Gọi I là trung điểm của cạnh BC và D là một điểm bất kỳ trên cạnh BC.. Đường trung trực của AD cắt các đường trung trực của AB và AC theo thứ tự tại E và F.. Chứng minh rằng năm điểm A,
Trang 1TRƯờNG THCS GIA KHáNH
ĐỀ THI TUYỂN CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2009 – 2010 MễN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phỳt (Khụng kể thời gian giao đề)
………
I trắc nghiệm
Khoanh tròn vào chữ cái đứng trớc câu trả lời đúng
Cõu 1: Với a > 0, b > 0 thỡ
a
b b
a b
a
A 2 B
b
ab
2 C
b
a
D
b
a
2
Cõu 2: Biểu thức
2 2
8
bằng:
A 8 B - 2 C -2 2 D – 2
Cõu 3: Giỏ trị biểu thức 2
2
A 1 B 3 - 2 C -1 D 5
Cõu 4: Giỏ trị biểu thức
5 1
5 5
bằng:
A 5 B 5 C 4 5 D 5
Cõu 5: Biểu thức 1 22
x
x
xỏc định khi:
A x ≤
2
1
và x ≠ 0 B x ≥
2
1
và x ≠ 0 C x ≥
2
1
D x ≤
2 1
Cõu 6 :Biết
cos45 sin30 tg30 tg45
sin 60 sin 45 tg45 cot g60
Câu 7: Tam giác ABC có A 900, b = 20; c =21.Độ dài cạnh AH là:
580 21
Câu 8: Một tam giác vuông có 1 cạnh góc vuông lớn gấp 3 lần cạnh góc vuông còn lại và
diện tích là 24 cm2 Khi đó cạnh huyền là:
khác
Câu 9: Tam giác ABC có A 900, b = 8, c = 192; AH BC H BC Độ dài
cạnh AH là:
Cõu 10 : Diện tớch toàn phần của một hỡnh nún cú bỏn kớnh đỏy 7 cm đường sinh dài 10
cm và là :
Trang 2A 220 cm2 B 264 cm2 C 308 cm2 D 374 cm2
( Chọn 22
7
, làm tròn đến hàng đơn vị )
II Tù LuËn:
Câu 1:(2 điểm) Giải hệ phương trình:
x2 - 4y = 1
y2 - 6x= -14
Câu 2:(2 điểm) Toạ độ đỉnh của tam giác ABC là:
A(2;2), B(-2;-8), C(-6;-2) Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC.
Câu 3:(2 điểm) Cho phương trình: 2x2 + (2m - 1) + m – 1=0
a) Tìm m sao cho phương trình có 2 nghiệm x1,x2 thoả mãn
3x1- 4x2 = 11 b) Chứng minh rằng phương trình không có hai nghiệm dương.
Câu 4:(2 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A Gọi I là trung điểm của
cạnh BC và D là một điểm bất kỳ trên cạnh BC Đường trung trực của AD cắt các đường trung trực của AB và AC theo thứ tự tại E và F
Chứng minh rằng năm điểm A, E, I, D, F cùng thuộc một đường tròn.
Câu 5: :(2 điểm) Cho đường tròn (O) và điểm A cố định trên đường tròn.
Tìm quỹ tích các trung điểm M của dây AB khi điểm B di động trên đường tròn đó
Trang 3
-hÕT -HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN - LỚP: 9
KÌ THI TUYỂN CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC THCS
NĂM HỌC: 2006 - 2007
1
(2đ)
x2 - 4y = 1 (1)
y2 - 6x= -14 (2)
Cộng (1) và (2) vế theo vế ta có:
<=> x2 - 6x + 9 + y2-4y + 4 = 0
<=> (x - 3)2 + (y - 2)2 = 0 1
x - 3 = 0 x = 3
y - 2 = 0 y = 2
Vậy hệ PT có nghiệm duy nhất: x = 3
y = 2
0,5
2
(2đ)
-PT đường thẳng qua hai điểm là: y = ax + b 0,25 -Đường thẳng qua A(2;2), B(-2;-8) nên:
2 = 2a + b => a =2,5 ; b = 1
-2 = -2a + b Vậy YAB = 2,5x -3 0,25 -Đường thẳng qua A(2;2), C(-6;-2) nên:
2 = 2a + b => a =0,5 ; b = 1
-2 = -6a + b Vậy YAC = 0,5x + 1
0,25
-Đường trung tuyến BM: Gọi M là trung điểm của AC thì toạ độ M(-2;0)
vậy PT trung tuyến BM là: x = -2
-Gọi N là trung điểm của AB thì toạ độ của N (0;-3)
0,5
-Vậy PT đường trung tuyến CN là: y = -1/6x-3 0,25 Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC là toạ độ giao điểm của CN và BM,
tức là nghiệm của hệ
2
3 6
1
X
X Y
3 2
Y X
Vậy toạ độ trọng tâm G(-2; -8/3)
0,5
3
(2đ)
Ta có = (2m - 1)2 - 4.2(m-1) = 4m2 - 12m + 9 = (2m - 3)2 0 với mọi giá
trị của m Vậy PT đã cho luôn luôn có nghiệm 0,5 Theo định lí Viét ta có: x1- x2 =122m (1) và x1x2 = m2 1 (2)
Muốn có 3x1- 4x2= 11 (3)
Giải hệ PT (1) và (3) ta được x1 =1374m và x2 =1914 6m
0,5 Thế vào PT (2) ta được 8m2 - 17m - 66 = 0
Giải PT này ta được: m1= -2; m2 = 33/8
Trang 4N E
F
K
M
D I
C
B
A
Để hai nghiệm của PT đều là số dương thì phải có:
x1+ x2 > 0 0
2
2 1
m < 1/2 <=> <=>
x1x2 > 0 0
2
1
m
m > 1
Hệ bất PT vô nghiệm Vậy không có giá trị nào của m thoả mãn điều kiện
của đề bài
1,0
-Vẽ hình đúng chính xác
-Gọi M, N, K là trung điểm của AC ; AB ; AI
Δ ABC vuông tại A nên đường trung trực của AB ; AC phải đi qua trung
điểm I của BC Δ ABC vuông tại A có IA là trung tuyến nên IA=IC =>
IAC ICA ; NI // AM (cùng vuông góc với AC)
Suy ra EIA IAC
Ta lại có KM là đường trung bình
của Δ AIC => KM // IC =>
=> IAC KMA
Tứ giác AKMF nội tiếp được nên
KMA KFA
Từ những điều kiện trên, suy ra:
AFK EIA mà chúng cùng nhìn nhìn
đoạn AE
Vậy tứ giác AEIF nội tiếp vì AIF 1 v
(AMIN là hình chữ nhật) nên EF là đường kính của đường tròn ngoại tiếp
mà EF là trung trực của AD nên D nằm trên đường tròn ngoại tiếp tứ giác
AEIF
Hay năm điểm A, D, E, I, F nằm trên đường tròn
0.5
1
0.5
Trang 55(2d)
Vẽ hình đúng, chính xác
* Thuận: Vì M là trung điểm của AB, nên: OM AB AMO = 900 Điểm M nhìn đoạn AO dưới một góc vuông, nên M chạy trên đường tròn đường kính AO
Giới hạn: Vì B chạy khắp đường tròn (O) nên M chạy khắp đường tròn đường kính AO
* Đảo: Lấy N thuộc đường tròn đường kính AO suy ra AN cắt đường tròn (O) tại K
Ta có: góc ANO = 900 suy ra OM’A’B’ suy ra N là trung điểm AK
Kết luận:
Tập hợp trung điểm M của đoạn AB là đường tròn đường kính AO
O
N
K
B M
A