Đề thi số 3 môn toán cao cấp A1 pot

Giải hệ pt bằng phương pháp TR, VTR hoặc khử... Nghiệm là X=PYCâu III... Bảng giá trị:Câu VII.

ĐỀ SỐ 3 Câu I Giải phương trình ' 2 2 x

x

Đây là pt vi phân tuyến tính cấp 1

C e x

C dx e

e x e

C dx e

e x e

y

x

x x x

dx x x dx

x





































2

ln 2 2 ln 2

2 2 2

Câu II. Giải hệ pt bằng phương pháp TR, VTR hoặc khử

















) 2 ( 3 )

( '

) 1 ( 3

5 ) ( '

2 1

2

2 2 1

1

x x

t x

e x x

t

Lấy pt (1) + pt (2)

t

e x x

1

' 2 1 '   4  (*) Đạo hàm 2 vế pt (2) ta được:

"

2

' 2

'

x x

2 2

' 2

"

2

'

t t

t

t xe e

C e

C x

e x

x x

2 2

2 6

1 2

2 2

' 2

"

2

2 1 12

8



















Thay vào pt (2) ta được:

t t

t

t C e e xe e

C

2

6 1 1

2

7









Câu III Tính giới hạn

0

1 tan 1 tan lim

x

x



0

1 tan 1 tan lim

x

x



tan 2 tan

1 tan

1

tan 1 tan 1 tan

1 tan

1

lim lim



























x x

x x

x x

x

x x

x x

x

Câu IV Tính tích phân

1/ 4 1/ 2 2 1

dx I

x x





 











t

dx tdt 



x

2

1



4

1



2 1

( )

p x dx p x dx

 

2

1 1 2

1 1 ln

) 1 )(

1 (

) 1 ( ) 1 ( )

1 )(

1 (

2 1

2

2 1

2

1

0

2 1 0

2 1

0

2 1

0

2 1

0 2 2

1

0 2

1 ln 1

ln









































t t

t t

dt t t

t t

dt t

dt t

t

tdt I

Câu V Tính tích phân suy rộng 2

2 ln

dx I



2 ln

1 ln

1 2

ln

1 ln

) (ln

lim ln

1

2 2















x

Câu VI Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ylnx x 1

Tập xd: x>0

     





1 ln

lim

0

x

x

x

=> tiệm cận đứng x=0

     





1 ln

lim x x

x

=> không có tiệm cận ngang

1 0

'

1 1 1

'

















x y

x

x x

y

Bảng biến thên:

0 1

x

điểm uốn

Bảng giá trị:

y

2

1 2

1

ln  ln 2 1

Đồ thị:

Câu VII Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi

2

2

1

;

x

x

Pt hoành độ giao điểm: 2

2

1

1

x





1

0 2 2 4















x

x x

Diện tích miền phẳng:











1 1

2

1

1

dx

x x

S D

Vì

2

2

x

1

1

x

y



 không cắt nhau trong khoảng (-1;1) nên:

3

1 2

3 2

1

1

6 ) arctan(

1

1

1 1

2











































x x

dx

x x

S D

ĐỀ SỐ 5

Câu I. Giải phương trình y’ = y x sin x

x  với điều kiện y( )= 2 .

Đây là pt vi phân tuyến tính cấp 1:











 y e p(x)dx q(x)e p(x)dx dx C

 

C x x C x x

y

C dx x x x e

y

C dx e

x x e

y

x

dx x dx

x



















































cos )

cos (

1 sin

sin ln

Ta có: y()  2







4

2 2













C

C

Vậy nghiệm của pt là: y  xcos x 4 

Câu II. Giải hệ pt bằng phương pháp TR, VTR hoặc khử

'

'

t





















t x x

t x

e x x t

3 2

) (

2 3 ) (

2 1

' 2

2 1

' 1

) 2 (

) 1 (













 2 1

2 3













t

e F

t

3

Phương trình đặc trưng:









































4 1

0 4 5

0 2 ) 2 )(

3 (

0 2

1

2 3

0

2

















I A

1 1

2 2

2

1



























x x







 





1

1

1

E













 1

2

4

E











 



1 1

2 1









 



























1 1

2 1 3

1 1 1

2 1 3

1

1

P









 4 0

0 1

D

Đặt Y = P-1X

F P DY

































 













































t

e y

y y

3 1 1

2 1 3

1 4

0

0 1

2

1 '

2

' 1





















t e y y

t e y

y

t t

3 4

2 3

1

2 '

2 1 ' 1





















    





 

























2 3 3

4 2

1 1

2 3

3 4

2

1 1

2 4

4 2

9 2 3

3 2

2 3 3 2

3

C e

te e

y

C t e te

e y

C dt e t e

e y

C dt e

t e

y

C dt e

t e e

y

t t

t

t t

t

t t t

t t

d t t

d t

Vậy nghiệm của pt là X=PY

Câu III. Tính

1

0

(1 )

x

L

x



 

2 2

1 1ln(1 )

2 1

(1 )

1 2

1 2

x

x

x o x

x

e



 



Câu IV Tính tích phân

2

2

dx I



  Đặt

x

t

dx t

x1 21



y

1

2 1

 

4

1 arcsin 2

1 2

3 2

1 1 2 3

1

2

1 arcsin

1

2 1

1

2 1

1

2

2 2

1

1

2 2



































t

t

dt t

t t t

dt t

t

dt t

t I

Câu V Chứng minh rằng tích phân suy rộng 



1 x

dx

e x

phân kì Tính

1

lim

x t

x

x

e dt

t

J

e

 



 .

Ta có:

x x

e x 1

 >0 x  1



1 x

dx

phân kì nên 



1 x

dx

e x

phân kì theo tiêu chuẩn so sánh 1

lim













x x

x x

x t

x e

e

dt t

e J

Câu VI Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y e 4x x 2

TXĐ: R

2 0

'

) 4 2 (













x y

e x



























0

0

2 2

4 4

lim

lim

x x x

x x x

e

e

=> tiệm cận ngang là y=0 Tiệm cận xiên:



























) 4 2 ( )

lim lim

limx f x x x e xxx x x e x x

=> không có tiệm cận xiên

Bảng biến thiên:

Bảng giá trị:

Câu VII Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi 2 2

y x y  x Phương trình hoành độ giao điểm: 2 2

4

3x   x

4 3













x

x x

Diện tích miền phẳng cần tìm:

dx x x

S D 









1

1

2

4

3x

y  và y 4  x2 không cắt nhau trong khoảng (-1;1) nên ta có:

1

1 1

2 1

3

2 3 4

3

3 3

D

x dx

x





  



1

2 1

4



Đặt x = 2sint

3

2 2

cos 2 2 cos

4

cos 2

2 sin

6 6

6

1 sin

1 sin

2



































t t

dt t tdt

J

tdt dx

Vậy

3

3 3

2



 

D

S

ĐỀ SỐ 7 Câu I. Giải phương trình

a/ y’=

x

y

+3xex

Đây là pt tuyến tính cấp 1:

C e x y

C dx x xe x y

C dx e

xe e

y

x x

dx x x dx

x

















































3

1 3

3

1 1

b/(3x2+y3+4x)dx+3xy2dy=0

y

P x

Q













Đây là pt vi phân toàn phần:

 nghiệm tổng quát u(x,y) = C



2 3

3 0 0

3

3 ( ) ,

Câu II. Giải hệ pt bằng phương pháp TR, VTR hoặc khử

' 2







A  



2

3t

t t F

e

  

Pt đặc trưng:

2

0

0

2

1

A I









 







2

0

x x



 



1

1

1

E  

 

2

0

x x



 



2

3

2

E  

 

1

1 0

0 2

D 

Đặt Y = P-1X

=> Y’=DY + P-1F

1 1

2 2

y

y



2( ) 3 t

t





   















Nghiệm là X=PY

Câu III Tính giới hạn

x x

x 1/

4

/ 1 0

) 4 1 (













0

1 1

1 lim ln 1 4 ln 4

0

1 4

x

x

x x

x

e e



 





0

2

x x



 

0

1

x



Câu IV Tính tích phân

0

3

2( 1) 1

dx I



 

Đặt t  3 x 1  t3 x 1

dx dt

 3 2

6

1

1

1

3

2









dt t I

Câu V Tính tích phân suy rộng sau 









1

2 2

) 1 )(

1 (

3

x x x

x

2

   

2

2 2

1 1

1 1

1

2 3

2 3

3

3ln ln 1

1

ln ln 1 2arctan

x

dx

x

x

x x



 









 

Câu VI Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y| | 1x  x2

Tập xác định: -1<x<1

Ta có: y x( )  x 1  x2 y x 

=> y là hàm chẵn => đồ thị đối xứng qua Oy

Xét 0<x<1:

2

1

y x  x

2

2 2

2

1

1 2

1

1 ' 0

2

x

x x

x









Bảng biến thiên:

x

2

Câu VII Tính độ dài cung

2

ln

1 '

4

y x

x

 

Độ dài cung C :

 

3

2 1

2

2

2

3

1

2

4 ln 3

1 ln

2 4

x

dx

x

x

x





ĐỀ SỐ 9 Câu I Giải các phương trình

2

2 3



 x dy dx

y

, y(4)=2 Chia 2 vế cho y3x2 ta được:

2 3

2 3

0 2

2

dx dy

dx dy

Tích phân 2 vế ta được:

2 3

2 2

2





Theo đề bài ta có: 3.4-2.2=C

 C = 8 Vậy nghiệm của pt là: 3y2 2x 8 0

x

Đây là pt vi phân tuyến tính cấp 1:

4

4

cos cos

.sin







Câu II Giải phương trình vi phân: y’’+2y’-3y= (6x + 1)e3x

Phương trình đặc trưng:

3

k

k







3

0 1 x 2 x

y C e C e

( )

s x

y x e Q x



Vì α = 3 không là nghiệm của pt nên s = 0

3

3

x r

r

r

Thế vào pt ta được:

9e x Ax B 6Ae x2 3 e x Ax B Ae x 3e x Ax B  6x1 e x

1 2 1 2

A B







 



 



Vậy nghiệm của pt là:

0

3 3

r

Câu III Tính giới hạn

3 7

( 1) ( 2) ( 4) lim

( 5)

x x

x



 

x

 

lim

1

x

x

x

 

 





Câu IV. Tính tích phân:

   

2

dx I





cos 2sin

2sin cos 4 cos sin sin 2

   

2

sin 2

2





Câu V. Tính tích phân suy rộng 4 2

80

1 1

x x





Đặt t4 x2 1 t4 x21

3

2xdx 4t dt

     

3 3

3

3

1

arctan 3

arctan 3 2

1ln1 arctan 3

arctan

ln

dt

dt

t

t t















    

Câu VI Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y31 x3

TXĐ: R

  2

21 3 3

3 ' 0

y



lim 1 lim 1

x

x

x x

 

  









 không có tiệm cận ngang Tiệm cận xiên:

2

3

1

1 lim

1

0

x

a

x

 





Vậy tiệm cận xiên là y = -x Bảng biến thiên:

-

Bảng giá trị:

Câu VII Tính độ dài cung yln , 2 2x  x 2 6

 2 12

x

Độ dài cung C:



Đặt t x2 1 t2 x21

tdt xdt

5 5

3

3

1 1

1

ln

t dt

dt

t t

t







ĐỀ SỐ 19.

Câu I Giải phương trình y' y tan x y  2cos x  0

Chia 2 vế cho y2 pt trở thành:

2 2

' tan

cos

x

Đây là pt Bernouli

Đặt u 1 u' 12 y'



Thế vào pt (*) : u u' tanxcosx (pt vi phân tuyến tính)

cos tan









Đặt t = cosx dt sinxdx

ln ln cos

dt

t



cos cos

1 cos 2 cos

2

x



Vậy nghiệm của pt là: 1 cos 1 1sin 2

y

Câu II. Giải hệ pt bằng phương pháp TR, VTR hoặc khử

t t





Lấy 4 lần pt (1) + pt (2) ta được:

Đạo hàm pt (1) ta được:

Thế vào pt (*) ta có:

1 11 1 30 1 2 t 3 t

6

44

t



13

44

0

lim

arctan

x

I



2 0

3

arctan lim

arctan

( )

3

x

I







   

Câu IV Tìm  để tích phân

  1

4

5

x 









 

Xét  0 : Khi x  

  1 2 1

f

x

x    



Tích phân hội tụ

So với dk ta được α > 2

 Xét  0 :

Khi x  

1

4 5

x

f    Phân kì theo so sánh 2

 Xét  0:

Khi x  

1

4 6

x

f   Phân kì theo so sánh 2 Vậy I hội tụ khi α > 2

Câu V Tính tích phân

4 1

1(1 ) 1

x dx I



 

4 1

0

2 (1 ) 1

x dx I

 

Đặt xsint dxcostdt

 

4 2

2 0

4

2

2

2

2

0

sin cos 2

1

2

1 sin 2 2

t tdt I

t

t

J K













 



2

cos

t



2

2

2

0

1 tan

cos 1

1 2

1

2 2

2 2

2 arctan 2 2

t

K



I = J + 2K  2 1

2



Câu VI Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

2

y

x

+

-=

1 1 2

x x

 

 Tập xác định: x 2

2

' 1

y

' 0

1 3

y x x







  



2 2

1 lim

2

x

x x x

 

 

 



=> tiệm cận đứng là x = - 2 1

2

x x 



=> tiệm cận xiên là y = x - 1 Bảng biến thiên:

-1 Bảng giá trị:

x

2

2



0

2

2

2

2



Câu VII Tính diện tích bề mặt tròn xoay tạo của vật thể tròn xoay tạo nên khi quay

miền phẳng giới hạn bởi y x21;0 x 1/ 4;y quanh trục Ox.0

2

' 1

x y

x



 Diện tích cần tìm là:

2 4

2

2 0

1

2 4

2

2 0

1

4

2 0

1

1

Ox

x

x

x

x

x dx

















Đặt t 2x 2x21

2

2 2 2 2

1

2 2

8

8

t

x

t

t t

t





2 1

2 1

3 1

2

3 1

2

1

8

2 2

2

2

16

4

2

2

2 4

1 2ln

Ox

t t

dt

dt t

t t

t

t t





















