HỆ PHƯƠNG TRÌNH CĂN THỨC, MŨ, LÔGARITPhương pháp giải: Phương pháp chung thường hay được sử dụng là: Biến đổi với các tính chất tương ứng, sau đó dưa về hệ phương trình đại số có thể phả
Trang 1HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG
Kiến thức cần nhớ:
1) Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
2) Hệ phương trình đối xứng loại 1:
- Dạng:
=
=
0 ) y , x ( g
0 ) y , x (
trong đó f(x , y) và g(x , y) là biểu thức đối xứng theo x và y
- Cách giải: Dùng ẩn phụ S = x + y, P = xy (điều kiện: S2 - 4P ≥0)
- Chú ý: + Đôi khi phải sử dụng ẩn phụ trước khi tiến hành đặt S, P
+ Do tính đối xứng nên nếu (x , y) là nghiệm thì (y , x) cũng là nghiệm
3) Hệ phương trình đối xứng loại 2:
- Dạng:
=
=
0 ) x , y (
0 ) y , x (
(hoán vị vai trò của x và y thì phương trình này thành phương trình kia)
- Cách giải: + Trừ vế theo vế ta được một phương trình có thể phân tích thành (x - y)g(x,y) = 0
0 ) y , x (
0 ) y , x ( g ) ( 0 ) y , x (
0 y x
=
=
∨
=
=
−
- Lưu ý: (II) tương đương với
= +
=
0 ) x , y ( ) y , x (
0 ) y , x ( g
(Hệ đối xứng loại 1)
Bài tập:
Bài 1: Giải hệ phương trình:
a)
= +
= +
35 y x
30 xy y x
3 3
2 2
b)
= +
−
= +
13 y y x x
5 y x
4 2 2 4
2 2
c)
= + + +
= + + +
9 y
1 x
1 y x
5 y
1 x
1 y x
2 2 2 2
d)
= +
= +
5 y x
6
13 x
y y
x
e)
= + +
= + +
37 y xy x
481 y
y x x
2 2
4 2 2 4
f)
= +
+
= + +
49 ) y x
1 1 )(
y x (
5 ) xy
1 1 )(
y x (
2 2 2
2
Bài 2: a) Chứng minh rằng với mọi m, hệ phương trình sau luôn có nghiệm:
+
= +
+
= + +
m m xy y x
1 m 2 y xy x
2 2 2
b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất
Bài 3: Tìm a để hệ phương trình sau có đúng hai nghiệm phân biệt:
= +
+
= +
4 ) y x (
) a 1 ( 2 y x
2
2 2
Bài 4: Cho hệ phương trình:
= +
−
= +
m y x
m 6 y
a) Giải hệ khi m = 1
b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm
Bài 5: Cho hệ phương trình:
+
= +
−
−
= +
1 m y x
3 m m 2 x y y
a) Giải hệ phương trình khi m = 3
b) Chứng minh rằng với mọi m, hệ phương trình luôn có nghiệm
Bài 6: Cho hệ phương trình:
= + +
= + + +
m ) 1 y )(
1 x ( xy
8 y x y
a) Giải hệ khi m = 12
b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm
Trang 2Bài 7: Giải các hệ phương trình:
a)
+
=
+
=
x y y
y 2 x x
2
2
b)
+
=
−
+
=
−
x y 2 x 2 y
y x 2 y x
2 2
2 2
c)
= +
= +
y
3 x
1 y
x
3 y
1 x
d)
+
=
+
=
x 8 y 3 y
y x x
3
3
e)
=
−
=
−
y
x 4 x y
x
y 4 y x
Bài 8: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:
−
= +
−
= +
) 1 x ( m y xy
) 1 y ( m x xy
2 2
Bài 9: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:
+
−
=
+
−
=
my y 4 y x
mx x 4 x y
2 3 2
2 3 2
HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP
Kiến thức cần nhớ:
- Dạng:
=
=
0 ) y , x ( g
0 ) y , x (
trong đó f(x , y) và g(x , y) là biểu thức đẳng cấp cùng bậc (tổng số mũ của x và
y trong cùng một hạng tử bằng nhau)
- Cách giải: + Giải hệ với x = 0 (hoặc y = 0)
+ Với x khác 0 (hoặc y khác 0), đặt y = tx (hoặc x = tx)
Ta được hệ phương trình 2 ẩn x và t
+ Khử x, ta được phương trình 1 ẩn t
Bài tập:
Bài 1: Giải hệ phương trình:
a)
=
−
=
−
2 ) y x ( xy
7 y
x3 3
b)
= +
=
−
y 10 ) y x ( x
x ) y x ( y
2 2
2 2
c)
= +
−
−
= +
−
13 y xy x
1 y xy 3 x
2 2
2 2
d)
=
−
−
= +
−
0 y xy 7 x
0 y 4 xy 8 x
2 2
2 2
Bài 2: Cho hệ phương trình:
=
−
= +
−
4 xy 3 y
a y xy 4 x
2
2 2
a) Giải hệ khi a = 4
b) Chứng minh hệ luôn có nghiệm với mọi a
Bài 3: Cho hệ phương trình:
+
= + +
= + +
m 17 y xy 2 x
11 y xy 2 x
2 2
2 2
a) Giải hệ phương trình với m = 0
b) Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm
Trang 3HỆ PHƯƠNG TRÌNH CĂN THỨC, MŨ, LÔGARIT
Phương pháp giải:
Phương pháp chung thường hay được sử dụng là: Biến đổi với các tính chất tương ứng, sau đó dưa về
hệ phương trình đại số (có thể phải qua bước dùng ẩn phụ)
Để ý: Trong hai phương trình của một hệ thường có một phương trình có thể giúp chúng ta rút được một ẩn theo ẩn kia để thế vào phương trình còn lại
Bài tập:
Bài 1: Giải các hệ phương trình:
a)
= +
=
−
2 ) y x ( log
1152 2
3 5
y x
b)
= +
= +
3 ) x 14 y 11 ( log
3 ) y 14 x 11 ( log
y
x
c)
=
= +
9 xy
3
4 y
1 x 1
d)
= +
= +
2 ) x 2 y 3 ( log
2 ) y 2 x ( log
y
x
e)
= +
=
3 2 2
y log xy log
y x
x y
g)
=
−
= +
1 x log y log
27 y
2 x
3 3
x log y
h)
= + +
−
= +
y 2 2
2 4
y 4 y 5 2 x
1 x x
2 x
(D-2002) i)
= + +
= + +
+
4 ) x 5 y 3 ( log )
y 5 x ( log
4 ) x 5 y 3 ( log ) y 5 x ( log
y x
y x
Bài 2: Giải các hệ phương trình: a)
= +
=
−
−
25 y x
1 y
1 log ) x y ( log
2 2
4 4
1
(A-2004)
b)
=
−
=
− +
−
3 y log ) x 9 ( log 3
1 y 2 1 x
3 3
2 9
(B-2005)
Bài 3: Giai hệ phương trình:
= +
= +
35 y y x x
30 x y y x
Bài 4: Giải các hệ phương trình:
a)
+ +
= +
+
=
6 y 3 x 3 y x
) xy ( 2 3 9
2 2
3 log )
xy (
(Cao đẳng M-T2004 - Đại học Hùng Vương 2004)
Bài 5: Giải hệ phương trình:
a)
−
= +
=
4 y
x 2 x
y 3 x
9 9 3
b)
=
=
18 3 2
12 3 2
x y
y x
c)
=
=
>
−
−
64 x
4 x
0 x
3 y
2 y
Bài 6: Cho hệ phương trình:
=
− +
=
−
0 ay y x
0 y log x
log 2 1
2 3
3
2 3
a) Giải hệ khi a = 2
b) Xác định a để hệ có nghiệm
Trang 4HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÁC
Kiến thức cần nhớ:
Dùng phương pháp biến đổi tương đương, đưa hệ phương trình đã cho về hệ phương trình đơn giản hơn Thường ta dùng các phép biến đổi sau:
1) Nếu biểu thị một ẩn theo các ẩn còn lại thì dùng phương pháp thế
2) Nếu biến được một phương trình của hệ thành tích thì ta phân tích hệ thành nhiều hệ đơn giản hơn 3) Nếu biến đổi hệ thành những biểu thức đồng dạng thì đặt ẩn phụ
Bài tập:
Bài 1: Cho hệ phương trình: (I)
+
= + +
= +
) 2 y ( m xy y ) 1 x (
m y x
2
a) Giải hệ khi m = 4 b) Tìm m để hệ có nhiều hơn hai nghiệm
Bài 2: Cho hệ phương trình:
= + +
+
−
= + +
−
3 bxy y
x
a y x ) y x ( a y x
2 2
2 2
a) Giải hệ khi a = b = 1 b) Tìm a và b để hệ phương trình có nhiều hơn 4 nghiệm
Bài 3: Giai hệ phương trình:
=
−
− +
=
−
−
33 y 4 x 2 y x
16 y 2 x xy
2 2
Bài 4: Giải hệ phương trình:
+ +
= +
−
=
−
2 y x y x
y x y x
3
(Khối B - 2002)
Bài 5: Giải hệ phương trình:
+
=
−
=
−
1 x y 2
y
1 y x
1 x
3
(Khối A - 2003)
Bài 6: Giải hệ phương trình:
+
=
+
=
2 2 2 2
y
2 x x x
2 y y
(Khối B - 2003)
Bài 7: Giải các hệ phương trình:
a)
= +
= + +
3 y x
5 y y x x
2
2 2 2
b)
=
−
=
+
2
5 xy
1 2 ) y x (
2
9 xy
1 2 ) y x (
c)
=
−
−
−
= +
− +
3 y x 9 y 2 x
1 y 4 x y x
2 2
2 2
d)
=
− + +
=
− +
−
− +
3 y x
1 y x
0 ) y x ( 6 ) y x ( 5 ) y x
e)
= +
= +
2 2 2
2 2
x 5 y x 1
x xy y
f)
= +
−
= + +
5 xy x y
13 xy y
x2 2
g)
= + +
−
=
− + +
7 5 y 2 x
7 2 y 5 x
h)
= +
= +
35 y y x x
30 x y y x
i)
=
− + +
=
− +
0 27 x xy 2 x
0 xy 5 y x
2
2 2
k)
−
= +
=
− +
2
| y
| y
| x
|
x
0 y xy 2
= +
+
= +
6 y x
x y y x 3 ) y x ( 2
3 3
3 2
3 2
Bài 8: Tìm a để hệ phương trình sau có nghiệm:
= +
= + + +
a 3 y x
a 2 y 1 x
Bài 9: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:
−
= +
= +
m 3 1 y y x x
1 y x
(Khối D - 2004)
Trang 5Bà1 10 Giải hệ phương trình:
2
Bài 11 Giải hệ phương trình:
5 4 5 (1 2 )
4
+ + + + = −
(A-2008)
Bài 12 (D-2009) Giải hệ phương trình:
2
5
1 0
x x y
x y
x
+ + − =
+ − + =
Bài 13 (B-2009) Giải hệ phương trình: 2 2 1 7 2
1 13
+ + =
Bài 14 (A-2010) Giải hệ phương trình: ( 2 )