Đại học quốc gia hà nội
Tr ờng đại học ngoại ngữ
cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam
Độc Lập -Tự Do -Hạnh Phúc
Kì thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên ngoại ngữ năm 2010
Đề Môn Thi : Toán
Thời gian làm bài 120 phút( không kể thời gian phát đề)
Ngày thi 06-06-2010 Đề thi gồm 01 trang
( Chú ý: Thí sinh không đợc sử dụng bất kỳ tài liệu nào ,CBCT không giải thích gì thêm)
Câu 1: (2điểm)
Cho biểu thức
x x x
x x
x x
x
3
1 :
9
2
1) Tìm điều kiện của x để P có nghĩa và rút gọn P
2) Tìm giá trị x để
3
4
P
Câu 2 : ( 2 điểm)
1) Tìm các số nguyên x, y thoả mãn đẳng thức : x2 + 4x +1 =y4
2) Giải hệ phơng trình :
1 ) ( 3
3
3
2 2
x y x
y xy x
Câu 3: ( 2 điểm)
Cho phơng trình ẩn x : (m-10)x2 +2(m-10)x + 2 =0
1)Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 2) Chứng minh rằng khi đó 2 4
2 1 2
2 1
3 2
3
1 x x x x x
x
Câu 4:(3 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC ( AB <AC) Vẽ đờng cao AD và đờng phân giác trong
AO của tam giác ABC ( D , O thuộc BC) Vẽ đờng tròn tâm O tiếp xúc với AB, AC tại
M , N
1) Chứng minh các điểm M , N, O, D , A cùng thuộc một đờng tròn
2) Chứng minh gócBDM = gócCDN 3) Qua O kẻ đờng thẳng vuông góc với BC cắt MN tại I Đờng thẳng AI cắt BC tại K Chứng minh K là trung điểm cạnh BC
Câu 5: ( 1 điểm)
Cho a , b , c là các số dơng thoả mãn điều kiện : a + b+c +ab +bc+ ca=6 Chứng minh rằng: 3 3 3 a2 b2 c2 3
a
c c
b b a
-Hết -Họ và tên thí sinh Số báo danh Phòng thi
Hớng dẫn giải đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên ngoại ngữ năm 2010
Câu 1: (2điểm)
Cho biểu thức
x x x
x x
x x
x
3
1 :
9
2
2) Tìm điều kiện của x để P có nghĩa và rút gọn P
2) Tìm giá trị x để
3
4
P
Hớng dẫn
1) ĐKXĐ x 0 ;x 9;x 25
Đề chính thức
Trang 25 5
) 3 ( ) 3 )(
3
(
) 3
(
) 3 (
) 3 ( 2 ) 1 ( : ) 3 )(
3
(
2 ) 3
(
x
x x
x x x x
x x
P
x x
x x
x x
x x x
P
2)
DK x
x x
x x
x x
x x
x P
4 0
) 10 3
)(
2
(
0 20 10
6 3 0 20 4
3 3
4 5 3
4
Câu 2 : ( 2 điểm)
3) Tìm các số nguyên x, y thoả mãn đẳng thức : x2 + 4x +1 =y4
4) Giải hệ phơng trình :
1 ) (
3
3
2
2 2
x y x
y xy x
Hớng dẫn
1) x2 + 4x +1 =y4 (x+2)2-y4=3 (x-y2+2)(x+y2+2)=3
1 1 1 1
1 2 3 2 3 2 1 2
2 2
hoacy y hoacy y
y
x
y
x
y
x
y
x
Phơng trình có 4 nghiệm (x;y) = ( 0;1) ;(0;-1) ; ( -4; 1) ; (-4;-1)
2)
1 1 0 ) 2 )(
1 ( 1 0 1
3
1
1 1 ) )(
(
3 1
)
(
3
3
2
2
2
3 3 3 2 2 2 2
3
2 2
3
2
2
y y x x x
x
y
xy
x
x y x y xy x x y xy x
x
y xy
x
x
x
y
xy
x
Hệ có 3 nghiệm (x;y) = (1;1) (-1; -1) ;( -2;1)
Câu 3: ( 2 điểm)
Cho phơng trình ẩn x : (m-10)x2+2(m-10)x + 2 =0
1)Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2
2) Chứng minh rằng khi đó 2 4
2 1 2
2 1
3 2
3
1 x x x x x
x
Hớng dẫn
1) Để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt thì
0 10 /
m
10
12
1 ) 11 (
:
; 1 ) 11 (
0 1 ) 11 (
0
1 ) 11 (
1 ) 1 10 (
10 2
) 10
(
2 /
2 2
2 /
m
m
m Hoac m
m
m m
m m
2) với ĐK trên theo Viét ta có
10 2
2
.
1
2
1
m
x
x
x
x
2 1 2
2 1
3 2
3
1 x x x x x
x
12 :
; 10 0
10
4 48 0 4 10
8 88
4
10
8 88 10
8 8 ) (
2 )
(
) (
) (
3 ) (
2 1 2 1
3
2
1
2 1 2 1 2 1 2 1
3 2 1
2 2 1 2
2 1
3
2
3
1
m hoac m
m
m m
m Q
m
m m
x x x x x
x
Q
x x x x x x x x x
x x x x x
x
x
Q
Thoả mãn điều kiện
0 10 /
m
Câu 4:(3 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC ( AB <AC) Vẽ đờng cao AD và đờng phân giác trong
AO của tam giác ABC ( D , O thuộc BC) Vẽ đờng tròn tâm O tiếp xúc với AB, AC tại
M , N
4) Chứng minh các điểm M , N, O, D , A cùng thuộc một đờng tròn
5) Chứng minh gócBDM = gócCDN
6) Qua O kẻ đờng thẳng vuông góc với BC cắt MN tại I Đờng thẳng AI cắt BC tại K Chứng minh K là trung điểm cạnh BC
Trang 3P Q
K
I
N
M
O D
B
A
C
1) ta có AMO=ADO=ANO=900 nên 5 điểm A, M.D, O, N thuộc đờng tròn Tâm O/ đờng kính AO
2) Ta có ADB=ADC=900 (1) mà ADM=ADN (2) ( góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau)
từ (1);(2) ta có ĐPCM
3)Qua I ta kẻ đờng thẳng //BC cắt AB,AC tại P;Q ta có tứ giác OMPI; OQNI nội tiếp nên
POI=PMI; QOI=INA mà PMI=INA (do tam giác AMN cân tại A) Nên POI=QOI xét tam giác POQ có OI vừa là đờng cao vừa là pân giác nên
IP=IQ áp dụng hệ quả Ta-lét cho 2 tam giác ABK và ACK có PQ//BC
Ta có BK CK (dpcm)
IQ
CK OI
OA IP
BK
Câu 5: ( 1 điểm)
Cho a , b , c là các số dơng thoả mãn điều kiện : a + b+c +ab +bc+ ca=6
Chứng minh rằng: 3 3 3 2 2 2 3
a
c c
b b a
Hớng dẫn
áp dụng BBĐT x2 y2 2xy
dấu “= “ xảy ra khi x=y
Ta có a2 b2 2ab;c2 b2 2cb;c2 a2 2ca;c2 1 2c;a2 1 2a;b2 1 2b
Nên 3 ( 2 2 2 ) 3 2 ( ) 12 2 2 2 3
Dấu “ =” xảy ra khi a=b=c=1
Mặt khác
; 2
; 2
;
3
c ac a
c b bc c
b a
ab
b
a
Trang 4T có (ab bc ca) 2 (a2 b2 c2 )
a
c c
b
b
a
Mà a2b2c2abbcca nên
) (
2 )
3 3 3 2 2 2 3
3
3
c b a ca bc ab a
c c
b b
a c b a a
c
c
b
b
a
Nên 3 3 3 a2 b2 c2 (**)
a
c c
b
b
a
Từ (*) và (**) ta có ĐPCM
Ng ời gửi Nguyễn Minh Sang GV tr ờng THCS Lâm Thao –Phú Thọ
DD : 0917370141 gmail: minhsang5260@gmail.com.vn Mong muốn đ ợc trao đổi đề thi và đáp án đề thi HSG lớp 9 và đề thi vào
PTTH chuyên với các bạn đồng nghiệp