Tính gócϕ giữa 2 mặt phẳng SCB và ABC để thể tích khối chóp lớn nhất.. Viết phương trình đường thẳng d đi qua M cắt các tia Ox, Oy tại A và B sao cho OA+3OB nhỏ nhất.. Chứng minh rằng vớ
Trang 1BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2010
Môn Thi: TOÁN – Khối A
ĐỀ THI THAM KHẢO Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I: (2 điểm) Cho hàm số y x= 3 − 3m x2 + 2m (Cm)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1
2) Tìm m để (C m) và trục hoành có đúng 2 điểm chung phân biệt
Câu II: (2 điểm)
1) Giải phương trình: (sin 2 sin 4)cos 2 0
+
x
2) Giải phương trình: 8x+ = 1 2 2 3 x+ 1 − 1
0
sin
π
=
+
∫ xdx
I
Câu IV: (1 điểm) Cho khối chóp S.ABC có SA⊥(ABC), ∆ABC vuông cân đỉnh C và SC =
a Tính gócϕ giữa 2 mặt phẳng (SCB) và (ABC) để thể tích khối chóp lớn nhất
Câu V: (1 điểm) Tìm m để phương trình sau đây có đúng 2 nghiệm thực phân biệt:
2 − −x 2 + −x (2 −x)(2 +x) =m
II PHẦN RIÊNG (3 điểm):
A Theo chương trình chuẩn:
Câu VI.a: (2 điểm)
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm M(3;1) Viết phương trình đường thẳng d đi qua M cắt các tia Ox, Oy tại A và B sao cho (OA+3OB) nhỏ nhất
2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2;3) và B(3;4;1) Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt phẳng (P): x y z− + − = 1 0 để ∆MAB là tam giác đều
Câu VII.a: (1 điểm) Tìm hệ số của x20 trong khai triển Newton của biểu thức 5
3
2
n
x
( 1)
+
n
B Theo chương trình nâng cao:
Câu VI.b: (2 điểm)
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho 4 điểm A(1;0), B(–2;4), C(–1;4), D(3;5) Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng ( ) : 3 ∆ x y− − = 5 0 sao cho hai tam giác MAB, MCD có diện tích bằng nhau
2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng ( ) ∆ 1 có phương trình
{x= 2 ;t y t z= ; = 4; ( ) ∆ 2 là giao tuyến của 2 mặt phẳng ( ) : α x y+ − = 3 0 và
mặt cầu nhận đoạn vuông góc chung của ∆ ∆ 1 , 2 làm đường kính
Câu VII.b: (1 điểm) Cho hàm số = 2+(2 +2(1) + )2+ +4
+
y
x m Chứng minh rằng với mọi m, hàm số luôn có cực trị và khoảng cách giữa hai điểm cực trị không phụ thuộc m.
Hướng dẫn
Trang 2Câu I: 2) (Cm) và Ox cĩ đúng 2 điểm chung phân biệt ⇔
y có CĐ, CT
y 0 hoặc y 0
Câu II: 1) PT ⇔ (2cos2sin −1)(sin cos3 0 + =2) 0
⇔
3
= +
2) Đặt 2x = >u 0; 2 3 x+ 1 − = 1 v
3
0
1 2 1 2
2 1 0
1 2 ( )( 2) 0
= >
u v
u u
2
0
1 5 log
2
=
=
x x
Câu III: Đặt
2
π
= − ⇒ = −
cos cos (sin cos ) (sin cos )
I
⇒
2
1 1cot( ) 1
(sin cos ) sin ( )
4
π π
2
=
I
Câu IV: · 0;
2
π
ϕ =SCA∈ ÷ 3(sin sin 3 )
6 ϕ ϕ
a
2
π
max max
3 ( )
3
2
π
ϕ ∈ ÷
2 2 2 2
−
t
( )
⇒ =t t x nghịch biến trên [ 2; 2] − ⇒ ∈ −t [ 2; 2] Khi đĩ: PT ⇔ 2m t= + − 2 2t 4
Xét hàm f t( ) = + −t2 2t 4 với t∈ − [ 2; 2]
2
⇔ − < m≤ − ⇔ − < ≤ −m
Câu VI.a: 1) PT đường thẳng d cắt tia Ox tại A(a;0), tia Oy tại B(0;b): x+ =y 1
M(3; 1) ∈ d 1 = +3 1Cơ si≥− 2 3 1 ⇒ab≥ 12
( 3 ) 12 3 1 1
2 2
=
OA OB
b
a b
6 + = ⇔ + 2 − =
x y
x y
2) Gọi (Q) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB ⇒ (Q): x y z+ − − = 3 0
d là giao tuyến của (P) và (Q) ⇒ d: {x= 2;y t= + 1;z t=
M ∈ d ⇒ M(2;t+ 1; )t ⇒AM = 2t2 − + 8 11t
2 8 1 0
2
±
⇔ t − − = ⇔ =t t 2;6 18 4; 18
2 2
M
Câu VII.a: Ta cĩ (1 − )n = 0 − 1 + 2 2 − + − ( 1)n n n =
Vì
1
0
1 (1 )
1
+
n ,
1
0
1 1 ( 1) 1
+
n ⇒ + =n 1 13⇒ =n 12
12
0
( ) ( ) ( )
−
=
+ n =∑ k n k k
k
1 12 2 − −
k
T C x ⇒ 8k− 36 20 = ⇔ =k 7
⇒ Hệ số của x20 là: 7 5
12 2 = 25344
C
Câu VI.b: 1) Phương trình tham số của ∆ :
3 5
=
= −
x t
Trang 3( , ) ( , ).
S S d M AB AB d M CD CD ⇔ 9 7
3
= − ∨ =
t t ⇒ ( 9; 32), ( ; 2)7
3
− −
2) Gọi AB là đường vuông góc chung của ∆ 1 , ∆ 2 : A t t(2 ; ; 4) ∈ ∆ 1 , B(3 + −s s; ;0) ∈ ∆ 2
AB ⊥ ∆ 1 , AB ⊥ ∆ 2 ⇒ A(2;1; 4), B(2;1;0)
⇒ Phương trình mặt cầu là: (x− 2) 2 + − (y 1) 2 + − (z 2) 2 = 4
Câu VII.b: Hàm số luôn có hai điểm cực trị x1 = − −m 2, x2 = − +m 2 Khoảng cách giữa hai điểm cực trị là
( ) ( ) 2