Tham khảo TN Toán 2010 số 21

Chứng minh rằng: ABCD là tứ diện và có các cặp cạnh đối bằng nhau.. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD 3... c Từ gốc O có thể vẽ được bao nhiêu tiếp tuyến đến đồ thị C... Tì

THAM KHẢO ƠN THI TỐT NGHIỆP NĂM 2010 CÂU I:

1 Khảo sát hàm số: 2 3 6

1

y

x

− +

=

− (1).

2 Từ đồ thị của hàm số (1) , hãy nêu cách vẽ và vẽ đồ thị của hàm số:

1

y

x

− +

=

− 3.Từ góc toạ độ có thể vẽ được bao nhiêu tiếp tuyến của hàm số (1) ? Tìm toạ độ các tiếp điểm (nếu có)

CÂU II:

1 Giải hệ phương trình:

3 3

1 2

1 2

 + =



 + =



2.Tìm điều kiện của tham số m ( m∈¡ ) để cho phương trìnhx4−2mx2− +x m2− =m 0 có 4 nghiệm thực phân biệt

CÂU III:

Cho tam giác ABC thoả mãn điều kiện:

2sin 2 2sin 2 2cot

2

B

Hãy xác định hình dạng của tam giác đó

CÂU IV:

Trong không gian với hệ trục toạ độ Đề-các vuông góc Oxyz , cho 4 điểm : A(1;2;2) , B(-1;2;-1) , C(1;6;-1) , D(-1;6;2)

1 Chứng minh rằng: ABCD là tứ diện và có các cặp cạnh đối bằng nhau

2 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD

3 Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

CÂU V:

Tính

1 5

2 2

1

1 1

x

+

+

=

− +

∫

DAP AN

Câu I:

a) Khảo sát hàm số:

2 3 6 ( )1

1

y

x

=

−

• TXD: D=R\{1}

( )

2 2

2 3 '

1 1 ' 0

3

y

x x y

x

=

−

= −



= ⇔  =

• Tiệm cận đứng:

x=1 vì limx→1y= ∞

• Tiệm cận xiên:

Ta có: 2 4

1

x

= − +

− ⇒ TCX: y = x - 2 vì lim 4 0

1

x→∞x =

−

• BBT:

• Đồ thị:

Cho x = 0 ⇒ y = -6

x = 2 ⇒ y = 4

b) Từ đồ thị hàm số (1) hãy nêu cách vẽ và vẽ đồ thị hàm số:

1

y

x

=

− (C1)

Ta có: y≥0 ⇒ (C1) ở phía trên Ox

1 nếu ( 1)

nếu ( 1)

y

>



 Suy ra cách vẽ (C1) như sau:

- Phần của đồ thị (1) ứng với x > 1 trùng với (C1)

- Bỏ phần của (1) ứng với x < 1 và lấy phần đối xứng của phần này qua trục Ox ta được (C1)

c) Từ gốc O có thể vẽ được bao nhiêu tiếp tuyến đến đồ thị (C)

Tìm tọa độ tiếp điểm (nếu có).

- Đường thẳng (d) qua 0 và có hệ số góc k là: y=kx

- Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của hệ:

2

2 2

3 6

(1) 1

2 3

(2) 1

kx x

k x



 Thay (2) vào (1):

( )

2 2

6 3 0

Vậy có 2 tiếp tuyến kẻ từ 0 đến đồ thị (1)

Tọa độ tiếp điểm là:

x= +3 6⇒ =y 3 6 3− ⇒M1(3+ 6,3 6 3)−

x= −3 6 ⇒ = −y 3 6 3− ⇒M2(3− 6, 3 6 3)− −

Câu II:

a) Giải hệ:

3 3

 + =



 + =



(1) trừ (2) ta được:

2 0

3 2 0 (vô nghiệm)

y x

y x

x

y x

=





=





⇔  + ÷ + + =

⇔ =

Thế y = x vào (1) ta được:

3

2

2 1 0

= ⇒ =







Vậy hệ có 3 nghiệm:

(1,1), 1 5, 1 5 , 1 5, 1 5

b) Tìm m để: x4 - 2mx2 - x + m2 - m =0 có 4 nghiệm

Ta có phương trình ⇔m2 −(2x2 +1)m x+ 4 − =x 0

( 2 ) (2 4 )

2

(2 1)

x

Do đó:

2

2

2

2

1 2

2





 Xem (P1): y = x2 + x + 1

(P2): y= x2 - x

Phương trình hoành độ giao điểm của (P1), (P2):

⇔ = − ⇒ = Suy ra: (P1), (P2) chỉ cắt nhau tại 1 điểm 1 3,

2 4

Dựa vào đồ thị ta kết luận:

Phương trình có 4 nghiệm phân biệt

⇔ Đường thẳng (∆) đồng thời cắt (P1), (P2) tại 2 điểm phân biệt (và khác M) 3

4

m

⇔ >

Câu III:

Xác định ∆ ABC biết:

2 2 2 B

c sin 2 A a sin 2C b cotg (1)

2

2

2

B (1) sin C.sin 2 A sin A.sin 2C sin B.cotg

2

B cos

2sin A cos A sin C 2sin C cos Csin A sin B 2sin cos

B

2 2 2sin

2 B

2sin A sin C(sin C cos A cos Csin A) 2sin B.cos

2 B

2sin A sin C.sin(C A) 2sin B.cos

2 2sin A.sin C.sin B 2sin B

2

B cos 2 B

2sin A sin C 2cos

2 cos(A C) cos(A C) 1 cos B cos(A C) cos B 1 cos B cos(A C) 1

k k

π

⇔ − =

Vậy ∆ABC cân tại B

Câu IV:

A(1, 2, 2), B(-1, 2, -1), C(1, 6 -1), D(-1, 6, 2)

a) Chứng minh ABCD là tứ diện có các cặp cạnh đối bằng nhau

• A B ( 2, 0, 3)uuur= − −

• A C (0, 4, 3)uuur= −

• AuuuurD= −( 2, 4,0)

⇒A B, A C, A Duuur uuur uuuur không đồng phẳng

⇒ A, B, C, D làp thành hình tứ diện

Mặt khác:

A B 4 0 9 13

C D 4 0 9 13

A D 4 16 0 2 5

BC 4 16 0 2 5

A C 0 16 9 5

B D 0 16 9 5

Suy ra ABCD có các cặp cạnh đối bằng nhau

b) Tính khoảng cách giữa AB và CD

Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD.

⇒ M(0,1, ), M(0,6, )1 1

Ta có:

∆ABC = ∆ABD (c.c.c)

⇒ CM = DM

⇒MN ⊥ CD

Tương tự: MN ⊥ AB

Vậy : d(AB, CD) = MN = 5

c) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp ABCD Gọi I là trung điểm MN⇒ I 0, ,7 1

2 2

Dễ dàng chứng minh được IA = IB = IC = ID ⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp ABCD

Vậy phương trình mặt cầu ngoại tiếp ABCD là:

+ − ÷ + − ÷ =

Câu V:

1 5

2 2

1

2 2

2

x 1

x x 1

+

+

=

− +

∫

Đặt u x 1 d u x 1 2d x

Vậy:

1 2 0

d u I

1 u

= +

∫ Đặt tgt = u ⇒ du=(1+tg2t)dt

Vậy: 4 2 4

0 2

0

(1 tg t) d t

4

1 tg t

π

π π +

+

∫