ĐỀ 3
( Thời gian làm bài 90 phút )
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7 điểm )
Câu I ( 2,0 điểm )
a) Cho cotα =4tan α với
2
π <α < π Tính giá trị các hàm số lượng giác của góc α
b)Tính giá trị biểu thức sau : A cos(17= o+ α) cos(13o− α −) sin(17o+ α)sin(13o− α)
Câu II ( 2,0 điểm )
Giải các phương trình sau : a) | 3x 5 | 2x− = 2+ −x 3 b) 3x2− =2 x
Câu III ( 3,0 điểm )
a) Cho tam giác ABC có µA 60= o, b = 8 (cm) , c = 5 (cm) Tính diện tích của tam giác
b) Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn (C) : x2+y2−2x 2y 1 0− + = và đường thẳng (d) : x y 1 0− − =
Gọi A.B là giao điểm của đường thẳng (d) và đường tròn (C) Hãy viết phương trình đường tròn ngoại tiếp ∆IAB với I là tâm của đường tròn (C)
II PHẦN RIÊNG ( 3 điểm )
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần ( phần A hoặc phần B )
A.Theo chương trình chuẩn :
Câu IV.a ( 1,0 điểm ) :
Chứng minh rằng : cos cos5
2sin sin 4 sin 2
Câu V.a ( 2,0 điểm ) :
a) Cho hai số dương a,b Chứng minh rằng : 1 1
a b
b) Tìm các giá trị của m để bất phương trình mx2−10x 5 0− < nghiệm đúng với mọi x
B.Theo chương trình nâng cao :
Câu IV.b ( 1,0 điểm ) :
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y= −x4+x2 trên [ 0; 2 ]
Câu V.b ( 2,0 điểm ) :
a) Chứng minh rằng :
2
2
sin
tan cos sin tan cos α + β α = α + β β
b) Tìm tập xác định của hàm số 2 2x 1
x 2
−
+ .HẾT
Trang 2HƯỚNG DẪN
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7 điểm )
Câu I ( 2,0 điểm )
a) 1đ Với
2
π <α < πthì sinα >0,cosα <0, tanα <0
Ta có : cot 4tan 1 4tan tan2 1 tan 1,cot 2
α = α ⇒ = α ⇒ α = ⇒ α = − α = −
α
2
4
b) 1đ A cos(17= o+ α) cos(13o− α −) sin(17o+ α)sin(13o− α) cos[(17 ) (13 )] cos30 3
2
= o+ α + o− α = o=
Câu II ( 2,0 điểm )
a) 1đ Gọi : | 3x 5 | 2x− = 2+ −x 3 (1)
▪ TH 1 : 5
3
− ≥ ⇔ ≥ (1)⇔3x 5 2x− = 2+ − ⇔x 3 x2− + =x 1 0 ( vô nghiệm )
▪ TH 2 : 5
3
− < ⇔ <
(1) 3x 5 2x2 x 3 x2 2x 4 0 x 1 5
= − −
⇔ − = + − ⇔ + − = ⇔
= − +
( nhận )
b) 1đ Ta có : 3x2 2 x x 02 2 x 02 x 02 x 0 x 1
x 1
− = ⇔ − = ⇔ = = ⇔ = ± ⇔ =
Câu III ( 3,0 điểm )
a) 1đ Ta có :a2 =b2+c2−2bc cos A 64 25 40 49= + − = ⇒ =a 7 (cm)
Do đó : S 1bcsin A 1.40 3 10 3 (cm)
b) 2đ Tọa độ giao điểm của (d) và (C) là nghiệm của hệ : x y 1 0 (1)2 2
x y 2x 2y 1 0 (2)
− − =
+ − − + =
Từ (1) suy ra : y = x - 1 thay vào (2) , ta được : 2 x 1 (y 0)
x 2 (y 1)
− + = ⇔ = = Vậy : A(1;0) , B(2;1)
Đường tròn (C) có tâm I(1;1) Khi đó : IA (0; 1), IB (1;0)uur= − uur= và
IA.IB 0.1 ( 1).0 0uur uur= + − =
Do đó : ∆IAB vuông tại I nên đường tròn cần tìm là (C’) có
tâm J 3 1
( ; )
2 2 là trung điểm AB , có bán kính R=
AB
2 = 2 Suy ra (C’) : 3 2 1 2 1
Trang 3II PHẦN RIÊNG ( 3 điểm )
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần ( phần A hoặc phần B )
A.Theo chương trình chuẩn :
Câu IV.a ( 1,0 điểm ) :
Ta có : cos cos5 2sin 3 sin( 2 ) sin 2
2sin sin 4 sin 2 2sin 3 cos cos
Câu V.a ( 2,0 điểm ) :
a) 1đ Với hai số dương a,b Ta có :
b) 1đ Cần tìm m để mx2−10x 5 0, x− < ∀ (1)
▪ TH 1 : m = 0 thì bpt (1) ⇔ −10x 5 0− < không nghiệm đúng với mọi x
▪ TH 2 : m≠0 thì bpt (1) nghiệm đúng m 0 m 5
' 25 5m 0
<
⇔∆ = + < ⇔ < −
B.Theo chương trình nâng cao :
Câu IV.b ( 1,0 điểm ) :
Vì y= −x4+x2 =x ( x2 − 2+4), x [0; 2]∈ Hai số không âm x và 2 −x2+4 có tổng x 2 −x2+4 = 4 nên tích y x ( x= 2 − 2+4) của chúng lớn nhất khi x2 = −x2+ ⇔4 x2 = ⇔ =2 x 2 do x > 0
Vậy :
[0;2]
max y y( 2) 4= =
Câu V.b ( 2,0 điểm ) :
a) 1đ Ta có :
2
2
sin
VT tan cos sin (1 tan ) tan cos
cos
sin tan sin tan cos sin tan (sin cos ) sin tan VP
α
β
b) 1đ Hàm số xác định khi : 2 2x 1
x 2
−
+ (1)
Xét trục số :
Vậy tập xác định của hàm số 1
S ( ; 2) [ ;1] [3; )
2