Toán cao cấp A3 potx

Các định nghĩa a Miền phẳng • Trong mặt phẳng Oxy , hình phẳng D giới hạn bởi các đường cong kín được gọi là miền phẳng.. Tập hợp các đường cong kín giới hạn D được gọi là biên của D

Trang 1

TOÁN CAO CẤP A3 ĐẠI HỌC

PHÂN PHỐI CHƯƠNG TRÌNH I CH ƯƠ NG TRÌNH

Số tiết: 45 -

Chương 1 Hàm số nhiều biến số

Chương 2 Tích phân bội

Chương 3 Tích phân đường – Tích phân mặt

Chương 4 Phương trình vi phân

Tài liệu tham khảo

1 Nguyễn Phú Vinh – Giáo trình Toán cao cấp A3

– ĐHCN TP HCM

2 Đỗ Công Khanh – Giải tích hàm nhiều biến

(tập 3, 4) – NXB ĐHQG TP HCM

Biên so ạ :ThS Đ Đ o o à V V ươ ươ ng ng Nguyên

Download Slide bài gi ả ng Toá A3 t ạ i

dvntailieu.wordpress.com

3 Nguyễn Đình Trí – Phép tính Giải tích

hàm nhiều biến – NXB Giáo dục

4 Phan Quốc Khánh – Phép tính Vi tích phân (tập 2)

8 James Stewart – Calculus Early Transcendentals,

sixth edition – USA 2008

Ch Ch ươ ươ ng ng 1 Hàm s ố nhi ề u bi ế n s ố

§1 KHÁI NIỆM CƠ BẢN

1.1 Các định nghĩa

a) Miền phẳng

• Trong mặt phẳng Oxy , hình phẳng D giới hạn bởi các

đường cong kín được gọi là miền phẳng Tập hợp các

đường cong kín giới hạn D được gọi là biên của D , ký

hiệu D∂ hay Γ Đặc biệt, mặt phẳng Oxy được xem là

miền phẳng với biên ở vô cùng

………

§1 Khái niệm cơ bản

§2 Đạo hàm riêng – Vi phân

§3 Cực trị của hàm hai biến số

• Miền phẳng D kể cả biên D ∂ được gọi là miền đóng,

miền phẳng D không kể biên D ∂ là miền mở

• Miền phẳng D được gọi là miền liên thông nếu có 1

đường cong nằm trong D nối 2 điểm bất kỳ thuộc D

Miền liên thông có biên là 1 đường cong kín được gọi

là miền đơn liên (hình a); có biên là nhiều đường cong kín rời nhau là miền đa liên (hình b)

b) Lân cận của một điểm

• Khoảng cách giữa 2 điểm M x1( ,1 y , 1) M x2( ,2 y là: 2)

• Trong trường hợp xét hàm số f x y mà không nói gì ( , )

thêm thì ta hiểu MXĐ của hàm số là tập tất cả các điểm

2( , )

M x y ∈ ℝ sao cho ( , )f x y có nghĩa

c) Hàm số hai biến số

• Trong mặt phẳng Oxy cho tập D⊂ ℝ 2

Tương ứng f D: → ℝ cho tương ứng mỗi ( , )x y ∈D

với một giá trị z=f x y( , )∈ ℝ duy nhất được gọi là

hàm số hai biến số x y ,

• Tập D⊂ ℝ được gọi là miền xác định (MXĐ) của hàm 2

số f x y , ký hiệu là ( , ) D Miền giá trị của hàm f f x y là: ( , )

{ ( , ) ( , ) f}

G= z= f x y ∈ℝ x y ∈D

Trang 2

• Hàm có nhiều hơn hai biến được định nghĩa tương tự

mp mở có biên d: 2x + − = , không chứa O y 3 0

1.2 Giới hạn của hàm số hai biến số

a) Điểm tụ

• Trong mpOxy cho dãy điểm M n(x n,y n),n=1, 2,

Điểm

0( ,0 0)

M x y được gọi là điểm tụ của dãy trên nếu

mọi lân cận của M đều chứa vô số phần tử của dãy 0

• Điểm M0( ,x0 y0) được gọi là điểm tụ của tập D⊂ ℝ2

nếu mọi lân cận của điểm M đều chứa vô số điểm 0

thuộc D

b) Định nghĩa giới hạn (giới hạn bội)

• Điểm M x0( ,0 y được gọi là giới hạn của dãy điểm 0)( , ), 1, 2,

lim

23

x y

x y x xy

Giải

0 0

x y

Giải Đặt x=rcos ,ϕ y=rsinϕ, ta có:

VD 5 Cho hàm số

2( , ) xy

f x y

=+

sin 2lim ( , ) lim sin 2

f x y được gọi là giới hạn lặp

Khi x→ trước, x0 y→ sau thì ta viết: y0

sinlim lim ( , ) lim 1

Trang 3

sinlim lim ( , ) lim 1

• Hàm số f x y liên tục trên tập ( , ) D⊂ ℝ nếu nó liên tục 2

tại mọi điểm thuộc D

Hàm số f x y liên tục trên miền đóng giới nội D thì nó ( , )

đạt giá trị lớn nhất (max) và nhỏ nhất (min) trên D

………

§2 ĐẠO HÀM RIÊNG – VI PHÂN

2.1 Đạo hàm riêng

a) Đạo hàm riêng cấp 1

• Cho hàm số f x y xác định trên miền mở ( , ) D⊂ ℝ2

chứa điểm M x0( ,0 y Cố định 0) y , nếu hàm số 0 f x y( , 0)

có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm đó là đạo hàm riêng 0

theo biến x của hàm số f x y tại ( , ) ( ,x0 y 0)

Ký hiệu: f x x( ,0 y hay 0) f x/( ,x0 y hay 0) f ( ,x0 y0)

• Tương tự, đạo hàm riêng theo biến y tại ( ,x0 y là: 0)

• Hàm số nhiều hơn hai biến có định nghĩa tương tự

VD 1 Tính các đạo hàm riêng của hàm số:

f x y =x − x y + y − xy tại ( 1; 2)−

VD 3 Tính các đạo hàm riêng của z cosx

y

= tại ( ; 4)π

VD 4 Tính các đạo hàm riêng của f x y z( , , )=e x y2 sinz

b) Đạo hàm riêng cấp cao

• Đạo hàm riêng (nếu có) của hàm số f x/( , )x y , f y/( , )x y

được gọi là các đạo hàm riêng cấp hai của f x y ( , )

VD 2 Tính các đạo hàm riêng của

2

1ln

1

x z

+

=+ +

Trang 4

Ký hiệu:

( )

2

2 //

• Cho hàm số f x y xác định trong lân cận ( , ) S M( 0, )ε

của điểm M x0( ,0 y Cho x một số gia 0) ∆ và y một x

số gia y∆ , khi đó hàm ( , )f x y có tương ứng số gia:

• Nếu trong lân cận S M( 0, )ε với số gia x ∆ , y∆ mà số

gia f∆ tương ứng có thể viết được dưới dạng:

• Nếu hàm số f x y có các đạo hàm riêng trong lân cận ( , )

nào đó của ( ,x0 y0) và các đạo hàm riêng này liên tục tại ( ,x0 y thì 0) f x y khả vi tại ( , ) ( ,x0 y0)

VD 8 Cho hàm f x y( , )=x e2 x y− − Tính (1; 1)y5 df −

VD 9 Tính vi phân cấp 1 của hàm z =e x2−ysin(xy2)

2.2.2 VI PHÂN CẤP CAO

a) Vi phân cấp 2

• Giả sử f x y là hàm khả vi với ( , ) x y là các biến độc ,

lập Các số gia dx= ∆x dy, = ∆ tùy ý độc lập với y

,

x y nên được xem là hằng số đối với x y ,

Trang 5

Chú ý

• Nếu x y là các biến không độc lập (biến trung gian) ,

( , )

x =x ϕ ψ , y=y( ,ϕ ψ thì công thức trên không còn )

đúng nữa Sau đây ta chỉ xét trường hợp x y độc lập ,

• Vi phân của df x y được gọi là vi phân cấp 2 của ( , )

n x y k

VD 13 Tính vi phân d z của hàm số 3 z =e2xcos 3y

2.3 Đạo hàm của hàm số hợp

a) Hàm hợp với một biến độc lập

• Cho f x y là hàm khả vi đối với ( , ) x y và , x y là những ,

hàm khả vi đối với biến độc lập t Khi đó, hàm hợp của

Tính trực tiếp như sau:

b) Hàm hợp với hai biến độc lập

• Cho f x y là hàm khả vi đối với ( , ) x y và , x y là những ,

hàm khả vi đối với hai biến độc lập ϕ ψ Khi đó, hàm ,

2.4 Đạo hàm của hàm số ẩn (hai biến)

• Hàm z x y xác định trên ( , ) D z ⊂ ℝ thỏa phương trình 2

( , , ( , )) 0, ( , ) z

F x y z x y = ∀x y ∈D⊂D (*) được gọi là

hàm số ẩn hai biến xác định bởi (*)

Giả sử các hàm trên đều khả vi, đạo hàm 2 vế (*) ta được:

Trang 6

2.5 Đạo hàm theo hướng – Vector gradient

• Trong không gian Oxyz , đặt r t( )=OM

Khi t thay đổi thì điểm M thay đổi và vạch ra 1 đường

cong Đường cong này được gọi là tốc đồ của r t( ) Phương trình tham số của tốc đồ:

2.5.2 Đạo hàm theo hướng

a) Định nghĩa

Giả sử hàm f x y z xác định trong một lân cận của ( , , )

điểm M x y z Xét 0( , ,0 0 0) v=( , , )v v v x y z ≠0, gọi ∆ là

nửa đường thẳng gốc M theo hướng v0

Trên ∆ lấy điểm M sao cho đoạn M M thuộc lân cận 0

0

( ) ( )( ) lim

Khi đó cos , cos , cosα β γ được gọi là các

cosin chỉ phương của v và:

cos , cos , cos

Nếu f x y z khả vi tại điểm ( , , ) M thì tồn tại đạo hàm tại 0

điểm M theo hướng 0 v≠0 bất kỳ và

Giả sử hàm f x y z có các đạo hàm riêng tại điểm ( , , ) M 0

Vector gradient tại M của hàm f , ký hiệu 0 ∇f M( 0) hay

0grad (f M )

Trang 7

Từ công thức trên, ta có:

• max (f M v′ 0)= ∇f M( 0) khi ϕ = 0

• min (f M v′ 0)= − ∇f M( 0) khi ϕ = π

Vậy ý nghĩa của vector gradient là: hướng của ∇f M( 0)

là hướng tăng nhanh nhất của hàm f và, hàm f sẽ giảm

nhanh nhất theo hướng ngược lại

⇒ ≥ ∀ ∈ ℝ nên đạt cực tiểu tại (0; 0)O

có dấu không đổi

và M là điểm cực tiểu của 0 z = f x y( , )

0

M là điểm cực đại của z = f x y( , )

§3 CỰC TRỊ CỦA HÀM HAI BIẾN SỐ

3.1 Định nghĩa (cực trị địa phương)

b) Điều kiện đủ

Giả sử z=f x y( , ) có điểm dừng là M và có đạo hàm 0

riêng cấp hai tại lân cận của điểm M 0

• Điểm M x0( ,0 y thỏa 0) f x y x′( ,0 0)=f x y y′( ,0 0)= được 0

gọi là điểm dừng, M có thể không là điểm cực trị 0

Khi đó:

• Nếu

( , )0

AC B

f x y A

AC B

f x y A

 − >

 <

• Nếu AC−B2 < ⇒0 f x y( , ) không đạt cực trị tại M 0

• Nếu AC−B2 = thì ta không thể kết luận 0

3.3 Phân loại cực trị

• Trong không gian Oxyz , xét mặt cong S chứa đường

cong ( )C Chiếu S lên mpOxy ta được miền D⊂ ℝ 2

và đường cong phẳng ( ) : ( , )γ ϕx y = (xem hình vẽ) 0

xác định trên D (vì không phụ thuộc vào ( )γ ) Tương

tự, điểm P2∈( )C là điểm cao nhất (hay thấp nhất) so

với các điểm ở trong lân cận của nó và hình chiếu

M ∈ γ là điểm cực trị có điều kiện ràng buộc bởi

( ) : ( , )γ ϕx y = của hàm ( , )0 f x y

• Bước 1. Tìm điểm dừng M x0( ,0 y bằng cách giải hệ: 0)

x y

Trang 8

A z đạt cực tiểu tại M(2; 5) và giá trị cực tiểu z=39

B z đạt cực tiểu tại M(5; 2) và giá trị cực tiểu z=30

C z đạt cực đại tại M(2; 5) và giá trị cực đại z=39

D z đạt cực đại tại M(5; 2) và giá trị cực đại z=30

a) Phương pháp khử

• Từ phương trình ϕ( , )x y = ta rút x hoặc y thế vào0( , )

f x y , sau đó tìm cực trị của hàm một biến

3.5 Cực trị có điều kiện (cực trị vướng)

• Cho hàm số f x y xác định trên lân cận của điểm( , )

0( ,0 0)

M x y thuộc đường cong ( ) : ( , )γ ϕx y = 0

Nếu tại điểm M , hàm 0 f x y đạt cực trị thì ta nói ( , ) M0

là điểm cực trị có điều kiện của f x y với điều kiện ( , )( , )x y 0

ϕ =

• Để tìm cực trị có điều kiện của hàm số f x y ta dùng ( , )

phương pháp khử hoặc nhân tử Lagrange

VD 7 Tìm điểm cực trị của hàm z=x y2 thỏa điều kiện:

3 0

x− + = y

b) Phương pháp nhân tử Lagrange

Tại điểm cực trị ( , )x y của f , gọi

/ /

y x

f f

Suy ra điểm dừng M x0( ,0 y ứng với 0) λ 0

• Bước 4.Từ điều kiện ràng buộc (1) và (2), ta có:

Nếu d L M2 ( 0)> thì ( , )0 f x y đạt cực tiểu tại M 0

Nếu d L M2 ( 0)< thì ( , )0 f x y đạt cực đại tại M 0

Nếu d L M2 ( 0)= thì 0 M không là điểm cực trị 0

• Bước 3. Tính vi phân cấp 2 tại M x0( ,0 y ứng với 0) λ : 0

với điều kiện x2+y2 = 5

VD 9 Tìm giá trị cực trị của hàm số z=x2+ thỏa y2

• Bước 1. Tìm các điểm cực trị tự do N1, ,N trong D n

(chỉ cần tìm điểm dừng)

• Bước 2. Tìm các điểm cực trị P1, , P trên biên D p ∂

thỏa điều kiện ϕ( , )x y = (chỉ cần tìm điểm dừng) 0

3.6 Giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của hàm hai biến trên miền đóng, bị chặn (cực trị toàn cục)

Cho miền D⊂ ℝ đóng có biên 2 ∂D: ( , )ϕx y = và 0( , )

f x y là hàm liên tục trên D , khả vi trong D mở (có

thể không khả vi tại m điểm M1, , M ) Giả sử biên m D

∂ trơn, nghĩa là hàm ϕ khả vi Để tìm giá trị lớn nhất

– nhỏ nhất của f trên D , ta thực hiện các bước sau:

Trang 9

Ch Ch ươ ươ ng ng 2 Tích phân b i

§1 Tích phân bội hai (tích phân kép)

§2 Tích phân bội ba

§3 Ứng dụng của tích phân bội

………

§1 TÍCH PHÂN BỘI HAI

1.1 Bài toán mở đầu (thể tích khối trụ cong)

• Xét hàm số z =f x y( , )

liên tục, không âm và một mặt trụ có các

đường sinh song song

với Oz , đáy là miền phẳng đóng D trong mpOxy

• Để tính thể tích khối trụ, ta chia miền D thành n phần

không dẫm lên nhau ∆ , S i i =1;n Diện tích mỗi phần

cũng ký hiệu là ∆ Khi đó, khối trụ cong được chia S i

thành n khối trụ nhỏ Trong mỗi phần ∆ ta lấy điểm S i

( ; )

M x y tùy ý và thể tích V của khối trụ là:

1( ; )

1.2 Tích phân bội hai

a) Định nghĩa

• Cho hàm số f x y xác định trên miền D đóng và bị ( , )

chặn trong mặt phẳng Oxy Chia miền D một cách tùy ý thành n phần không dẫm

lên nhau, diện tích mỗi phần là ∆ , S i i=1;n

Lấy n điểm tùy ý M x i( ;i y i)∈ ∆ , S i i =1;n Khi đó,

1( ; )

điểm M thì số thực I được gọi là tích phân bội hai của i

hàm số f x y trên miền D ( , )

Ký hiệu là: ( , )

D

I =∫∫ f x y dS

• Chia miền D bởi các đường thẳng song song với Ox ,

Oy ta được ∆S i = ∆ ∆ hay dS x i y i =dxdy

Vậy ( , ) ( , )

I=∫∫ f x y dS =∫∫ f x y dxdy

• Nếu tồn tại tích phân ( , )

D

f x y dxdy

∫∫ , ta nói hàm số

( , )

f x y khả tích trên miền D ; f x y là hàm dưới dấu ( , )

tích phân; x và y là các biến tích phân

Nhận xét

( )

D

S D =∫∫dxdy (diện tích của miền D )

Nếu f x y( , )> , liên tục trên D thì thể tích hình trụ có 0

các đường sinh song song với Oz , hai đáy giới hạn bởi

các mặt z= , 0 z =f x y( , ) là ( , )

D

V =∫∫ f x y dxdy

Trang 10

b) Định lý

Hàm f x y liên tục trong miền D đóng và bị chặn thì ( , )

khả tích trong D

1.3 Tính chất của tích phân bội hai

Giả thiết rằng các tích phân dưới đây đều tồn tại

y x b

x y d

y x b

x y d

f x y dxdy = v y dy u x dx

4) Nếu D là miền phức tạp thì ta chia D ra thành những

miền đơn giản

VD 1 Cho ( , )

D

I =∫∫ f x y dxdy Xác định cận tích phân

lặp với miền D giới hạn bởi y=0,y=2 ,x x = > a 0

VD 2 Tính tích phân 6 2

D

I =∫∫ xy dxdy Trong đó, D=[0; 2] [ 1; 1]× −

Trang 11

VD 3 Tính tích phân (2 )

D

I=∫∫ x+y dxdy Trong đó, D={y≤ ≤ − − ≤ ≤x 1 y, 2 y 0}

I=∫∫ ydxdy , trong đó miền D

giới hạn bởi các đường y= −x 4,y2=2x

b) Đổi thứ tự lấy tích phân

2

1

( )

( )( , )

y x b

c x y

I =∫ ∫dy f x y dx

VD 6 Đổi thứ tự lấy tích phân trong tích phân sau:

2 3

( , )

y

I =∫ ∫dy f x y dx

Trang 12

1.4.2 PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN

a) Công thức đổi biến tổng quát

Giả sử x=x u v( , ), y=y u v( , ) là hai hàm số có các đạo

hàm riêng liên tục trên miền đóng bị chặn D trong uv

mpOuv Gọi D là miền xác định bởi: xy

x y J

I =∫∫ x −y dxdy , với miền D là hình

chữ nhật giới hạn bởi các đường thẳng:

x+ =y x+ =y x− =y x− = y

VD 10 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 4 parapol:

y=x y=x x =y2, 3x = y2

b) Đổi biến trong tọa độ cực

Trong mpOxy , xét miền D

Vẽ 2 tia OA OB tiếp xúc với ,

r r

1) Đổi biến trong tọa độ cực thường dùng khi biên của D

là đường tròn hoặc elip

2) Để tìm r1( ), ( )ϕ r2 ϕ ta thay x=rcos ,ϕ y=rsinϕ

vào phương trình của biên D 3) Nếu cực O nằm trong D và mỗi tia từ O chỉ cắt biên

D tại 1 điểm thì:

( ) 2

Trang 13

4) Nếu cực O nằm trên biên của D thì:

( )

0( cos , sin )

r

ϕ β α

VD 11 Hãy biểu diễn tích phân ( , )

VD 14 Tính diện tích miền D (cắt tia Oy ) giới hạn bởi:

n

n n

Trong đó, n đọc là n Walliss, định nghĩa như sau: !!

n

n n

0

0, ( 1)!!

xdx

n n

3)

0, ( 1)!!

n n

Trang 14

VD

2

2 0

4 !! 8cos

5!! 15cos 2

2.1 Bài toán mở đầu (khối lượng vật thể)

• Giả sử ta cần tính khối lượng của vật thể V không đồng

chất, biết mật độ (khối lượng riêng) tại điểm P x y z là( , , )( )P ( , , )x y z

• Ta chia V thành n phần tùy ý không dẫm lên nhau, thể

tích mỗi phần là ∆ , V i i =1,n Trong mỗi ∆ ta lấy V i

điểm P x y z và ký hiệu đường kính của i( , , )i i i ∆ là V i d i

Khi đó, khối lượng của V xấp xỉ:

1

( )

n

i i i

i

→

=

= ∑ ∆ (nếu giới hạn hữu hạn)

2.2 Định nghĩa tích phân bội ba

• Cho hàm số f x y z xác định trong miền đo được V( , , )

trong không gian Oxyz Chia miền V như bài toán

mở đầu và lập tổng tích phân

1: ( , , )

= ∑ ∆ tồn tại hữu hạn,

không phụ thuộc vào cách chia miền V và cách chọn

điểm P thì số thực I được gọi là tích phân bội ba của i

hàm số f x y z trên V ( , , )

Ký hiệu: ( , , )

V

I =∫∫∫ f x y z dxdydz

• Nếu tồn tại tích phân, ta nói f x y z khả tích; ( , , ) f x y z( , , )

là hàm dưới dấu tích phân; x y z là các biến tích phân , ,

• Hàm số f x y z liên tục trong miền V bị chặn và đóng ( , , )

Đặc biệt, nếu f x y z( , , )≡ thì I là thể tích của V 1

Tích phân bội ba có các tính chất như tích phân kép

Ch Ch ươ ươ ng ng 2 M ộ t s ố m ặ t b ậ hai

Trang 15

Ch Ch ươ ươ ng ng 2 M ộ t s ố m ặ t b ậ hai

Trang 16

2.3 PHƯƠNG PHÁP TÍNH

2.3.1 Đưa về tích phân lặp

a) Chiếu miền V lên mpOxy

Giả sử miền V có giới hạn trên bởi mặt z=z x y2( , ),

giới hạn dưới bởi z=z x y1( , ), giới hạn xung quanh bởi

mặt trụ có đường sinh song song với trục Oz

Gọi D là hình chiếu của V trên mpOxy xy

b) Chiếu miền V lên mpOxz

Giả sử miền V có giới hạn (theo chiều ngược với tia Oy )

bởi hai mặt y=y x z2( , ) và y=y x z1( , ), giới hạn xung

quanh bởi mặt trụ có đường sinh song song với trục Oy

Gọi D là hình chiếu của V trên mpOxz xz

c) Chiếu miền V lên mpOyz

Giả sử miền V có giới hạn (theo chiều ngược với tia Ox )

bởi hai mặt x=x y z2( , ) và x=x y z1( , ), giới hạn xung

quanh bởi mặt trụ có đường sinh song song với trục Ox

Gọi D là hình chiếu của V trên mpOyz Khi đó: yz

và dựng miền lấy tích phân V

VD 3 Tính tích phân

V

I =∫∫∫ydxdydz với miền V

giới hạn bởi x+ + = và 3 mặt phẳng tọa độ y z 1

Trang 17

2.3.2 CÔNG THỨC ĐỔI BIẾN TỔNG QUÁT

Giả sử x=x u v w( , , ), y=y u v w( , , ), z =z u v w( , , ) có

đạo hàm riêng liên tục trong miền V uvw đóng bị chặn

trong không gian Ouvw

Nếu Jacobien ( , , )

0( , , )

VD 5 Tính thể tích của khối elipsoid

2.3.3 Đổi biến trong tọa độ trụ

Đặt

cossin

khối hình nón giới hạn bởi x2+y2= và z2 z = 1

2.3.3 Đổi biến trong tọa độ cầu

Đặt

sin cos ,sin sin ,cos ,

Trang 18

là miền giới hạn bởi: x2+y2+z2 ≤4,y≥ và 0 z≥ 0

………

VD 10 Tính tích phân 2 2 2

V

I =∫∫∫ x +y +z dxdydz,

trong đó V là miền giới hạn bởi: x2+y2+z2− ≤ z 0

§3 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BỘI

3.1 Tính thể tích V của vật thể

Thể tích V của vật thể có đường sinh song song với Oz

và hình chiếu trên Oxy là D , hai đáy giới hạn bởi các

VD 1 Tính thể tích V của vật thể giới hạn bởi

Tiêu đề	Toán Cao Cấp A3
Tác giả	Nguyễn Phú Vinh, Đỗ Công Khanh
Người hướng dẫn	ThS. Đoà Đoàn Vương Nguyên
Trường học	Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP.HCM
Chuyên ngành	Toán cao cấp
Thể loại	tài liệu tham khảo
Năm xuất bản	2011
Thành phố	Hồ Chí Minh

Định dạng
Số trang	36
Dung lượng	1,71 MB