Toán 9 hệ phương trình đối xứng (sáng kiến kinh nghiệm )

Kỹ năng trình bày cách giải phơng trình đối xứng loại I và loại II rất dễ hiểu đối với mọi đối tợng học sinh, hơn nữa nó còn có ứng dụng rất quan trọng trong việc giải một số dạng toán đ

Phần I Mở đầu

1- Lý do chọn đề tài.

Trong quá trình dạy toán tôi thấy hệ phơng trình nói chung và hệ phơng trình đối xứng nói riêng là một phần kiến thức hết sức quan trọng trong chơng trình lớp 9 và cả lớp 10 Đặc biệt nó là phần không thể thiếu trong công tác bồi dỡng học sinh giỏi

Kỹ năng trình bày cách giải phơng trình đối xứng loại I và loại II rất dễ hiểu đối với mọi đối tợng học sinh, hơn nữa nó còn có ứng dụng rất quan trọng trong việc giải một số dạng toán đòi hỏi phải có sự t duy cao

Phần II: Nội dung của đề tài

A/ Nội dung

I/ Cơ sở lý luận khoa học của đề tài.

1- Hệ phơng trình đối xứng loại I

a- Định nghĩa: Một hệ phơng trình đợc gọi là hệ phơng trình đối xứng loại

I nếu mõi phơng trình của hệ đã cho đối xứng với 2 ẩn x, y (nghĩa là mỗi phơng trình của hệ không thay đổi khi ta đổi vai trò của x và y cho nhau)

b- Tính chất: Nếu (xo, yo) là 1 nghiệm của hệ thì (yo, xo) cũng là nghiệm của hệ, vì vậy nếu hệ có nghiệm duy nhất thì nghiệm duy nhất đó phải có dạng ( xo, yo)

a- Định nghĩa: hệ 2 phơng trình chứa 2 ẩn x, y đợc gọi là hệ đối xứng loại

II, nếu trao đổi vị trí của x,y thì hệ phơng trình này chuyển thành phơng trình của hệ

b- Tính chất: Nếu (xo, yo) là 1 nghiệm của hệ thì (yo, xo) cũng là 1 nghiệm của hệ vậy để có nghiệm duy hất thì x0 = yo nghĩa là nghiệm duy nhất có dạng (xo, xo)

c- Cách giải thông thờng

+ Trừ với vế các phơng trình đã cho để đợc phơng trình

+ Phơng trình trên sẽ đợc đa phơng trình dạng tích với đặc điểm là nó

có nghiệm x= y ( và cũng có thể có thêm nghiệm khác)

II/ Đối tợng phục vụ của đề tài

Trong phạm vi nội dung nghiên cứu của đề tài này, chủ yếu nhằm nâng cao kiến thức phù hợp với học sinh khá và giỏi lớp 9

III/ Néi dung vµ ph¬ng ph¸p nghiªn cøu.

s =-1 + 1 3m+

Do đó hệ (II)có nghiệm p- m+ 1 - 1 3 + m (3)

s= -1 - 1 3 + m (4)

p = m+1+ 1 3 + m

Ta thấy hệ (3) thoả mãn điều kiện (+) khi và chỉ khi 0≤m ≤8

Không có giá trị nào của m để hệ (4) + m điều kiện (*)

Vậy với 0 ≤ m ≤ 8 hệ (I) có nghiệm

Ta cũng có thể kiểm tra điều kiện (*) bằng cách với p = m-s từ điều kiện (*) suy ra ≥ m

2

c- Điều kiện cần: giả sử hệ có nghiệm duy nhất (x0, y 0 )vì hệ đã cho là hệ

ph-ơng trình đối xứng nên nó cũng nhận (y0, x0) làm nghiệm, do tính duy nhất của

nó nên ta có (x0, y0)= (y0,x0) hay x0=y0

x0 =0Khi đó hệ trở thành 2x0 + x02 = m ⇔ x02 - 2x0 =0 ⇔ m=0

Bài toán 2: cho hệ phơng trình x + y + of (*) = m + 1

x2y + xy2 = ma- Giải hệ với m = 2

b- Xác định m để hệ có ít nhất 1 nghiệm thoả mãn điều kiện x > 0, y> 0

Giải x+ y + xy = m + 1

Ta có: x + xy + y = m + 1 ⇔ xy (x+ y) = m

x2y + yx= m

Hệ 1 không thoả mãn điều kiện (*)

Hệ 2 thoả mãn điều kiện (*)

Do đó x,y là nghiệm của phơng trình t2 - 2t + 1 =0 ⇔ t = 1

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất (1,1)

b- Ta xét 2 trờng hợp

TH 1 s = 1

P = m

Khi đó : x,y là nghiệm của phơng trình x2 - x + m = 0 (3)

Hệ đã cho có ít nhất 1 nghiệm thoả mãn điều kiện x> 0, y> 0 khi và chỉ khi

ph-ơng trình (3) có 2 nghiệm x,y>0 điều này xảy ra khi và chỉ khi

Khi đó x,y là nghiệm của phơng trình x2 - m + 1 = 0 (4)

Phơng trình 4 có 2 nghiệm x,y > 0 khi và chỉ khi

≥ 0 m2 - 4 ≥0

x+ y > 0 ⇔ m > 0 ⇔ m ≥ 2

xy > 0 1> 0

Vậy với 0 < m 1 hoặc m ≥2 hệ đã cho có ít nhất 1 nghiệm x,y >0

Bài toán 3: giải hệ phơng trình

Vậy hệ nào cho có 2 nghiệm (4, 9); (9;4)

Với bài này ta cũng có thể qua 1 lần đặt nữa là 4 = x (4≥ 0)

V = y (v ≥ 0)Khi đó từ hệ đã cho ta có thể đa về hệ cơ bản với cách giải thông thờng Tuy nhiên trong một số bài toán ta có thể có những cách đạt hợp lý ví dụ xét bài tuần sau

Bài toán 4: Giải hệ phơng trình:

2- Phơng trình đối xứng loại II

Bài toán 1:

Cho hệ phơng trình xy + x2 ≠ m (y - 1)

Xy + y2 = m (x-1)a- Giải hệ khi m= - 1

b- Tìm giá trị của m để hệ có nghiệm duy nhất

Xy + y2 = 8 (x-1) x= y = 2

Hệ đã cho đúng 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phơng trình (+) vô nghiệm hoặc có nghiệm x= 0 và tìm đợc y = 0 hoặc có nghiệm x= - 2 và tìm đợc y = -2.TH1: phờng trình (+) có nghiệm x = 0 khi và chỉ khi

IV/ Kết quả :

Qua quá trình áp dụng vào việc giảng dạy đội tuyển Học sinh giỏi lớp 9 tôi thấy học sinh rất hứng thú khi giải các phơng trình thuộc dạng này và đặc biệt khi gặp các dạng toán mà học sinh phải đa về hệ phơng trình đối xứng loại I và loại II thì các em áp dụng khá thành thạo và có kỹ năng trình bày tơng đối tốt

V/ Giải pháp mới sáng tạo.

Đối với học sinh khá có thể cho các em giải các loại hệ phơng trình nói trên còn

đối với các em học giỏi có thể tăng cờng các bài tập chứa tham số chẳng hạn

Bài toán 1: Cho hệ phơng trình (x + y) ( y + 1) = m + 4

B ứng dụng vào thực tiễn công tác giảng dạy.

I/ Quá trình áp dụng của bản thân.

Từ hai loại phơng trình đối xứng nói trên có thể áp dụng vào giải một số dạng toán sau:

1- Dạng 1: Từ hệ phơng trình cha phải hệ phơng trình đối xứng ta đa đợc

Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm 11 7 (7/4, 1/4)

2- Dạng 2: chuyển phơng trinh vô tí về hệ phơng trình hữu tí.

Bài toán 1: Giải phơng trình

Với x=y = -1 khi đó xy = - 1

2 do đó x,y là nghiệm của phơng trình

Với x+ y =2 khi đó xy =1 do đó x,y là nghiệm của phơng trình x2 - 2x +1 = 0 ⇔x=1

Từ đó ta tìm đợc x =1 vậy tập nghiệm của nó là s =

Bài toán 3: giải phơng trình

Học sinh cũng có thể giải hệ phơng trình bằng phơng pháp bất đẳng thức nh vậy bài toán 1 và bài toán 2 ta đã chuyển phơng trình vô tỉ về hệ phơng trình đối xứng loại II Bài toán 3 và bài toán 4 ta đã chuyển phơng trình vô tỉ về hệ phơng trình đối xứng loại II, rõ ràng việc giải hệ phơng trình trở lên đơn giản hơn rất nhiều

3- Dạng 3 : tìm điều kiện để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất.

Ta thấy (5 - x0 ; 5 - y0) cũng là nghiệm của hệ

Vậy để hệ có nghiệm duy nhất thì : x0 =5 - x0

Với bài này ở điều kiện cần từ 1 trong 2 phơng trình của hệ số có thể đa về

ph-ơng trình bậc 2, xong cách làm này khá dài Phph-ơng pháp tìm điều kiện cần ở đây

là giả sử hệ có nghiệm duy nhất x= x0 dựa vào cấu trúc của phơng trình ta suy ra

do x= x0 là nghiệm nên x= g (x0) cũng là nghiệm (ở đây g (x0) là biểu thức nào

đó của nghiệm) do tính duy nhất ta suy ra x0 = g (x0) từ đó tìm đợc điều kiện cần với số m

Ta xét hệ (I) y2 = − x 4 x2- mx x2 = − x3 4 x2 + mx

⇔ X= y x= y

định một trong hai phơng trình của hệ (II) có nghiệm Để chứng tổ phơng trình

II/ Hiệu quả khi áp dụng đề tài.

Khi áp dụng đề tài nằy đối với học sinh trờng THCS Lý Tự Trọng tôi thấy 90% học sinh hiểu bài tốt, 80% các em có thể làm bài đợc trong phạm vi kiến thức các em học hơn nữa, các em còn rất hứng thú làm các bài tập đợc khai thác

từ bài toán đã giải

Trong quá trình giảng dạy tôi thấy sau khi truyền thụ các kiến thức cần thiết thì việc rèn kỹ năng trình bày cho học sinh cũng rất quan trọng và đặc biệt phải biết khai thác các khía cạnh của bài toán tức là từ một bài tập của thầy hớng dẫn học sinh có thể giải đợc nhiều bài tập khai thác từ bào tập đó

Sáng kiến tiếp theo mà tôi dự kiến nghiên cứu là: Điều kiện để phơng trình và hệ phơng trình có nghiệm duy nhất.

Phần III Kết luận

Để giải hệ phơng trình đối xứng tôi viết ở trên tôi thấy rằng việc áp dụng vào công tác giảng dạy rất có hiệu quả Tuỳ từng đối tợng học sinh mà có các bài toán phù hợp

Học sinh dễ dàng nhận thức hệ phơng trình thuộc loại nào và giải đợc một cách thành tạo

Đối với các bài toán đồi hỏi phải có sự t duy cao thì học sinh cũng rất say

mê, hứng thú tìm tòi để tìm cách đa bài toán về các dạng toán cơ bản Tôi thấy các em đã chủ động, sáng tạp trong việc suy nghĩ tìm cách giải cho một số bài toán, điều này tránh đợc tình trạng tiếp thu kiến thức một các thụ động, áp dụng kiến thức một cách máy móc

Tôi mong rằng trong quá trình học toán các em có sự say mê tìm tòi sáng tạo và cũng mong đợc sự đóng góp ý kiến của các đồng nghiệp để đề tài của tôi

đợc hoàn chỉnh hơn và việc áp dụng vào công tá giảng dạy đạt kết quả cao

Những tài liệu tham khảo

- Báo toán học tuổi trẻ, toán học tuổi thơ

- Chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi toán THCS - Nguyễn Đức Tấn-Chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi toán tHCS - Nguyễn Vũ Thanh

- 12 chuyên đề về đại số sơ cấp - Nguyễn Văn Vĩnh

- Đề thi vào chuyên Vĩnh Phúc

- Một số sách nâng cao đại số 10

MỤC LỤC

Phần I Mở đầu 1

Phần II: Nội dung của đề tài 2

A/ Nội dung 2

I/ Cơ sở lý luận khoa học của đề tài 2

1- Hệ phơng trình đối xứng loại I 2

2- Hệ phơng trình đối xứng loại II 2

II/ Đối tợng phục vụ của đề tài 2

III/ Nội dung và phơng pháp nghiên cứu 3

1- Phơng trình đối xứng loại I 3

2- Phơng trình đối xứng loại II 8

IV/ Kết quả : 11

V/ Giải pháp mới sáng tạo 11

B ứng dụng vào thực tiễn công tác giảng dạy 12

I/ Quá trình áp dụng của bản thân 12

1- Dạng 1: Từ hệ phơng trình cha phải hệ phơng trình đối xứng ta đa đợc về hệ phơng trình đối xứng 12

2- Dạng 2: chuyển phơng trinh vô tí về hệ phơng trình hữu tí 14

3- Dạng 3 : tìm điều kiện để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất 16

II/ Hiệu quả khi áp dụng đề tài 18

Phần III Kết luận 19

Những tài liệu tham khảo 20