Bài 4. Phương trình đối xứng pptx

PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG I.. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VÀ NỬA ĐỐI XỨNG VỚI SINX, COSX 1.. Từ đó suy ra nghiệm x.. Các bài tập mẫu minh họa Bài 1... Tìm m để phương trình: msinx+cosx+sin 2x=

Bài 2 PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG

I PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VÀ NỬA ĐỐI XỨNG VỚI SINX, COSX

1 Phương pháp chung a(sinx+cosx)+bsin cosx x+ = c 0

a(sinx−cosx)+bsin cosx x+ = c 0

2

2

1

1







Biến đổi đưa về phương trình bậc 2 ẩn t

Bước 2 Giải phương trình bậc 2 ẩn t Từ đó suy ra nghiệm x

2 Các bài tập mẫu minh họa

Bài 1 Giải phương trình: 2 sin( x+cosx)−sin cosx x=1 1( )

Giải

t

t= x+ x= x−π ∈ − ⇒ x x= − Ta có ( )1 ⇔t2 −2 2t+ = ⇔ =1 0 t 2− ∈ −1  2; 2 cos( ) 2 2 cos

x π −

x−π= ±α + kπ ⇔x=π± α + kπ k∈ »

Giải

Điều kiện: sin cos 0 sin 2 0 ( )2

2

k

x x≠ ⇔ x≠ ⇔x≠ π Với điều kiện (2) thì ( )1 sin cos (sin cos ) (sin cos ) 10sin cos

3

3 sinx cosx sin cosx x 1 10 sin cosx x

1

t

t= x+ x= x−π ∈ − ⇒ x x= − Khi đó

( )1 3 2 1 1 10. 2 1

t −  −

  ⇔3t t( 2 +1)=10(t2 −1)⇔3t3 −10t2 +3t+10= 0

3

⇔ − = ±α + π ⇔ = ± α + π ∈ » (thỏa mãn (2))

Bài 3 Giải phương trình: 1 sin3 cos3 3sin 2 ( )1

2

Giải

( )1 1 (sin cos )3 3sin cos (sin cos ) 3sin 2

2

t

t= x+ x= x−π ∈ − ⇒ x x= −

Khi đó ( )1 1 3 3 2 1 3( 2 1) 2 3 3 3 ( 2 1) 3( 2 1)

t

Bài 4 Giải phương trình: sin cos 2 3 1 sin cos ( )1

3

x+ x= + x x

Giải

1

t

t= x+ x= x+ π ∈ − ⇒ x x= −

Khi đó (1)

2

2

2

t

=



Bài 5 Giải phương trình: sinx−cosx+7 sin 2x=1 ( )1

Giải

4

t= x− x= − x+π ∈ − ⇒ x= −t

1 ⇔ +t 7 1−t = ⇔1 7t − − = t 6 0

2 3

1

2

2

3 2

4

x t

t

x

= −π + π

=

π

=

π



»

Bài 6 Giải phương trình: (1+ 2)(sinx−cosx)+2 sin cosx x= +1 2 ( )1

Giải

4

t= x− x= − x+π ∈ − ⇒ x x= −t Khi đó

1 ⇔ 1+ 2 t+ 1−t = +1 2⇔t − 1− 2 t+ 2= ⇔ = ∨ =0 t 1 t 2

Bài 7 Giải phương trình: sin 2 2 sin ( ) 1

4

x+ x x−π =

Giải

4

x+ x x−π = ⇔ x+ x− x =

4

t= x− x= x−π ∈ − ⇒ x= −t

1 ⇔ −1 t + = ⇔t 1 t 1−t = ⇔ =0 t 0;t= 1

tg 1

1

4

x

x x

x x

=











»

Bài 8 Giải phương trình: sin 3x−cos 3x+2 sin( x+cosx)= 1

Giải

1 ⇔ 3sinx−4 sin x − 4 cos x−3cosx +2 sinx+cosx = 1

4 sinx cosx 1 sin cosx x 5 sinx cosx 1

4

t= x+ x= x+π ∈ −  , khi đó ta có phương trình:

2

2 1

2

t

sin cos

Giải

4

t= x+ x= x+π ∈ −  t≠ ± Biến đổi ta nhận được

2

1

t

t

+

−

4

Bài 10 Tìm m để phương trình: m(sinx+cosx)+sin 2x= có nghiệm 0

Giải

4

t= x+ x= x−π ∈ − ⇒ x=t −

Khi đó phương trình ⇔mt+t2 − =1 0 ( ) 2

1 0

f t t mt

⇔ = + − = với t∈ − 2; 2

Để ý rằng: ∆ =1 m2 + > nên 4 0 f t( )= có 2 nghiệm phân biệt 0

1, 2

t t

Theo định lý Viét, ta có t t1.2 = − ⇒1 t1 t2 =1 ( )

 < ≤ <  ∈ −

 < ≤ <  ∈ −

 Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm ∀m∈ »

Bài 11 Tìm m để phương trình: sin 2x+4 cos( x−sinx)=m có nghiệm

Giải

Đặt t=cosx−sinx∈ − 2; 2 và sin 2x= −1 t2, khi đó phương trình đã cho

f t t t m

⇔ = − + + = với t ∈ − 2; 2

Ta có f′( )t = −4 2t> ∀ ∈ −0 t  2, 2 ⇒ f t( ) đồng biến trên − 2 , 2

⇒ Tập giá trị f t( ) là f (− 2 ,) f( 2)= − 4 2−1, 4 2+1

Do đó phương trình đã cho có nghiệm ⇔ f t( )=m có nghiệm t∈ − 2, 2

4 2 1 m 4 2 1

Bài 12 Tìm m để: sin3 x−cos3x=m có 3 nghiệm phân biệt x∈[0, π ]

Giải

sin x−cos x=m⇔ sinx−cosx +3sin cosx x sinx−cosx =m

4

t= x− x= x−π ∈ −  ∀ ∈x π ; sin cos 1 2

2

t

x x= − Khi đó phương trình

2

2

t

t t −  m t t t m f t t t m

Ta có f′( )t = −3t2 + = ⇔ = ± ⇒ Bảng biến thiên 3 0 t 1

Với t= 2 ∨ ∈ −t ( 1, 1) cho ta

1 nghiệm x∈[0,π và với mỗi ] t∈ 1, 2)

cho ta 2 nghiệm x∈[0,π ]

Nên để phương trình sin3 x−cos3 x=m

có 3 nghiệm phân biệt x∈[0,π ]

thì f t( )=2m phải có 2 nghiệm

1, 2

t t sao cho

2

2

− < < < < ⇔ < < ⇔ < <

2

0

–2

2

t

f′(t) f(t)

II PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VỚI TAN, COT

I CÔNG THỨC SỬ DỤNG

a b

+

II CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA

Bài 1 Giải phương trình: 3 tan( x+cotx)=4 ( )1

Giải

( )1 ⇔ 2 3 4 sin 2 2 3 3

Bài 2 Giải phương trình: 2 sin( x+cosx)=tanx+cotx ( )1

Giải

Điều kiện: sin cos 0 sin 2 0 ( )2

2

k

x x≠ ⇔ x≠ ⇔x≠ π

4

t= x+ x= x−π ∈ − ⇒ x=t −

sin 2

x

4

4

x π n

Bài 3 Giải phương trình: 3 tan( x+cotx)=2 2( +sin 2x) (1)

Giải

Điều kiện: sin cos 0 sin 2 0 ( )2

2

k

x x≠ ⇔ x≠ ⇔x≠ π ( )1 3 2 sin 2

⇔ = + ⇔sin 22 x+2 sin 2x− = ⇔3 0 sin 2x=1

4

x π n

⇔ = + π

Bài 4 Giải phương trình: tan 2x+cotx=8 cos2 x ( )1

Giải

ĐK:sin cos 2x x≠0 , 2( ), ta có (1) cos 2( ) 8cos2 cos 8cos2 .cos2 sin

cos2 sin

x x

−

cosx 1 8 cos cos 2 sinx x x 0 cosx 1 2 sin 4x 0

1

Bài 5 Giải phương trình: 3 ( )

tanx=cotx+2 cot 2x 1

Giải

Điều kiện: sin cos sin 2 0 sin 2 0 ( )2

2

k

x x x≠ ⇔ x≠ ⇔x≠ π

1 ⇔tanx−cotx=2 cot 2x⇔ 2 cos 2 2 cot 23

2 sin cos

x x

−

cot 2x 1 cot x 0 cot 2x 0

n

x π n x π π

Bài 6 Giải phương trình: tanx+cotx=2 sin 2( x+cos 2x) (1)

Giải

Điều kiện: sin cos 0 sin 2 0 ( )2

2

k

x x≠ ⇔ x≠ ⇔x≠ π ( )1 2 2 sin 2( cos 2 )

⇔ = + ⇔sin 2x(sin 2x+cos 2x)= 1

sin 2 cos 2x x 1 sin 2x 0

⇔ − − = ⇔cos 2x(sin 2x−cos 2x)= 0

cos 2 0 tan 2 1

Bài 7 Giải phương trình: 6 tanx+5 cot 3x=tan 2x ( )1

Giải

( )1 5 tan( cot 3 ) tan 2 tan 5 cos 3( ) sin 2( )

cos sin 3 cos 2 cos

x x x x

5 cos 2x sin 3 sinx x 10 cos 2x 2 sin 3 sinx x 10 cos 2x cos 2x cos 4x

10 cos 2x cos 2x 2 cos 2x 1 12 cos 2x cos 2x 1 0

1

2 3

1

α



= ±α + π 





= ±β + π





(thỏa mãn (2)) (n∈ » )

Bài 8 Giải phương trình: 2 cot 2 [ x − cot 3 g x ] = tg2 x + cot 3 g x ( ) 1

Giải

Điều kiện: sin 2 sin 3 cos 2x x x≠ ⇔0 sin 4 sin 3x x≠0 ( )2

( )1 2 sin 3( 2 ) cos 3( 2 )

sin 2 sin 3 sin 3 cos 2

⇔ = ⇔2.sinx(cos2 x−sin2 x)−cos2 x=0

3

sin x 0 sinx 0 sin 2x 2 sin cosx x 0 sin 4x 0 sin 4 sin 3x x 0

Do (2) và (3) mâu thuẫn nhau nên phương trình (1) vô nghiệm

Bài 9 Giải phương trình: 2 tan cot 3 2 ( )1

sin

x x

x

Giải

Điều kiện: sin cos 0 sin 2 0 ( )2

2

k

x x≠ ⇔ x≠ ⇔x≠ π

3

x x π n

⇔ = ⇔ = + π (thỏa mãn (2)) (n∈ » )

Bài 10 Giải phương trình: 3 tan 3 cot 2 2 tan 2 ( )1

sin 4

x

Giải

Điều kiện: sin 2 sin 4 cos cos cos 3x x x x x≠ ⇔0 sin 4 cos 3x x≠0 ( )2

( )1 2 tan 3( tan ) (tan 3 cot 2 ) 2

sin 4

x

cos 3 cos cos 3 sin 2 sin 4

4 sin sin 4x x cosx cos 3x 2 cos 3x 4 sin sin 4x x cosx cos 3x 0

4

4 cos 2 1 0

x x loai

x

+ =



2

⇔ = ±α + π ⇔ = ± + π (thỏa mãn (2)) (n∈ » )

Bài 11 Giải phương trình: 2 tan cot 2 2 sin 2 1 ( )1

sin 2

x

Giải

Điều kiện: sin 2 0

2

k

x≠ ⇔x≠ π (2)

Sử dụng: tan cot 2 sin 2 sin cos 2 cos cos 1

cos sin 2 cos sin sin 2

+

( )1 ⇔tanx+(tanx+cotx)=2 sin 2x+(tanx+cotx)

tanx 4 sin cosx x sinx 4 sin cosx x sinx 1 4 cos x 0

( )

2

sin 0

2 1

cos

4

x

x

=





=





»

Bài 12 Giải phương trình: 3 tan 6 2 2 tan 2 cot 4

sin 8

x

Giải

ĐK: cos 6 sin 8x x≠ , ( )0 1 tan 6 2 tan 6( tan 2 ) 1 cos 4

sin 4 cos 4 sin 4

x

tan 6x 2 tan 6x tan 2x tan 4x

⇔ + − = ⇔(tan 6x−tan 4x)+2 tan 6( x−tan 2x)= 0

k

x= − = α ⇔ = ±x α+ π k∈ »

Bài 13 Giải phương trình: 3 tan 2x−4 tan 3x=tan 3 tan 22 x x ( )1

Giải

x x≠ ⇔ ∉x π+ π π+ π k∈ » ( )1 ⇔3 tan 2x−3 tan 3x=tan 3 1x( +tan 3 tan 2x x) ( )3

Nếu 1+tan 3 tan 2x x= thì từ 0 ( )3 tan 2 tan 3 0

1 tan 3 tan 2 0

x x



⇒ 



2

tan 2 tan 3

1 tan 3 0

x

=



 Vô lý ⇒ +1 tan 3 tan 2x x≠ 0

Khi đó ( )1 ( )3 3 tan 2( tan 3 ) tan 3 3 tan( ) tan 3

1 tan 2 tan 3

x x

−

+

3

2

3 tan tan 3 tan 3 tan tan 3 tan 1 3 tan

1 3 tan

x

−

−

tan 0 tan 0

5

= =





(thỏa mãn (2))

Bài 14 Giải phương trình: tanx+tan2 x+tan3x+cotx+cot2x+cot3 x=6 1( )

Giải

Điều kiện: sin cos 0 sin 2 0 ( )2

2

k

x x≠ ⇔ x≠ ⇔x≠ π ( )1 ⇔(tan3 x+cot3x) (+ tan2 x+cot2 x)+(tanx+cotx)= 6

tanx cotx 3 tan cotx x tanx cotx tanx cotx

(tanx cotx)3 (tanx cotx)2 2 tan( x cotx) 8 0

Đặt tanx+cotx = ⇒t t = tanx + cotx ≥2 tanx cotx = 2

t +t − t− = ⇔ t− t + t+ =

x

sin 2 1

4

x x π n

⇔ = ⇔ = + π (thỏa mãn (2)) (n∈ » )

Bài 15 Giải phương trình: tan 2x−tan 3x−tan 5x=tan 2 tan 3 tan 5x x x ( )1

Giải

Điều kiện: cos 2 cos 3 cos 5x x x≠0 ( )2

( )1 ⇔tan 2x−5 tanx=tan 3x(1+tan 2 tan 5x x) ( )3 Nếu 1+tan 2 tan 5x x= thì 0

từ ( )3 tan 2 tan 5 0

1 tan 2 tan 5 0

x x



⇒ 

tan 2 tan 5

1 tan 2 0

x

=



 Vô lý ⇒ +1 tan 2 tan 5x x≠ 0 Khi đó ( )1 ( )3 tan 3 tan 2 tan 5 tan 2( 5 ) tan( 3 ) tan 3

1 tan 2 tan 5

x x

−

+ tan 3 0

3

k

⇔ = ⇔ = (thỏa mãn (2)) (n∈ » )

tan 2 tan 3 tan 5x x x=tan 2x−tan 3x+tan 5x 1

Giải

ĐK: cos 2 cos 3 cos 5x x x≠0 2( ); ( )1 ⇔tan 32 x−tan 22 x=tan5 1 tan 3 tan 2 , 3x( − 2 x 2 x) ( )

Nếu 1−tan 3 tan 22 x 2 x= thì từ 0 ( )

tan 3 tan 2 0 3

1 tan 3 tan 2 0



⇒ 



tan 3 tan 2 1 tan 3 1 cos 3 sin 3

cos 4 0 cos 6 0

x x

=



⇔

=



2

2

2 cos 2 1 0

cos 2 4 cos 2 3 0

x



⇔



2

2

1 cos 2

2 3 cos 2

4

x x





Vô lý ⇒ −1 tan 3 tan 22 x 2 x≠ 0

Khi đó ( )1 ( )3 tan 5 tan 3 tan 2 tan 3 tan 2 tan tan 5

1 tan 3 tan 2 1 tan 3 tan 2

( )

tan 5 0 tan 5 0

tan 5 0

5

Bài 17 Giải phương trình:

tan tan 2 tan 2 tan 4 tan 4 tan 8 tan 8 2

x x+ x x+ x x= x−

Giải

Điều kiện: cos cos 2 cos 4 cos 8x x x x≠ 0

Ta có

cota−2 cot 2a=tana⇒ 1 2 tan tan 2 2 tan tan2 tan 2

Khi đó: (tan 2 2 tan ) 1(tan 4 2 tan 2 ) 1(tan 8 2 tan 4 ) 1tan 8 2

x− x + x− x + x− x = x−

tan 1

4

x x π k k

⇔ = ⇔ = + π ∈ » thỏa mãn điều kiện

tan x+4 tan 2x+16 tan 4x=64 cot 8x+41 (1)

Giải

Điều kiện: sin 8x≠ 0

Xét đẳng thức cota−2 cot 2a=tana Đạo hàm 2 vế của đẳng thức này ta có

4 cot 2a cot a tan a 2

( )1 ⇔(tan2x−2)+4 tan 2( 2 x−2)+16 tan 4( 2 x−2)=64 cot 82 x− 1

(4cot 22 x cot2x) 4 4cot 4( 2 x cot 22 x) 16 4cot 8( 2 x cot 42 x) 64cot 82 x 1

2

k

Bài 19 Giải phương trình: sin2 2cos 2 sin 3 cos 62 2 sin 9 cos182 2 0

Giải

Điều kiện: cos 27x≠ 0

Ta có công thức

2

2

8sin cos 2 tan 3 tan

cos 3

a a

a

sin cos 2 sin 3 cos 6 sin 9 cos18 0

tan 3x tan x tan 9x tan 3x tan 27x tan 9x 0

tan 27x tan x

x x k x π x π k