thuật toán Gauss)

B-ớc 1 Tìm phần tử khác 0 có vị trí gần bên trái nhất Giả sử đó là phần tử aij

B-ớc 2 Dùng phép biến đổi d1 ↔ di, để có ma trận B = (bij) với phần tử b1j 6= 0

B-ớc 3 Dùng các phép biến đổi di + αd1, i ≥ 2, làm triệt tiêu các phần tử ở d-ới

Thùc hiÖn c¸c b-íc trong thuËt to¸n Gauss

§Þnh nghÜa 16 Mét ho¸n vÞ cña Jn= {1, 2, , n} lµ mét song ¸nh σ : Jn −→

sao cho

σ(i) = j, σ(j) = i, σ(m) = m ∀m 6= i, j.

(σ) =

(+1 nÕu sè nghÞch thÕ cña σ lµ ch½n

N1 = #{(i, j) | i < j, γ(i) < γ(j), σ(γ(i)) > σ(γ(j))},

N2 = #{(i, j) | i < j, γ(i) > γ(j), σ(γ(i)) < σ(γ(j))},

N3 = #{(i, j) | i < j, γ(i) > γ(j), σ(γ(i)) > σ(γ(j))}.

. . .

0 11 3

= 1 ˜a13 =

0 11 2

=−1

˜21= −

...

ký hiệu

det(A1, , An) = det A.

Mệnh đề 14 Nếu đổi chỗ hai d? ??ng cuả ma trận vng, định thức đổi d? ??u

det(A1, ... MatR(n)

1) Nếu A có d? ??ng 0, det A = 0.

2) Nếu A có hai d? ??ng tỉ lệ, det A = 0.

3) Nếu thêm vào d? ??ng A với bội d? ??ng khác định thức không thay đổi.

Mệnh... MatR(n) Khi đó

1) det AB = det A det B.

2) Nếu A khả nghịch, det(A−1) = (det A)−1.

Chứng