HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN CÓ LIÊN QUANHệ phương trình đối xứng đối xứng loại một và đối xứng loại hai là một mảng thường hay được nhắc đến trong lớp các bài toán về hệ
Trang 1HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN CÓ LIÊN QUAN
Hệ phương trình đối xứng (đối xứng loại một và đối xứng loại hai) là một mảng thường hay được nhắc đến trong lớp các bài toán về hệ phương trình nói chung Việc nắm được cách giải của chúng là quan trọng, nhưng nếu biết đưa một phương trình, một hệ phương trình vốn không phải là hệ đối xứng về hệ phương trình đối xứng lại càng quan trọng hơn Bài viết này sẽ đưa một số phương trình, hệ phương trình không đối xứng về hệ phương trình đối xứng thông qua việc chọn các ẩn phụ thích hợp Sau đây là một số bài toán
1 Dùng ẩn phụ để đưa hệ phương trình không đối xứng về hệ phương trình đối xứng
1.1 Đưa hệ phương trình vô tỷ về hệ phương trình đối xứng
Ví dụ 1 Giải hệ phương trình 30
35
x y y x
x x y y
• Dùng ẩn phụ u= x và v= y đưa hệ phương trình về hệ phương trình đối xứng loại một
• Nghiệm của hệ phương trình là (4;9),(9; 4)
Ví dụ 2 Giải hệ phương trình
4 4
1 1
1 1
• Dùng ẩn phụ u= 4 x−1 và v= 4 y−1 đưa hệ phương trình về hệ phương trình đối xứng loại hai
• Nghiệm của hệ phương trình là (1;1)
Ví dụ 3 Giải hệ phương trình
2 2
• Dùng ẩn phụ u= x và v= y đưa hệ phương trình về hệ phương trình đối xứng loại hai.
• Nghiệm của hệ phương trình là (0;0),(2; 2),(2; 2),( 2; 2),( 2; 2).− − − −
Ví dụ 4 Giải hệ phương trình
5
− + + + − =
• Dùng ẩn phụ u= +x y và v= −x y đưa hệ phương trình về hệ phương trình đối xứng loại một.
• Nghiệm của hệ phương trình là ( ; ),( ; ),(1 3 3 1 1; 3),( 3; 1),( ;3 1),( 3 1; ), ( ;1 3),( 1 3; )
2 2 2 2 − −2 2 − −2 2 2 −2 −2 2 2 −2 −2 2
1.2 Đưa hệ phương trình mũ, logarit về hệ phương trình đối xứng
Ví dụ 5 Giải hệ phương trình
2cot sin
x y
+
Trang 2• Dùng ẩn phụ 2cot
9 x
u= − và sin
9 y
v= đưa hệ phương trình về hệ phương trình đối xứng loại một
• Nghiệm của hệ phương trình là ,
2
x= +π kπ 2
6
y= +π l π
và ,
2
x= +π kπ 5
2 6
y= π +l π
Ví dụ 6 Giải hệ phương trình
2 2
ln( ) ln 1 ln( ) ln 1
• Dùng ẩn phụ u=lnx và v=lny đưa hệ phương trình về hệ phương trình đối xứng loại hai.
• Nghiệm của hệ phương trình là ( , ).e e
1.3 Đưa một số hệ phương trình khác về hệ phương trình đối xứng
Ví dụ 7 Giải hệ phương trình
( 1)( 1) 12
x y x y
xy x y
• Dùng ẩn phụ u x x= ( +1) và v= y y( +1)đưa hệ phương trình về hệ phương trình đối xứng loại một.
• Nghiệm của hệ phương trình là (1; 2),(1; 3), ( 2;2),( 2; 3),(2;1),(2; 2),( 3;1),( 3; 2).− − − − − − − −
Ví dụ 8 Giải hệ phương trình
1 1
4
1 1
4
x y
x y
x y
x y
+ + + =
+ + + =
• Dùng ẩn phụ u x 1
x
y
= + đưa hệ phương trình về hệ phương trình đối xứng loại một.
• Nghiệm của hệ phương trình là (1;1)
Ví dụ 9 Giải hệ phương trình
2 2
sin tan 1 tan sin 1
• Dùng ẩn phụ u=sinx và v=tany đưa hệ phương trình về hệ phương trình đối xứng loại hai.
• Nghiệm của hệ phương trình là x m= π, ;
4
y= +π nπ 2 ,
2
x= +π m π y n= π; 5 1
arcsin( ) 2 ,
2
5 1 arctan( )
2
y= − +lπ và arcsin( 5 1) 2 ,
2
x= −π − +k π arctan( 5 1)
2
y= − +lπ
2 Dùng ẩn phụ để đưa phương trình về hệ phương trình đối xứng
2.1 Đưa phương trình vô tỷ về hệ phương trình đối xứng
Ví dụ 10 Giải phương trình 46− +x 4 x− =2 2
• Dùng ẩn phụ u= 46−x và v= 4 x−2 đưa phương trình về hệ phương trình đối xứng loại một
• Nghiệm của phương trình là x=2 và x=6
Trang 3Ví dụ 11 Giải phương trình 37 tan+ x+3 2 tan− x =3
• Dùng ẩn phụ u= 37 tan+ x và v=3 2 tan− x đưa phương trình về hệ phương trình đối xứng loại một
• Nghiệm của phương trình là
4
x= +π kπ
và x=arctan( 6)− +lπ
Ví dụ 12 Giải phương trình x3+ =1 2 23 x−1
• Dùng ẩn phụ u= 3 2x−1 đưa phương trình về hệ phương trình đối xứng loại hai
• Nghiệm của phương trình là 1 5
2
x=− ± và x=1.
Ví dụ 13 Giải phương trình 9+ 9+ x =x
• Dùng ẩn phụ u= +9 x đưa phương trình về hệ phương trình đối xứng loại hai
• Nghiệm của phương trình là 19 37
2
x= +
2.2 Đưa phương trình mũ, logarit về hệ phương trình đối xứng
Ví dụ 14 Giải phương trình 81sin 2x+81cos 2x =30
• Dùng ẩn phụ sin 2
81 x
u= và cos 2
81 x
v= đưa phương trình về hệ phương trình đối xứng loại một
• Nghiệm của phương trình là
3
x= ± +π kπ
và
6
x= ± +π lπ
Ví dụ 15 Giải phương trình 3
7
7x =2log (6x+1) +1
• Dùng ẩn phụ u=log (67 x+1) đưa phương trình về hệ phương trình đối xứng loại hai.
• Nghiệm của phương trình là x=0 và x=1
2.3 Đưa một số phương trình khác về hệ phương trình đối xứng
Ví dụ 16 Giải phương trình 4 4
cos x+ −(1 cos )x =1
• Dùng ẩn phụ u=sinx và v= −1 sinx đưa phương trình về hệ phương trình đối xứng loại một
• Nghiệm của phương trình là x k= 2π và
2
x= +π lπ
Ví dụ 17 Giải phương trình (x−2)6+ −(4 x)6 =64
• Dùng ẩn phụ u x= −2 và v= −4 x đưa phương trình về hệ phương trình đối xứng loại một
• Nghiệm của phương trình là x=2 và x=4
Ví dụ 18 Giải phương trình 1 2(1 2 )− − x2 2 =x
• Dùng ẩn phụ u= −1 2x2 đưa phương trình về hệ phương trình đối xứng loại hai
Trang 4• Nghiệm của phương trình là 1 5,
4
2
x= và x= −1