Đề&HD Toán ĐH 2010 số 24

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số.. Một mặt phẳng P chứa BC và vuông góc với AA’, cắt lăng trụ theo một thiết diện có diện tích 8 a.. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2010

Môn Thi: TOÁN – Khối A

ĐỀ THI THAM KHẢO Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)

Câu I (2 điểm) Cho hàm số y x 3  3x2  4

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2) Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(3; 4) và có hệ số góc là m Tìm m để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, M, N sao cho hai tiếp tuyến của (C) tại M và N vuông góc với

nhau

Câu II (2điểm)

1) Giải hệ phương trình:

2 2







2) Giải phương trình:

sin sin 3 cos cos3 1

8





Câu III (1 điểm) Tính tích phân: 1 2

0

ln( 1)

Câu IV (1 điểm) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu

vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm O của tam giác ABC Một mặt phẳng (P) chứa BC và vuông góc với AA’, cắt lăng trụ theo một thiết diện có diện tích

8

a

Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’.

Câu V (1 điểm) Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn abc = 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P

II PHẦN RIÊNG (3 điểm)

A Theo chương trình chuẩn

Câu VI.a (2 điểm)

đường thẳng BC

2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (D) có phương trình tham số

(D) và I(–2;0;2) là hình chiếu vuông góc của A trên (D) Viết phương trình của mặt phẳng chứa  và có khoảng cách đến (D) là lớn nhất

Câu VII.a (1điểm) Tìm hệ số của số hạng chứa x2 trong khai triển nhị thức Niutơn của

4

1 2



n x

2





n n

n

B Theo chương trình nâng cao

Câu VI.b (2 điểm)

2) Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1; 2; 5), B(1; 4; 3), C(5; 2; 1) và mặt phẳng (P): x – y – z – 3 = 0 Gọi M là một điểm thay đổi trên mặt phẳng (P) Tìm giá trị nhỏ nhất

của biểu thức MA2 MB2 MC2

Câu VII.b (1 điểm) Giải hệ phương trình 2( 1)

1







  



x y x y

x y

Hướng dẫn Câu I: 2) d cĩ phương trình y = m(x – 3) + 4.

Hồnh độ giao điểm của d và (C) là nghiệm của phương trình:

2

3

0





 



x

9



 m m m m   m  m  m (thỏa mãn)

Câu II: 1) y = 0 khơng phải là nghiệm Hệ PT 

2

2

1

2 2 1

 

   











x

x y y

x

x y y

Đặt



1

 









u v

u v

1

2 1

 







   



x y

x y

Nghiệm của hpt đã cho là (1; 2), (–2; 5)

x  x  x  x 

x  x  x   x

sin sin 3 cos cos3

8

1 cos 2 cos2 cos 4 1 cos 2 cos 2 cos 4 1

3

2(cos 2 cos 2 cos 4 ) cos 2 cos 2

6











 



 

  



x k (loại)

Vậy phương trình cĩ nghiệm

6





 

x k ,(kZ)

2 1

2















x

v

2

2 0 0

1 2



 



x x

ln 3 (2 1)



 x dx x x x dx x dx x



I

Câu IV: Gọi M là trung điểm của BC, gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên AA’ Khi

bởi (P) là tam giác BCH

BCH

AO HM a a a

A O

Câu V: Ta có a2+b2  2ab, b2+ 1  2b  2 2 2 2 2

.

P

1

2



Câu VI.a: 1) Điểm C CD x y :   1 0   C t ;1 t

 

1 0

  







  



x y

I

x y

7 1 8



 

x y

 









(1 )

  n  n  n  n    n n n

2

0





C x n C x n C x n  C x n n n 

n

2







n n



n n

2







n n

n

1

1









n

n







n

7

4

2





k

k

4



k

k

7 2

2 C 4

Câu VI.b: 1) Do B  d1 nên B(m; – m – 5), C  d2 nên C(7 – 2n; n)

   



1 1





 





m

0

3 3

                                                                 



7 8

3 3

19

3 3 ( ,( ))

1 1 1 3 3

  

 

MG d G P

Vậy F nhỏ nhất bằng

2

19 64 553 3.

3 3

Câu VII.b: Đặt   

 



u x y

1









  



x y

x y



 Nếu u > v hoặc u < v thì (2) vô nghiệm

v