Giáo trình kỹ thuật điều khiển 16 docx

Chúng ta sẽ nghiên cứu các phép biến đổi tương đương và sử dụng biến đổi tương đương để trình bày phương pháp thiết kế bù cho hệ thống vòng kín sử dụng phản hồi trạng thái, được gọi là p

Chương XI

THIẾT KẾ CÁC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN PHẢN HỒI

TRONG KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

Tóm tắt nội dung

Các số đo hiệu suất của hệ thống thường được định nghĩa trong miền thời gian, như phần trăm quá mức, thời gian lên của đáp ứng nhất thời Vì vậy, việc phát triển các phương pháp thiết kế trong miền thời gian là một nhu cầu rất tự nhiên Trong chương này, chúng ta sẽ xem xét đến vấn đề thiết kế bằng cách sử dụng các phương trình của biến trạng thái Các khái niệm tính điều khiển được và tính quan sát được sẽ được giới thiệu và các điều kiện của chúng sẽ được đưa ra thông qua những ví dụ đơn giản

Chúng ta sẽ nghiên cứu các phép biến đổi tương đương và sử dụng biến đổi tương đương để trình bày phương pháp thiết kế bù cho hệ thống vòng kín sử dụng phản hồi trạng thái, được gọi là phương pháp đặt điểm cực Vấn đề cuối cùng sẽ được đề cập tới là việc thiết kế hệ thống phản hồi tối ưu sử dụng chỉ số hiệu suất là tích phân của một hàm bậc hai biểu thị trạng thái năng lượng của hệ thống

11.1 Giới thiệu

Ngoài các kỹ thuật sử dụng quỹ tích nghiệm và đáp ứng tần số, còn có một phương pháp thứ ba được sử dụng trong việc thiết kế các hệ thống điều khiển phản hồi: phương pháp thiết kế trong không gian trạng thái Trong phương pháp này, chúng ta sẽ thiết kế các bộ bù bằng cách sử dụng trực tiếp các mô tả với biến trạng thái của hệ thống Cũng giống như các phương pháp thiết kế trong miền tần

số, mục đích của phương pháp trong không gian trạng thái là xác định hàm

chuyển G c (s) của mạch bù sao cho đáp ứng của hệ thống sau khi bù thỏa mãn

được các yêu cầu thiết kế

Phương pháp thiết kế trong không gian trạng thái có nhiều ưu điểm so với các phương pháp trong miền tần số mà chúng ta đã nghiên cứu ở Chương X Thứ nhất, việc sử dụng trực tiếp mô tả của hệ thống bằng các phương trình vi phân của biến trạng thái, thường được biểu diễn dưới dạng phương trình vi phân của vector trạng thái, cho phép phương pháp trong không gian trạng thái có thể áp dụng được với cả các hệ thống phi tuyến, các hệ thống biến đổi, hay các hệ thống

đa biến, điều mà chúng ta không thể thực hiện được với các phương pháp trong miền tần số Tất nhiên, trong chương này chúng ta vẫn sẽ tập trung chủ yếu vào các hệ thống tuyến tính, có tham số bất biến theo thời gian và đơn biến, nhưng những kết quả được trình bày trong chương có thể mở rộng được cho các trường hợp tổng quát hơn Thứ hai, như chúng ta đã đề cập tới trong Chương V, hiệu suất của hệ thống điều khiển có thể đánh giá được bằng các chỉ số hiệu suất là tích phân của các hàm sai số Các hệ thống điều khiển với chỉ số hiệu suất đạt tới

mức cực trị được gọi là các hệ thống điều khiển tối ưu (optimum control system)

Việc thiết kế các hệ thống điều khiển tối ưu sẽ cần phải tính toán giá trị tối thiểu

của tích phân của các hàm sai số của đáp ứng theo thời gian, vì vậy sẽ thực hiện

được một cách dễ dàng hơn với phương pháp thiết kế trong miền thời gian

Một điểm quan trọng nữa là phương pháp thiết kế trong không gian trạng thái

đặc biệt phù hợp với việc sử dụng máy tính trong tính toán thiết kế, vì vậy

phương pháp này ngày càng trở nên phổ biến hơn trong kỹ thuật điều khiển

11.2 Tính điều khiển được và tính quan sát được

Theo mô hình biến trạng thái đã được trình bày trong Chương III, một hệ thống

động có thể mô tả được bằng phương trình vi phân của vector trạng thái x dưới

dạng như sau:

dt

d

(11.1)

Đáp ứng theo thời gian của hệ thống được xác định từ tín hiệu vào và trạng thái

của hệ thống:

y = Cx + Du (11.2)

ở đó u và y là các vector của các biến vào và các biến ra của hệ thống

Với các hệ thống đơn biến (một biến vào và một biến ra), các phương trình

mô tả hệ thống nói trên có thể viết lại dưới dạng sau đây:

) ( ) ( ) (

t u t dt

t d

b Ax

x

+

) ( ) ( ) (t t du t

Giả sử x là một vector N chiều Khi đó, A là một ma trận N ×N, b là một vector

cột N chiều, c là một vector hàng N chiều, còn d là một giá trị vô hướng

Hệ thống biểu diễn bởi hệ phương trình (11.3) được gọi là điều khiển được

(controllable) nếu chúng ta có thể làm hệ thống chuyển từ một trạng thái bất kỳ

sang bất cứ một trạng thái nào khác trong một khoảng thời gian hữu hạn bằng

cách áp dụng một tín hiệu vào Để làm ví dụ, xem xét mạch điện trong Hình 11.1

Hệ thống này chỉ cần một biến trạng thái duy nhất là hiệu điện thế trên tụ điện C:

x = v c (t) Nếu hiệu điện thế khởi đầu trên tụ điện bằng không, nghĩa là x(0) = 0,

hiệu điện thế này sẽ luôn bằng không bất kể chúng ta cho hiệu điện thế vào bằng

bao nhiêu, do tính đối xứng của các giá trị điện trở trong mạch Trong trường hợp

đó, chúng ta không thể làm hệ thống chuyển từ trạng thái x = 0 sang một trạng

thái x ≠ 0 Vì vậy, chúng ta có thể nói rằng mạch điện trong Hình 11.1 không

điều khiển được

Nếu như chúng ta có thể xác định giá trị khởi đầu của các biến trạng thái từ

các thông tin về biến vào và biến ra của hệ thống trong một khoảng thời gian hữu

hạn, hệ thống khi đó sẽ được coi là quan sát được (observable) Xem xét mạch

điện trong Hình 11.2 có tín hiệu vào là dòng điện i(t) Tương tự như ví dụ chúng

ta đã xem xét ở mục 3.2 (Chương III), trạng thái năng lượng của mạch điện này

có thể biểu diễn được thông qua hai biến x1(t) = i L (t) và x2(t) = v c (t) Tuy nhiên,

nếu tín hiệu ra của hệ thống là hiệu điện thế v R (t) trên điện trở R, tín hiệu ra sẽ

không phụ thuộc vào hai biến trạng thái này do v R (t) luôn bằng Ri(t), vì vậy

chúng ta sẽ không thể xác định được các giá trị khởi đầu x1(0) và x2(0) từ tín hiệu

vào i(t) và tín hiệu ra v R (t), do đó hệ thống sẽ được coi là không quan sát được

Còn nếu chúng ta sử dụng hiệu điện thế v c (t) làm tín hiệu ra, hệ thống khi đó sẽ là

hệ thống quan sát được bởi vì chúng ta sẽ tính được các giá trị khởi đầu x1(0) và

x2(0) từ các giá trị của tín hiệu vào i(t) và tín hiệu ra v c (t)

R1 R1

R2 R2

C v(t)

vra (t)

v c (t)

Hình 11.1 Mạch điện không điều khiển được

Tiếp theo, chúng ta sẽ quan tâm tới các điều kiện để hệ thống biểu diễn bởi hệ

phương trình (11.3) là hệ thống điều khiển được và quan sát được

v R (t)

C

R

Hình 11.2 Một mạch RLC

i(t)

L

v c (t)

i L (t)

Theo kết quả đã được trình bày ở Chương III, nghiệm của phương trình vi

phân của vector trạng thái trong hệ phương trình (11.3) có dạng như sau:

+

=

t t

e t

0

)

) 0 ( )

ở đó:

∑∞

=

+

=

1 !

i

i i t

i t

Thay (11.5) vào bên trong tích phân của phương trình (11.4) và biến đổi phương

trình (11.4) về dạng sau đây:

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

=

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

+

=

−

∫

∫

∫

=

! 2

) ( ) (

) ( ) (

) (

]

[

) (

!

) ( )

0 ( )

(

0

2 0

0 2

t t t

t

i

i i

t

d u t

d u t

d u

d u i

t e

t

τ τ τ

τ τ τ

τ τ

τ τ τ

b A Ab b

b

A I

x

(11.6)

Để hệ thống điều khiển được, luôn phải tồn tại nghiệm của u(t) cho phương trình

(11.6) với mọi x(t) và x(0) Điều đó xảy ra khi và chỉ khi hạng của ma trận

]

[b Ab A2b đúng bằng N Ma trận này là một ma trận có N hàng và có số

cột bằng vô cùng Theo định lý Cayley-Hamilton, ma trận AN với A là một ma

trận vuông có kích thước N×N sẽ là tổ hợp tuyến tính của các ma trận A0, A1,

A2, , AN-1 Vì vậy, hạng của ma trận [b Ab A2b ] sẽ đúng bằng hạng của

ma trận vuông có kích thước N×N dưới đây:

]

[b Ab A2b A 1b

Ma trận U được gọi là ma trận của tính điều khiển được (controllability matrix)

của hệ phương trình (11.3) Như vậy, điều kiện cần và đủ để hệ thống biểu diễn

bởi hệ phương trình (11.3) điều khiển được là ma trận U phải không suy biến

Để làm ví dụ, xem xét một hệ thống được biểu diễn bằng hệ phương trình sau

đây:

x x

1 2

0

1 0

1

1 5 , 1

−

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡ +

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

y

u dt

d

(11.8)

Ma trận của tính điều khiển được của hệ thống là:

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

=

1 0

5 , 1 1

Ab b

Ma trận U không suy biến vì có định thức khác không Vì vậy, hệ thống đang

được xem xét là một hệ thống điều khiển được

Thay (11.4) vào phương trình thứ hai của hệ phương trình (11.3), chúng ta

tính được biến ra của hệ thống như sau:

) ( )

( )

0 (

]

! 2 1

[

) ( )

( )

0 (

!

) ( )

( )

0 (

0

) ( 2

2

0

) ( 1

0

) (

t du d u e

t t

t du d u e

i t

t du d

u e

e y(t)

t t

t t i

i i

t t t

+ +

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

=

+ +

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡ +

=

+

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

+

=

∫

∫

∑

∫

−

−

∞

=

−

τ τ

τ τ

τ τ

τ

τ τ

b c

x cA cA c

b c

x

A I

c

b x

c

Α

Α

Α A

(11.10)

Để hệ thống quan sát được, luôn phải tồn tại nghiệm của x(0) với mọi u(t) và y(t)

Tương tự như với tính điều khiển được, chúng ta sẽ rút ra được điều kiện cần và

đủ để hệ thống biểu diễn bởi hệ phương trình (11.3) quan sát được là ma trận

vuông có kích thước N×N dưới đây:

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

=

−1

2

N

cA

cA cA c

phải không suy biến Ma trận V được gọi là ma trận của tính quan sát được

(observability matrix) của hệ phương trình (11.3)

Quay lại với ví dụ ở trên, ma trận của tính quan sát được của hệ thống được

tính như sau:

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

2 2

1 2

cA

c

Ma trận V cũng có định thức khác không Vì vậy, hệ thống trong ví dụ nói trên là

một hệ thống quan sát được

Ngoài các điều kiện về tính điều khiển được và tính quan sát được trên đây,

còn nhiều điều kiện khác cũng có thể sử dụng được Hai điều kiện chúng ta đã

xem xét là những điều kiện được được đề cập tới nhiều nhất bởi sự dễ hiểu của

chúng

11.3 Sự triệt tiêu điểm cực-điểm không

Từ các điều kiện về tính điều khiển được và tính quan sát được trên đây, chúng ta

có thể rút ra được mối quan hệ giữa tính điều khiển được và tính quan sát được

với hàm chuyển của hệ thống qua định lý sau đây

ƒ Định lý 11.1

Một hệ thống là điều khiển được và quan sát được nếu hàm chuyển được sinh ra

từ biểu diễn của hệ thống trong không gian trạng thái không thể rút gọn hơn

được, nghĩa là không xảy ra sự triệt tiêu điểm cực-điểm không (pole-zero

cancellation) của hàm chuyển

Mối quan hệ nói trên sẽ được làm rõ thông qua ví dụ sau đây: Xem xét một hệ

thống bao gồm hai khối nối tiếp với nhau Khối thứ nhất được biểu diễn bằng hệ

phương trình sau:

1 1

1 1 1

x y

u x dt dx

=

+

=

(11.13)

và biểu diễn trong không gian trạng thái của khối thứ hai là:

2 2 2

2 2

u x y

u x dt dx

+

=

−

−

=

(11.14) Hàm chuyển của hai khối sẽ lần lượt là:

1

1 ) (

1 s = s−

và

1

1 )

(

−

=

s

s s

Hàm chuyển của hệ thống gồm hai khối mắc nối tiếp là:

1

1 1

1 ) ( ) ( )

+

−

⋅

−

=

=

s

s s s G s G s

Vì hàm chuyển này rút gọn được nên hệ thống không thể vừa điều khiển được,

vừa quan sát được, theo Định lý 11.1 Chúng ta sẽ xem xét hai trường hợp sau:

− Nếu khối thứ hai mắc phía trước khối thứ nhất: Trong trường hợp này, tín

hiệu vào của hệ thống là u = u1, tín hiệu ra y = y2, tín hiệu ra y1 của khối

thứ nhất sẽ trở thành tín hiệu vào u2 của khối thứ hai, vì vậy phương trình

sẽ được biểu diễn trong không gian trạng thái như sau:

1 2

1 2 2

1 1

2

x x y

x x dt dx

u x dt dx

+

=

−

−

=

+

=

(11.18)

hay:

x x

1 1

0

1 1 2

0 1

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡ +

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

−

=

y

u dt

d

(11.19)

Chúng ta tính được các ma trận U và V của hệ phương trình (11.19) như

sau:

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

=

=

2 0

1 1

Ab b

và:

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

−

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

1 1

1 1

cA

c

Do det(U) ≠ 0 và det(V) = 0, hệ thống sẽ điều khiển được nhưng không

quan sát được

− Nếu khối thứ hai mắc phía sau khối thứ nhất: Trong trường hợp này, tín

hiệu vào của hệ thống là u = u2, tín hiệu ra y = y1, tín hiệu ra y2 của khối

thứ nhất sẽ trở thành tín hiệu vào u1 của khối thứ hai, vì vậy phương trình

sẽ được biểu diễn trong không gian trạng thái như sau:

1

2 2

2 1 1

2

x y

u x dt dx

u x x dt dx

=

−

−

=

+ +

=

(11.22)

hay:

x x

0 1

2

1 1

0

1 1

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

− +

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

=

y

u dt

d

(11.23)

Chúng ta tính được các ma trận U và V của hệ phương trình (11.23) như

sau:

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

−

=

=

2 2

1 1

Ab b

và:

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

1 1

0 1

cA

c

Do det(U) = 0 và det(V) ≠ 0, hệ thống sẽ quan sát được nhưng không điều

khiển được

11.4 Các phương trình biến trạng thái tương đương

Chúng ta tiếp tục xem xét hệ thống được biểu diễn trong không gian trạng thái

bởi hệ phương trình (11.3) có vector trạng thái x là một vector N chiều Chọn một

ma trận P sao cho P là một ma trận không suy biến có kích thước N ×N Định

nghĩa một vector x' = Px, nghĩa là x = P−1x' Thay x = P−1x' vào (11.3), chúng ta

có được hệ phương trình mới:

du y

u dt

d

+

′

=

+

′

=

′

−

−

−

x cP

b x AP x

P

1

1

1 ) (

(11.26) hay:

u u

dt

d

b x A Pb x PAP

u d du

ở đó, A' = PAP−1, b' = Pb, c' = cP−1 và d' = d Điều dễ thấy là hai hệ phương trình

(11.3) và (11.27) có dạng giống hệt nhau Vector x' là kết quả của một phép biến

đổi tuyến tính với vector trạng thái x Phép biến đổi đó được gọi là phép biến đổi

tương đương (equivalence transformation), được biểu diễn bởi ma trận biến đổi

P Các phương trình của (11.3) và (11.27) được gọi là các phương trình biến

trạng thái tương đương (equivalent state-variable equations) Phép biến đổi A' =

PAP−1 được gọi là phép biến đổi đồng dạng (similarity transformation) Một đặc

điểm của phép biến đổi đồng dạng này là nó không làm thay đổi các giá trị riêng

của ma trận A, nghĩa là hai ma trận A và A' có cùng các giá trị riêng Như chúng

ta đã biết từ Chương VI, các giá trị riêng của ma trận A chính là các nghiệm của

phương trình đặc trưng của hệ thống được biểu diễn bởi hệ phương trình (11.3)

Như vậy, hai ma trận A và A' có cùng các giá trị riêng có nghĩa là phép biến đổi

tương đương không làm thay đổi hàm chuyển

Ma trận của tính điều khiển được của hệ phương trình (11.27) là:

PU b PA b

PA PAb Pb

Pb PAP

Pb PAP

Pb PAP Pb

b A b

A b A b U

=

=

=

′

′

′

′

′

′

=

′

−

−

−

−

−

−

]

[

] )

(

) (

[

]

[

1 2

1 1 2

1 1

1 2

N

N

N

(11.28)

Vì P là một ma trận không suy biến, hạng của hai ma trận U và U' sẽ bằng nhau

Điều đó có nghĩa là phép biến đổi tương đương không làm thay đổi tính điều

khiển được Tương tự, phép biến đổi tương đương cũng không làm thay đổi tính

quan sát được

11.5 Đặt điểm cực bằng phản hồi trạng thái

Trong phần này, chúng ta sẽ nghiên cứu phương pháp thiết kế sử dụng phản hồi

trạng thái (state feedback) để đặt giá trị cho các điểm cực (pole placement) của

phương trình đặc trưng của hệ thống Với hệ thống biểu diễn bởi hệ phương trình

(11.3), các điểm cực của hàm chuyển G(s) chính là các giá trị riêng của ma trận

A Chúng ta sẽ thiết kế một hệ thống sử dụng thông tin phản hồi của tất cả các

biến trạng thái với các hệ số phản hồi không đổi Đặt h=[K1 K2 K N] là

vector của các hệ số phản hồi trạng thái Tín hiệu u(t) để điều khiển quá trình

G(s) khi đó sẽ là:

ở đó r(t) là một tín hiệu đối sánh, thường là đáp ứng được mong muốn cho hệ

thống Thay (11.29) vào hệ phương trình (11.3):

r r

dt

d

b x bh A hx b Ax

dr d

r d

y=cx+ ( −hx)=(c− h)x+ (11.30b) Các điểm cực của hệ thống với phản hồi trạng thái sẽ là các giá trị riêng của ma

trận (A − bh) Chúng ta sẽ chứng tỏ rằng, nếu hệ thống biểu diễn bởi hệ phương

trình trạng thái (11.3) là điều khiển được thì chúng ta có thể đặt được các giá trị

mong muốn cho các điểm cực của hệ thống phản hồi biểu diễn bởi hệ phương

trình (11.30) bằng cách chọn giá trị thích hợp cho các hệ số phản hồi trạng thái

Gọi ∆(s) là đa thức đặc trưng của ma trận A: ∆(s) = det(sI − A) Phương trình

∆(s) = 0 chính là phương trình đặc trưng của hàm chuyển G(s) Giả sử ∆(s) được

biểu diễn như sau:

N N

N

s

Chúng ta sẽ xác định một phép biến đổi tương đương với ma trận biến đổi P để

biến đổi phương trình (11.3a) về dạng chính tắc cho hệ thống điều khiển (control

canonical form) như sau:

u

a a

a a

u dt

d

N N

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡ +

′

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

=

′ +

′

′

=

′

−

0

0 0 1

0 1

0 0

0 0

1 0

0 0

0 1

2 1

x

b x A x

(11.32)

ở đó A' = PAP−1, hay:

Giả sử ma trận P được biểu diễn dưới dạng:

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

=

N

p

p

p P

2

1 (11.34)

ở đó pi (i = 1 N) là các vector hàng N chiều Phương trình (11.33) trở thành:

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

=

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

A p

A p

A p

A p

p

p p p

N N

N

a a

a

0 1

0 0

0 0

1 0

0 0

0 1

3 2 1

3 2

1 1

2 1

(11.35)

Từ phương trình (11.35), chúng ta có được hệ phương trình sau đây:

A p p

A p p

A p p

A p p

N N

N i i i

a

=

=

=

=

−

−

=

∑

1

3 2

2 1

1 1

(11.36)

Chúng ta còn có Pb = b', hay:

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

=

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

0

0 1

2 1

b p

b p

b p

N

(11.37)

Từ (11.36) và (11.37) sẽ suy ra được:

1

0 0

0

1 2

1

2 1

2 1

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

−

−

−

−

b A p Ab

p b p

b A p Ab p b p

Ab p b p

b p

N N

N N

N

N N

N

(11.38)

Biểu diễn hệ phương trình (11.38) dưới dạng ma trận:

] 1

0 0 [ ]

[b Ab A −1b =

hay:

] 1

0 0 [

=

U

Nếu hệ thống biểu diễn bởi hệ phương trình trạng thái (11.3) là điều khiển được,

nghĩa là ma trận U không suy biến, chúng ta sẽ tính được pN từ phương trình

(11.40):

1 ] 1

0 0

Với pN đã xác định, ma trận biến đổi P sẽ tính được như sau: