Toán cao cấp potx

Mục tiêu kiến thức: thức về phép tính vi phân, tích phân hàm một biến.. Sinh viên tiếp cận với khối kiến thức mới về Đại số tuyến tính: Ma trận – định thức, hệ phương trình tuyến tính, k

MỤC TIÊU HỌC PHẦN:

1 Mục tiêu kiến thức:

thức về phép tính vi phân, tích phân hàm một biến Sinh viên tiếp cận với khối kiến thức mới về Đại số tuyến tính: Ma trận – định thức, hệ phương trình tuyến tính, không gian véc tơ, ánh xạ tuyến tính.

cận các phương pháp, các công cụ giải toán đồng thời

là cơ sở để nghiên cứu các môn toán tiếp theo Thông qua đó nâng cao được khả năng tư duy toán học cũng như các học phần khác cho sinh viên.

2 Mục tiêu kỹ năng:

Từ các kiến thức lý thuyết, sinh viên phải thành thạo

các kỹ năng sau:

số một biến số: đạo hàm, vi phân, giới hạn hàm số,

tích phân hàm một biến số.

trận, định thức.

Không gian véc tơ và Ánh xạ tuyến tính

3 Mục tiêu thái độ:

YÊU CẦU ĐỐI VỚI SINH VIÊN

ĐÁNH GIÁ KẾT QUẢ HỌC TẬP

1 Điểm quá trình ( 30%):

 3 cột điểm thành phần ( chuyên cần , bài tập nhóm,

một cột điểm kiểm tra ).

 1 cột điểm giữa kỳ.

2 Điểm kết thúc học phần ( 70%)

Hình thức thi : tự luận

GIÁO TRÌNH HỌC TẬP

1 Tài liệu học tập:

[1] Giáo trình Toán học cao cấp, tập 1 Nguyễn Đình Trí, (Dành cho

sinh viên các trường cao đẳng), NXB Giáo dục.

[2] Bài tập Toán học cao cấp, tập 1 Nguyễn Đình Trí, (Dành cho

sinh viên các trường cao đẳng), NXB Giáo dục.

2 Tài liệu tham khảo :

[1] Toán cao cấp - phần giải tích Thái Xuân Tiến, Đặng Ngọc Dục

Chương 1: Tập hợp & ánh xạ Số thực & sốphức

Chương 2: Hàm số một biến số

Chương 3: Các định lí về giá trị TB & UD

Chương 4: Định thức – ma trận- HPTTT

Chương 4: Định thức – ma trận- HPTTT

Chương 5: Không gian véc tơ

Chương 6: Tích phân hàm một biến số

Chương 6: Tích phân hàm một biến số

NỘI DUNG CHƯƠNG TRÌNH

1.2 ÁNH XẠ

Thí dụ:

Cho hai tập X, Y và một quy luật f liên hệ giữa các phần

tử cuả X và một số phần tử của Y như sau:

1.2 ÁNH XẠ

1.2.1 Định nghĩa:

Cho hai tập X, Y khác ∅ Ta gọi ánh xạ từ tập X vào tập

Y là một quy luật cho ứng với mỗi phần tử bất kỳ x∈ X có duy nhất một phần tử tương ứng xác định y ∈ Y Kí hiệu:

f, g, h,…

Kí hiệu:

) (

:

x f y

x

Y X

1.2.2 Đơn ánh, toàn ánh, song ánh:

1.2 ÁNH XẠ

) (

) (

2 Toàn ánh

Ánh xạ f : X → Y gọi là toàn ánh nếu:

Với mỗi phần tử bất kỳ y ∈Y tồn tại ít nhất 1 phần tử x

1.2 ÁNH XẠ

Ánh xạ f: X→Y gọi là song ánh nếu f vừa là đơn ánh vừa

là toàn ánh, hay với mọi phần tử y ∈Y tồn tại duy nhất

một phần tử x ∈X là tạo ảnh của y

3 Song ánh:

Ví dụ: Cho f : R → R

5 3

) ( = +

= f x x y

thoả mãn y = 3x + 5 = f(x)

( = 3 +

= f x x y

x 

2) f : R → R

2)

( x x f

y

3) f : R + → R +

2)

( x x f

y

4) f : R → R

3 2

) ( = 2 + −

= f x x x y

x 

5) f : [4,9] → [21,96]

3 2

) ( = 2 + −

= f x x x y

1.2 ÁNH XẠ

1.2.3 Ánh xạ ngược:

1 Định nghĩa:

Cho f : X → Y là một song ánh Khi đó với mỗi y ∈ Y

có một và chỉ một phần tử x ∈ X sao cho f(x) = y, nên

ta cũng xác định được một ánh xạ tương ứng từ Y vào

X, kí hiệu f-1(x), thoả

)(fx

y

X

:

1 -

Ví dụ :

32

)(

f y

x

R R

f x

y

R R

f



1.2 ÁNH XẠ

1.2 ÁNH XẠ

1.2.4 Ánh xạ hợp ( tích ):

1 Định nghĩa: Cho f : X → Y và g : Y → Z

mỗi x ∈ X ta có y = f(x) ∈ Y và có z = g(y) = g[f(x)] ∈ Z.Như vậy tồn tại 1 ánh xạ h : X → Z sao cho:

với mỗi x ∈ X ta có z = h(x) thỏa z = g[f(x)]

Ta gọi h là ánh xạ hợp ( tích ) của ánh xạ f và g

Kí hiệu: h = g0f

Ví dụ : Cho f : R → R

3 )

( = 2 +

= f x x y

x 

g : R → R

y x

g z

y  = ( ) = cosKhi đó ta có :

h : R → R

[ ( )] ( 3) cos( 3))

z

x 

1.5 SỐ PHỨC

Định

nghĩa

D ạng lượng giác của

số phức

Các phép tính

Khai căn

số phức

1.5.1 ĐỊNH NGHĨA

1 Định nghĩa:

Số phức là số có dạng z = a + ib ( i 2 = -1 ), trong đó a, b ∈ R

• a gọi là phần thực của số phức z, kí hiệu là Rez.

• b gọi là phần ảo của số phức z, kí hiệu là Imz.

2 Ví dụ:

1) z = 2 + 3i 3) z = 3( số thực là trường hợp riêng của số phức)

2) z = -2 - i 5) z = 4i ( số ảo thuần tuý)

3) z = -3 – i 6) z = 0

Tập hợp tất cả các số phức kí hiệu là C

Số phức - z = - a – bi gọi là số phức đối của z

Số phức z = a – bi gọi là số phức liên hợp của z, kí hiệu

( 3 – 2 + 1) + i(-4 + 7 - 1) = 2 +2i

z1 = 3 – 4i

1.5.2 C ÁC PHÉP TOÁN VỀ SỐ PHỨC

2.Ví dụ: Cho các số phức sau: z1 = 1 −i;z2 = 1 + i 3 ;z3 = − 1 +i 3

Tìm phần thực, phần ảo của các số phức sau:

3 2

1 )

3 Tính chất:

2 2 2

1

b a

ib

a b

i a

ib

a )

ib a

)(

ib a

(

ib

a ib

a

1 z

−

= +

z

z , được kí hiệu là zn

1.5.2 C ÁC PHÉP TOÁN VỀ SỐ PHỨC

Ví dụ: Tính:

2

) 2

3 2

1 ( )

2

3 2

1 ( )

1.5.3 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC

1 Mặt phẳng phức

 Mỗi số phức z = a + ib ứng với cặp số thực (a,b) nên ta

có thể biểu diễn nó bởi điểm M trong mặt phẳng Oxy sao cho M có tọa độ (a,b)

b M(a, b)y

2 Dạng lượng giác của số phức

Gọi M(a, b) là ảnh của số phức z = a + ib trong (Oxy)

Giả sử z ≠ 0 Đặt ρ = OM, θ = (Ox, OM)

Ta có: a = ρ.cosθ ; b = ρ.sinθ

Khi đó: z = ρ (cosθ + isinθ) gọi là

dạng lượng giác của số phức

• ρ (> 0 ) gọi là môdun của z, kí hiệu |z|

• θ gọi là agumen của z, kí hiệu arg(z),

được xác định sai khác 2kπ (k ∈ Z)

b M(a, b)y

= θ

Ví dụ: Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác

a z = 1 ; b z = i ; c z = −i

d z = 1 + i ; e z = 1 − i 3 f z = 2i

1.5.3 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC

3 Phép nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác

Cho z1 = ρ1(cosθ1 + i sinθ1) ; z2 = ρ2(cosθ2 + i sinθ2)

1) z1.z2 = ρ1 ρ2 (cosθ1 + i sinθ1) (cosθ2 + i sinθ2)

= ρ1 ρ2{ (cosθ1cosθ2- sin θ1sin θ2)

+ i (cosθ1sin θ2+ cos θ2sin θ1)}

z1.z2 = ρ1 ρ2{ cos(θ1+ θ2) + i sin(θ1+ θ2}

Vậy: Tích của hai số phức dưới dạng lượng giác là số phức

có môđun bằng tích các môđun và argumen bằng tổng các argumen

1.5.3 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC

1.5.3 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC

) sin

i (cos

) sin

i

(cos z

z

2 2

2

1 1

1 2

1

θ +

θ ρ

θ +

i )(cos

sin i

(cos

) sin

i )(cos

sin i

(cos

2 1

2

1 2

1

2 2

2 2

2

2 2

1 1

1

θ

− θ +

θ

−

θ ρ

ρ

=

θ

− θ θ

+ θ ρ

θ

− θ θ

+ θ

ρ

=

• Nếu z2 0≠

Vậy: thương của 2 số phức là số phức có môdun bằng

thương các môđun và agumen bằng hiệu các agumen

1.5.3 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC

4 Lũy thừa của số phức ở dạng lượng giác.

(*) gọi là công thức Moivre

n (cos

Nếu ρ = 1, z = cos θ + i sin θ thì ∀ n ∈N ta có:

θ+

θ

=θ

+θ

= (cos isin ) cosn isin n

Có thể dùng công thức này để tính cosnx và sinnx

theo cosx và sinx

) sin

i (cos

z = ρ θ + θ

1.5.3 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC

Ví dụ:

3)31

( + i

1.5.3 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC

Tính:

5 Khai căn số phức

) sin

i (cos

n

2

ksin(

i

)n

2

kcos(

n

(k = 0, 1, …, n − 1)

1.5.3 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC

Cho số phức

i

− +

2 Khai căn các số phức:

Phase 1 Phase 2 Phase 3

Block Diagram

3-D Pie Chart

TEXT

TEXT TEXT

TEXT

TEXT

TEXT

Marketing Diagram

Title