Tìm giá trị nhỏ nhất của đoạn AB.. Lập phương trình đường thẳng D là hình chiếu vuông góc của đường thẳng AB trên P.. Giả sử d là một tiếp tuyến thay đổi và F là một trong hai tiêu điểm
Trang 1BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2010
Môn Thi: TOÁN – Khối A
ĐỀ THI THAM KHẢO Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
1
−
=
−
x y
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2) Chứng minh rằng với mọi giá trị thực của m, đường thẳng (d) y = – x + m luôn cắt
đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B Tìm giá trị nhỏ nhất của đoạn AB
Câu II: (2 điểm)
1) Giải bất phương trình: 4
1 log 2 log 0
2
2) Giải phương trình: tan tan sin 3 sin sin 2
Câu III: (1 điểm) Tính tích phân
2
3 0
sin sin 3 cos
π
+
Câu IV: (1 điểm) Tính thể tích hình chóp S.ABC biết SA = a, SB = b, SC = c, · ASB= 60 0,
· BSC= 90 , 0 · CSA= 120 0
Câu V: (1 điểm) Với mọi số thực dương a; b; c thoả mãn điều kiện a + b + c = 1 Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức:
(1 ) (1 ) (1 )
P
II PHẦN RIÊNG (3 điểm)
A Theo cương trình chuẩn:
Câu VI.a: (2 điểm)
1) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng (d1): x + y + 1 = 0, (d2): 2x – y – 1 = 0 Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M(1;–1) cắt (d1) và (d2) tương ứng tại A và B sao cho 2uuur uuur r MA MB+ = 0
2) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + 2y – 2z + 1 = 0 và hai điểm A(1;7; –1), B(4;2;0) Lập phương trình đường thẳng (D) là hình chiếu vuông góc của đường thẳng AB trên (P)
Câu VII.a: (1 điểm) Ký hiệu x1 và x2 là hai nghiệm phức của phương trình 2x2 – 2x + 1 = 0 Tính giá trị các số phức: 2
1
1
2
1
B Theo chương trình nâng cao:
Câu VI.b: (2 điểm)
1) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy , cho hypebol (H) có phương trình 2 2 1
9 − 4 =
Giả sử (d) là một tiếp tuyến thay đổi và F là một trong hai tiêu điểm của (H), kẻ FM
⊥(d) Chứng minh rằng M luôn nằm trên một đường tròn cố định, viết phương trình đường tròn đó
2) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(1;0;0), B(0;2;0), C(0;0;3) Tìm toạ độ trưc tâm của tam giác ABC
Câu VII.b: (1 điểm) Chứng minh rằng với ∀ k,n Z ∈ +thoả mãn 3 k n ≤ ≤ ta luôn có:
+
Trang 2Hướng dẫn Câu I: 2) Phương hoành độ giao điểm của (d) và (C) là: 2
1
−
−
x
x = – x + m
2 1
2 0 (1)
≠
x
x mx m luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
Ta có A(x1; –x1 +m), B(x2; – x2 + m)
1 2 1 2 1 2 2(x −x ) = 2 ( x +x ) − 4x x = 2(m2 − 4m+ 8) ≥ 8
Vậy GTNN của AB = 8 khi và chỉ khi m = 2
Câu II: 1) Điều kiện: 0 < x ≠ 1 Đặt t = log x2
BPT ⇔
2
2 2
2 0
0
− − + ≥
≠
t
t
2 2
2 2
1
4
≤ −
< ≤
t
− + ≠
x x
6 3 sin 3 sin sin 2
− +
− +
⇒ – sin3x = sinx + sin2x
⇔ sin2x(2cosx + 1) = 0
sin 2 0
2 1
2 cos
2
π
π π
= − = ± +
k
x
Kết hợp điều kiện, nghiệm của phương trình là: 22
2 3
π
π π
=
= − +
k x
Câu III: Ta có: sinx + 3cosx = 2cos −π6÷
x , sinx = sin −π6÷+π6÷
− + −
sin
−
6
Câu IV: Trên SB, SC lấy các điểm B′, C′ sao cho SB′ = SC′ = a Ta có AB′ = a, B′C′ = a 2,
AC′ = a 3 ⇒∆AB′C′ vuông tại B′ Gọi H là trung điểm của AC′, thì ∆SHB′ vuông tại
H Vậy SH là đường cao của hình chop S.AB′C′
Vậy: VS.AB’C’ = 3 2
12
a .
3 2 ' '
S ABC
S AB C
V a a ⇒ VS.ABC = 2
12abc
Câu V: Áp dụng BĐT Cô-si ta có:
Dấu " = " xảy ra ⇔ 2a = b + c
Trang 3;
Suy ra: P≥a b c+ +4 =14 Dấu bằng xảy ra ⇔ a = b = c = 13 Kết luận: minP = 1
4
Câu VI.a: 1) Giả sử: A(a; –a–1), B(b; 2b – 1)
Từ điều kiện 2uuur uuur r MA MB+ = 0 tìm được A(1; –2), B(1;1) suy ra (d): x – 1 = 0
2) Gọi (Q) là mặt phẳng qua A, B và vuông góc với (P) ta suy ra (Q): 8x + 7x + 11z –
46 = 0 (D) = (P)∩(Q) suy ra phương trình (D)
(1 ), (1 )
⇒ = i = − i
Câu VI.b: 1) (H) có một tiêu điểm F( 13;0) Giả sử pttt (d): ax + by + c = 0 Khi đó: 9a2 – 4b2 = c2 (*)
Phương trình đường thẳng qua F vuông góc với (d) là (D): b(x− 13) – a y = 0
Toạ độ của M là nghiệm của hệ: + = −13
Bình phương hai vế của từng phương trình rồi cộng lại và kết hợp với (*)
ta được x2 + y2 = 9
2) Lập phương trình mp(ABC); (P) qua A và (P) ⊥ BC; (Q) qua B và (Q) ⊥ AC
Giải hệ gồm ba phương trình ba mặt phẳng trên ta được trực tâm H 36 18 12; ;
49 49 49
Câu VII.b: Ta có: