Toán cao cấp pot

, Chú ý: Trước khi tìm khoảng tăng, giảm của hàm số ta phải tìm miền xác định của nó trước... Chú ý: Trước khi tìm khoảng lồi, lõm của đồ thị hàm số ta phải tìm miền xác định của hàm số

3

Toán cao cấp

§1 BỔ TÚC VỀ HÀM SỐ 1.1 Định nghĩa

Cho X và Y là các tập hợp khác rỗng Một hàm số f X: Y là một quy tắc sao cho tương ứng

với mỗi phần tử x X  là một phần tử y Y

 X được gọi là miền xác định của hàm số f

 Tập hợp G f f x x  X được gọi là tập giá trị của hàm f

Ví dụ 1.1 Xét f x( )x2 Khi đó X  , Y 0; Vậy  f :0;

Ví dụ 1.2 Xét ( ) lnf x  x Khi đó X 0; , Y   Vậy f : 0;    

1.2 Hàm chẵn – Hàm lẻ

 f được gọi là hàm chẵn nếu f   x f x 

 f được gọi là hàm lẻ nếu f   x f x 

Ví dụ 1.3 Xét hàm f x x2sin5x Ta có:

f   x x   x x x f x Vậy f x  là hàm lẻ

Nhận xét:

 Đồ thị của hàm chẵn đối xứng qua trục tung

 Đồ thị của hàm lẻ đối xứng qua gốc tọa độ

Ta định nghĩa arccot :0, xác định bởi

arc cot cot

§2 GIỚI HẠN HÀM SỐ 2.1 Các định nghĩa

Số L được gọi là giới hạn của hàm f x  khi x tiến về x0 nếu f x  có thể lấy giá trị gần L một

cách tùy ý, miễn là x đủ gần x0 Khi ấy ta viết

Giới hạn tại vô cùng. Trong định nghĩa giới hạn, nếu x là  hoặc 0  thì ta có giới hạn của

Giới hạn bên phải Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm f x khi   x nếu x0 f x có  

thể lấy giá trị gần L một cách tùy ý, miễn là x đủ gần x và đồng thời lớn hơn 0 x Khi ấy ta viết 0

3

x x x

x L

x  x  ,

0

1lim

6 lim 1 1 lim 1 1 lim 1 1

4

x

x L

1lim

x

x L

lim 1

x x

x L

lim 1

x x

x x x x x

x

x L

1lim

1

x x

x x L

§3 VÔ CÙNG BÉ - VÔ CÙNG LỚN 3.1 Vô cùng bé (VCB)

Hàm  x được gọi là VCB khi x nếu x0

 k : 1  x và  x là 2 VCB tương đương, ký hiệu là  x  x

Ví dụ 3.2. Khi x  thì 1 cos x0  là VCB cùng cấp với 2

 ln 1 x  x  1n 1 x

x n

sin

x

x L

4 arcsin

x

x x x L

2 arcsin

x

x x x L

sin

x

x L

Vậy

0

32lim

x

x x

ln 1 tan 3 1 2sin 1lim

ln cos 1 2sin 1lim

12

lim

2

x

x x L

22

x

x x L

x

x x x x L

x L

2

x

x x L

§4 HÀM SỐ LIÊN TỤC 4.1 Định nghĩa

 Tổng, hiệu, tích, thương của các hàm số liên tục tại x cũng là một hàm số liên tục tại 0 x 0

 Hàm số f x liên tục trên    a b thì đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên ,  a b ,

 Hàm số f x liên tục tại   x nếu và chỉ nếu 0

Với giá trị nào của A thì f x liên tục tại   x ? 0

Giải Để f x liên tục tại   x thì 0 lim0    0

Với giá trị nào của A thì f x liên tục tại   x ? 0

Giải f x liên tục tại   x thì 0      

Với giá trị nào của A thì f x liên tục tại   x ? 1

x x

x x

Với giá trị nào của A thì f x liên tục tại   x ? 1

Giải Để f x liên tục tại   x thì 1 lim1    1

§1 ĐẠO HÀM – VI PHÂN 1.1 Định nghĩa đạo hàm

Đạo hàm của y f x  tại x , ký hiệu là 0 f x0 hay y x 0 , với

0

0 0

u



  



 arctan  2

1

u u

u



  



1.3 Đạo hàm của hàm số cho bởi phương trình tham số

Cho hàm số y f x( ) có phương trình dạng tham số ( )

Giải Ta có x t cost, 2cos ( sin ) 2 cos siny t   t  t  t t

Vậy 2 cos sin 2sin

 Công thức tính đạo hàm của hàm ẩn:

x

x y y

F

y F F

x y

  

y y

cos

1 cos

y y y

e y

1

y x

y y

Ví dụ 1.11 Tìm đạo hàm y y x  của hàm ẩn y y x  được cho bởi phương trình

21

y y

y



 

 C

1 y

y y

Giải cos ( sin )2 cos 2 sin cos 2 sin

dx dy

b.Vi phân cấp cao:

Giả sử hàm số ( )y f x có đạo hàm đến cấp n thì vi phân cấp n là:

2

1( 1)

§2 ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM 2.1 Quy tắc L’Hospital

1

x

x L

x

x x L

Cho hàm số f x khả vi trong    a b Khi đó: ,

 Nếu f x   0, x  a b, thì f x tăng trong    a b ,

 Nếu f x   0, x  a b, thì f x giảm trong    a b ,

Chú ý: Trước khi tìm khoảng tăng, giảm của hàm số ta phải tìm miền xác định của nó trước

Ví dụ 2.7. Cho hàm số lnyx x Khẳng định nào sau đây đúng? x

A y giảm trong (1; ) B y tăng trong (0; )

C y tăng trong (1; ) D y giảm trong (0; )

Ta có y lnx    Vậy y tăng trong (1;0 x 1  )

Ví dụ 2.8. Cho hàm số yln(x2 Khẳng định nào sau đây đúng? 1)

A y giảm trong (0; , tăng trong () ;0) B y luôn luôn giảm

C y tăng trong (0; , giảm trong () ;0) D y luôn luôn tăng

 Vậy y tăng trong (;0)

Ví dụ 2.9. Cho hàm số yx33x23x Khẳng định nào sau đây đúng? 1

A y giảm trong ( , tăng trong (1;;1)  ) B y luôn luôn giảm

C y tăng trong ( , giảm trong (1;;1)  ) D y luôn luôn tăng

yxe Khẳng định nào sau đây đúng?

A y tăng trong ( 1;  , giảm trong ()   B y giảm trong (0;; 1)  , tăng trong () ;0)

C y giảm trong ( 1;  , tăng trong ()   ; 1) D y tăng trong (0; , giảm trong () ;0)

y  x e        Vậy y tăng trong ( 1; x x   )

Ví dụ 2.11. Cho hàm số y x24x Khẳng định nào sau đây đúng? 3

A.y tăng trong (3;), giảm trong (;1) B.y giảm trong (3;), tăng trong (;1)

C.y tăng trong (; 2), giảm trong (2;) D y giảm trong (;2), tăng trong (2;)

Giải. Điều kiện: x24x     3 0 x 1 x 3 Do đó ta có miền xác định: (D  ;1] [3; )

   Khẳng định nào sau đây đúng?

A.y tăng trong (2;), giảm trong các khoảng (;0) và (0, 2)

B.y giảm trong (2;), tăng trong các khoảng (;0) và (0, 2)

C.y giảm trong (;2), tăng trong (2;)

D.y tăng trong (; 2), giảm trong (2;)

Giải. Miền xác định: D \{0}

 Nếu f( ) 0x  với mọi x( , )a b thì đồ thị hàm số y f x( ) lõm trong khoảng ( , )a b

 Nếu f( ) 0x  với mọi x( , )a b thì đồ thị hàm số y f x( ) lồi trong khoảng ( , )a b

Chú ý: Trước khi tìm khoảng lồi, lõm của đồ thị hàm số ta phải tìm miền xác định của hàm số trước

Ví dụ 2.13. Cho hàm số y2 lnx Đồ thị của hàm số này x2

A.lồi trong (1,), lõm trong (0,1) B.luôn luôn lồi trong miền xác định

C.luôn luôn lõm trong miền xác định D.lõm trong (1,), lồi trong (0,1)

  Vậy đồ thị của hàm số này luôn luôn lồi trong miền xác định

Ví dụ 2.14. Cho hàm số y x28lnx Đồ thị của hàm số này

A.lồi trong (0; 2), lõm trong (2;) B.luôn luôn lồi trong miền xác định

C.luôn luôn lõm trong miền xác định D.lõm trong (0; 2), lồi trong (2;)

Ví dụ 2.15. Cho hàm số y xlnxx Đồ thị của hàm số này

A.lồi khi x , lõm khi 0 x 0 B.luôn luôn lồi trong miền xác định

C.luôn luôn lõm trong miền xác định D.lõm khi x , lồi khi 0 x 0

A.lồi khi x , lõm khi 0 x 0 B lõm khi x  , lồi khi 1 x  1

C lõm khi x , lồi khi 0 x D 0 lồi khi x  , lõm khi 1 x  1

Giải. Miền xác định: D 

Chú ý: Trước khi tìm khoảng cực trị của hàm số ta phải tìm miền xác định của nó trước

Ví dụ 2.17. Cho hàm số y2 ln(1 4 ) arctan 2 x2  x Khẳng định nào sau đây đúng?

x

Ví dụ 2.20. Cho hàm số y3x2sin2x Khẳng định nào sau đây đúng?

A y không có cực đại và cực tiểu B y đạt cực tiểu tại 3

x

y  x x Khẳng định nào sau đây đúng?

A.y có 3 cực trị

B.đồ thị hàm số luôn luôn lồi

C y tăng trong (3; ), giảm trong (0;3)

D y tăng trong các khoảng (  và (3;; 2)  , giảm trong ( 2;3)) 

ye  Khẳng định nào sau đây đúng?

A y tăng trong (2; , giảm trong ()   ; 2) B y luôn luôn tăng trong 34;

C y đạt cực tiểu tại x 0 D y đạt cực đại tại x 0

Giải. Điều kiện: x3   4 0 x 34 Do đó ta có miền xác định: D34;

Vậy y luôn luôn tăng trong 34;

Ví dụ 2.23. Cho hàm số y xlnx Khẳng định nào sau đây đúng?

A.đồ thị hàm số luôn luôn lồi B.y đạt cực đại tại x 1



Ví dụ 2.24. Cho hàm số yln(1 9 ) 6arctan 3 x2  x Khẳng định nào sau đây đúng?

A y giảm trong (1; ) B y đạt cực tiểu tại x 1

C y luôn luôn tăng vì y  với mọi x 0 D y đạt cực đại tại x 1

b Phương pháp tìm GTLN – GTNN của hàm số liên tục trên đoạn [ , ]a b :

Cho hàm số y f x( ) liên tục trên đoạn [ , ]a b Để tìm

 Giải phương trình ( ) 0f x  Giả sử có n nghiệm x , …, 1 x n[ , ]a b (loại các nghiệm ngoài

y    , y e( ) elne e Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là M  0

Ví dụ 2.26. Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số yln(x2 trên 1) [ 1; 2]

2.6 Công thức khai triển Maclaurin

Cho hàm ( )f x liên tục trên [ , ] a b và có đạo hàm đến cấp n trên ( , )1 a b Khi đó với x thuộc

( , )a b ta có:

( ) 2

3 3

3 3

Ví dụ 2.34. Viết khai triển Maclaurin của hàm số 1

9

2in3x x x  x

C.s 3 9 3 0( )3

2

2in3x  x x  x

§1 TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH Định nghĩa Hàm F x được gọi là một nguyên hàm của ( )( ) f x trên khoảng ( , ) a b nếu

Phương pháp đổi biến số

Xét tích phân If x dx( ) Để tính tích phân này, ta có thể chuyển sang tính tích phân khác theo cách đổi biến sau:

Đặt t( )x suy ra dt( )x dx Biến đổi ( )Ig t dt Khi phép đổi biến phù hợp thì tích phân

tính theo biến t sẽ đơn giản hơn

( )( )

( )( )

 P x( )sin(ax b dx ) hoặc ( ) cos(P x ax b dx ) hoặc ( )P x e ax b dx: Ta đặt

( )sin( ) hay cos( ) hay ax b

A.I  xsinxcosx C B I xsinxcosx C

C I xcosxsinx C D I xcosxsinx C

Ví dụ 1.13. Tính tích phân I 3 lnx2 xdx

(ln )3

§2 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Định nghĩa. Cho ( )f x là hàm số xác định, liên tục trên đoạn [ , ] a b Khi đó tích phân xác định của

( )

f x trên đoạn [ , ] a b là:

( )

b a

I  f x dx

Trong đó: a là cận dưới của tích phân, b là cận trên của tích phân

Công thức Newton – Leibnitz: Cho f x( ) là một hàm liên tục trên đoạn [ , ]a b F x( ) là một nguyên hàm của f x( ) Khi đó:

b

b a a

If x dxF x F b F a Công thức Newton – Leibnitz cho phép tính tích phân xác định thông qua nguyên hàm của hàm số

Chú ý. Về cơ bản, giống như tích phân bất định, tích phân xác định cũng có 2 cách tính: phương pháp đổi biến số và phương pháp tích phân từng phần

Ví dụ 2.1. Tính tích phân

2 2

ln

e e

dx I

31

21

x y

2 Tính thể tích vật thể tròn xoay quay quanh Ox

Thể tích V của vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường ( ) y f x , 0y  , x a ,

x  quay quanh Ox là: b

2

[ ( )]

b a

§4 TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI 1

b b

dx I

dx I

Ví dụ 4.8. Tính tích phân

ln

e

dx I

A I , J cùng phân kỳ B I hội tụ, J phân kỳ

C.I , J cùng hội tụ D.I phân kỳ, J hội tụ

 hội tụ khi và chỉ khi

A. 3 B.Không có giá trị nào của 

Ví dụ 4.19. Tích phân suy rộng

2 3 3

 hội tụ khi và chỉ khi

A.  3 B.Không có giá trị nào của 

ln 2

sin( 1)

xdx I

2

cos( 1)

xdx J

A.I , J cùng phân kỳ B.I hội tụ, J phân kỳ

C.I , J cùng hội tụ D.I phân kỳ, J hội tụ

§5 TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI 2

0 ln

dx I

ln

dx I

xdx I

1 ( 1)

dx I

2 Các tiêu chuẩn hội tụ

Đối với tích phân suy rộng loại 2, các tiêu chuẩn hội tụ được phát biểu tương tự như tích phân suy rộng loại 1

A.I , J cùng phân kỳ B.I hội tụ, J phân kỳ

C I , J cùng hội tụ D I phân kỳ, J hội tụ

Ví dụ 5.12* Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng

2 1

(2 sin )( 1)

x dx I

x



A.I , J cùng phân kỳ B.I hội tụ, J phân kỳ

C.I , J cùng hội tụ D.I phân kỳ, J hội tụ

  Khẳng định nào sau đây đúng?

A.các khẳng định trên đều sai B.AB xác định nhưng BA không xác định

  Khẳng định nào sau đây đúng?

A BA xác định nhưng AB không xác định B AB xác định nhưng BA không xác định

Khẳng định nào sau đây đúng?

A.BA xác định nhưng AB không xác định B.AB xác định nhưng BA không xác định

C.AB và BA đều xác định D.AB và BA đều không xác định

Ví dụ* Cho A là ma trận vuông cấp 5, trong đó phần tử ở dòng i cột j là i Phần tử ở dòng 1 cột

  Xác định m để   0

  Xác định m để   0

Ví dụ* Tìm số nghiệm phân biệt r của phương trình

x y z  

D.x  2 , y2, z ; 

Ví dụ Tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính

 Khẳng định nào sau đây đúng?

A.Hệ vô nghiệm khi và chỉ khi m  1 B.Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi m 1

C.Hệ có nghiệm với mọi m D.Hệ có nghiệm khi và chỉ khi m  1

§4 KHÔNG GIAN VECTOR

Ví dụ Tìm m để các vector sau tạo thành một cơ sở của  : ( ;1;1)3 u m , (1; ;1)v m , (1;1; )w m

 Merge multiple PDF files into one

 Select page range of PDF to merge

 Select specific page(s) to merge

 Extract page(s) from different PDF files and merge into one

AnyBizSoft

 Merge multiple PDF files into one

 Select page range of PDF to merge

 Select specific page(s) to merge

 Extract page(s) from different PDF

AnyBizSoft