Giáo trình kỹ thuật điều khiển 13 ppsx

Giao điểm của đường tròn này với đồ thị cực của Giω sẽ là các điểm tương ứng với các tần số mà tại đó độ lớn của đáp ứng tần số của Tiω bằng M.. Giao điểm của đường tròn này với đồ thị

2

2 2

2 2

2

2

2 2

2 2

1 1

1 1

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

−

+

−

= +

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

−

+

−

−

M

M M

M v

M

M u

M

M

hay:

2 2 2

2

2

2

1

1 ⎟⎟ + =⎜⎜⎝⎛ − ⎟⎟⎠⎞

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

−

−

M

M v

M

M

Phương trình (9.45) là phương trình của một đường tròn trong mặt phẳng G(iω)

có tâm tại điểm (M2/(1 − M2), 0) và có bán kín là |M/(1 − M2)| Khi M(ω) > 1,

đường tròn này nằm bên phải của đường thẳng u = 1/2 trong mặt phẳng G(iω),

còn khi M(ω) < 1, đường tròn này nằm bên trái của đường thẳng u = 1/2 Nếu

M(ω ) = 1, đường tròn sẽ trở thành đường thẳng u = 1/2 Như vậy, với một giá trị

M(ω ) = M, chúng ta sẽ vẽ được một đường tròn trong mặt phẳng G(iω) có

phương trình là (9.45) Giao điểm của đường tròn này với đồ thị cực của G(iω) sẽ

là các điểm tương ứng với các tần số mà tại đó độ lớn của đáp ứng tần số của

T(iω ) bằng M Với M(ω) = M pω, chúng ta vẽ được đường tròn có tâm tại điểm

) 0 , ) 1

(

ω

ω

M − Đường tròn này tiếp

xúc với đồ thị cực của G(iω) tại điểm tương ứng với tần số cộng hưởng ωr (Hình

9.10)

Hình 9.10 Đồ thị cực của G(iω) và các đường tròn với các giá trị

khác nhau của |T(iω)|

u

iv

ω = ωr

ω = ω1

ω = ω2

0

Tương tự, chúng ta tính được góc pha của đáp ứng tần số vòng kín bằng công

thức sau đây:

u

v u

v iv

u iv

u i

T

+

−

= + +

∠

− +

∠

=

∠

=

1 arctan arctan

) 1

( ) ( ) ( )

Lấy tangent cả hai vế của phương trình (9.46), chúng ta có:

2 2

)]

1 ( )[

( 1

) 1 (

1 arctan tan

arctan tan

1

1 arctan tan

arctan tan

1 arctan arctan

tan ) ( tan

v u u v

u v u v

u v u v

u

v u

v

u

v u

v

u

v u

v

+ +

=

+ +

+

−

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

−

= ω φ

(9.47)

hay:

0 tan

2

2 + + − =

φ

v v

u

Cộng cả hai vế của phương trình (9.48) với ⎟⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛ + φ 2 tan

1 1 4

1

, chúng ta có được:

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛ +

= +

− + + +

φ φ

2 2

tan

1 1 4

1 tan

4

1 tan

4

v u

hay:

2 2

2

sin 2

1 tan

2

1 2

1

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ − +

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

φ φ

v

Phương trình (9.50) là phương trình của một đường tròn trong mặt phẳng G(iω)

có tâm tại điểm (−1/2, 1/(2tanφ)) và có bán kính là 1/|2sinφ| Như vậy, với một

giá trị φ(ω) = φ, chúng ta sẽ vẽ được một đường tròn trong mặt phẳng G(iω) có

phương trình là (9.50) Giao điểm của đường tròn này với đồ thị cực của G(iω) sẽ

là các điểm tương ứng với các tần số mà tại đó góc pha của đáp ứng tần số của

T(iω) bằng φ

Chúng ta có thể dùng các đường tròn tương ứng với các giá trị độ lớn và góc

pha của đáp ứng tần số của T(iω) trong đồ thị cực của G(iω) để xác định đáp ứng

tần số của T(iω) Tuy nhiên, việc này sẽ được thực hiện dễ dàng hơn nếu chúng

ta sử dụng đồ thị logarit độ lớn theo pha của G(iω) thay cho đồ thị cực Đồ thị

logarit độ lớn theo pha (log-magnitude-phase diagram) tương đương với đồ thị

Bode, tuy nhiên trong đó đáp ứng tần số sẽ được biểu diễn bằng một đồ thị với

một trục là góc pha và trục kia là độ lớn của đáp ứng tần số tính theo dB, khác

với đồ thị Bode gồm hai phần cho độ lớn và góc pha theo tần số Các đường tròn

tương ứng với các giá trị độ lớn và góc pha của đáp ứng tần số của T(iω) sẽ trở

thành lưới các đường cong trong đồ thị logarit độ lớn theo pha của G(iω) Đồ thị

logarit độ lớn theo pha của hàm chuyển vòng hở G(iω) với lưới các đường cong

tương ứng với các giá trị logarit độ lớn (tính bằng dB) và góc pha của hàm

chuyển vòng kín G(iω)/[1 + G(iω)] được gọi là biểu đồ Nichols của G(iω) Biểu

đồ Nichols của hàm chuyển vòng hở sau đây:

) 1 2 , 0 )(

1 (

1 )

(

+ +

=

ω ω

ω

ω

i i

i i

được thể hiện trong Hình 9.11 Sử dụng biểu đồ này, chúng ta thấy đường tiếp

xúc với đồ thị của đáp ứng tần số của G(iω) tương ứng với giá trị logarit độ lớn

của hàm chuyển vòng kín G(iω)/[1 + G(iω)] khoảng 2,5dB, và góc pha tại điểm

tiếp xúc, tức là tại tần số cộng hưởng, của hàm chuyển vòng kín là khoảng −72o

Phương pháp sử dụng biểu đồ Nichols cho phép chúng ta xác định đáp ứng

tần số của hệ thống vòng kín từ đáp ứng tần số vòng hở, nếu hàm chuyển của

khối phản hồi H(s) = 1 Nếu H(s) ≠ 1, chúng ta vẫn có thể sử dụng phương pháp

này, nhưng dựa trên đáp ứng tần số của hàm P(iω) = G(iω)H(iω) thay cho hàm

chuyển vòng hở G(iω) Vì thế hàm chuyển G(iω)H(iω) được gọi là hàm chuyển

vòng hở của hệ thống vòng kín

20log 10|G| (dB)

φ(ω) (o)

Đáp ứng tần số

của G(iω) Độ lớn của

G/(1 + G)

theo dB

Góc pha của

G/(1 + G)

−180 −150 −120 −90 o −50 o −30 o

Hình 9.11 Biểu đồ Nichols của hàm chuyển vòng hở

G(iω) = 1/[iω(iω + 1)(0,2iω + 1)]

9.6 Tính ổn định của hệ thống điều khiển với trễ

Nhiều hệ thống điều khiển có trễ trong vòng kín của hệ thống, làm ảnh hưởng

đến tính ổn định Trễ (time delay) là khoảng thời gian giữa thời điểm khởi đầu

của một sự kiện tại một điểm trong hệ thống và thời điểm xảy ra hành động là kết

quả của sự kiện đó tại một điểm khác trong hệ thống Điều kiện Nyquist có thể sử

dụng được để xác định ảnh hưởng của trễ tới tính ổn định tương đối của hệ thống

phản hồi Trễ thuần túy (pure time delay) là trễ có thể biểu diễn được bằng hàm

chuyển có dạng sau đây:

ở đó T là thời gian trễ Loại trễ này gây ra do tín hiệu được truyền dưới dạng

chuyển động của một dạng vật chất cần một khoảng thời gian hữu hạn để đi từ

một điểm tới một điểm khác trong hệ thống Trong trường hợp này, các điểm

không và điểm cực của hàm chuyển không bị thay đổi, vì vậy dạng của đáp ứng

nhất thời cũng không thay đổi khi trễ được tính đến Điều kiện Nyquist vẫn áp

dụng được cho hệ thống với trễ Với đáp ứng tần số của hệ thống, thành phần

e −iωT không làm thay đổi độ lớn mà chỉ gây ra một sự dịch pha của đáp ứng tần

số

Như chúng ta đã đề cập tới trong mục 9.4, dự trữ pha là một chỉ số thể hiện

tính ổn định tương đối của hệ thống vòng kín Thành phần trễ e −iωT sẽ gây ra một

sự chậm pha, làm giảm dự trữ pha của hệ thống, nghĩa là sẽ làm cho hệ thống

kém ổn định hơn

Bài tập

Bài 9.1 Một hệ thống phản hồi đơn vị âm có hàm chuyển vòng hở như sau:

) 2 )(

1 ( ) (

+ +

=

s s s

K s

G

(a) Xác định dự trữ gia lượng của hệ thống (bằng dB) khi K = 4

(b) Xác định giá trị của K để dự trữ gia lượng của hệ thống bằng 16dB

(c) Xác định dự trữ pha của hệ thống khi K = 3

Bài 9.2 Vẽ đồ thị cực của hàm chuyển vòng hở G(s)H(s) trong các trường hợp

sau và dùng điều kiện Nyquist để xác định tính ổn định của các hệ thống vòng

kín tương ứng:

(a)

) 4 (

) ( )

+ +

=

s s s

K s

H

s

G

(b)

) 2 (

) 1 ( ) ( )

+

+

=

s s

s K s H

s

G

Bài 9.3

(a) Tìm một chu tuyến Γs phù hợp trong mặt phẳng s có thể dùng với định lý

của Cauchy để xác định xem hệ thống có thỏa mãn điều kiện tất cả các

nghiệm của phương trình đặc trưng đều có tỷ số cản lớn hơn một giá trị ζ1

(b) Tìm một chu tuyến Γs phù hợp trong mặt phẳng s có thể dùng với định lý

của Cauchy để xác định xem hệ thống có thỏa mãn điều kiện tất cả các

nghiệm của phương trình đặc trưng đều có phần thực nhỏ hơn một giá trị

−σ1

(c) Sử dụng định lý của Cauchy và chu tuyến Γs trong phần (b) để xác định xem hệ thống sau có thỏa mãn điều kiện tất cả các nghiệm của phương trình đặc trưng đều có phần thực nhỏ hơn −1, với phương trình đặc trưng của hệ thống là:

q(s) = s3 + 8s2 + 30s + 36

Bài 9.4 Một hệ thống phản hồi âm có hàm chuyển của quá trình là:

) 1 4 )(

1 ( ) (

+ +

=

s s

K s

G

và hàm chuyển của khối phản hồi là:

1 5 , 0

1 )

(

+

=

s s

H

(a) Xác định giá trị của K để sai số ở trạng thái thường trực của hệ thống nhỏ

hơn 7% khi tín hiệu vào của hệ thống là hàm nhảy bậc

(b) Với giá trị K được xác định trong phần (a), sử dụng điều kiện Nyquist để

xem xét tính ổn định của hệ thống

(c) Xác định dự trữ pha và dự trữ gia lượng của hệ thống

Bài 9.5 Sơ đồ khối của một hệ thống vòng kín với trễ được biểu diễn trong hình

dưới, ở đó thời gian trễ T = 6s

e −sT

_ +

(a) Sử dụng điều kiện Nyquist để xác định tính ổn định của hệ thống với giá

trị K = 1

(b) Xác định K để hệ thống ổn định

Chương X

THIẾT KẾ CÁC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN PHẢN HỒI

TRONG MIỀN TẦN SỐ

Tóm tắt nội dung

Trong các chương trước, chúng ta đã nghiên cứu các phương pháp nhằm đạt được hiệu suất mong muốn cho hệ thống bằng cách điều chỉnh một hay nhiều tham số Tuy nhiên, chúng ta cũng nhận thấy rằng chỉ điều chỉnh tham số không phải trong trường hợp nào cũng đủ để có được hiệu suất mong muốn Vì vậy, có thể cần phải đưa thêm một khối mới vào trong hệ thống để bù đắp cho những hạn chế của hệ thống ban đầu Khối này được gọi là bộ bù Chương này sẽ giới thiệu một số phương pháp thiết kế bù trong miền tần số cho phép chúng ta đạt được hiệu suất mong muốn cho hệ thống Nhiều phương pháp bù khác nhau sẽ được thảo luận để nêu bật được sự hữu ích của chúng trong việc cải thiện hiệu suất

10.1 Giới thiệu

Hiệu suất của hệ thống điều khiển phản hồi là vấn đề có tầm quan trọng bậc nhất Trong Chương V, chúng ta đã nghiên cứu các số đo định lượng cho hiệu suất Các yêu cầu về hiệu suất nhiều khi đối chọi với nhau và thường là không thể thỏa mãn tất cả một cách hoàn toàn, vì vậy chúng ta phải tìm ra sự thỏa hiệp giữa các yêu cầu để điều chỉnh các tham số của hệ thống nhằm đạt được một hiệu suất phù hợp

Chúng ta cũng đã nhận ra từ các chương trước là việc có được đáp ứng hệ thống mong muốn không chỉ đơn giản là điều chỉnh các tham số, mà trong nhiều tình huống đòi hỏi phải xem xét lại cấu trúc và thiết kế lại hệ thống Điều đó có nghĩa là, việc thiết kế một hệ thống điều khiển bao gồm việc sắp đặt cấu trúc của

hệ thống và lựa chọn các phần tử và tham số phù hợp Việc thay đổi hay điều chỉnh cấu trúc của hệ thống điều khiển để đạt được hiệu suất phù hợp được gọi là

bù (compensation) Bù là việc điều chỉnh cấu trúc hệ thống nhằm sửa chữa những

thiếu sót hay thiếu phù hợp Mục đích của chương này là xem xét những vấn đề của thiết kế và bù đối với hệ thống điều khiển

Phương pháp bù thay đổi đáp ứng của hệ thống bằng cách thêm phần tử vào cấu trúc của hệ thống phản hồi Phần tử này sẽ cân bằng hoặc bù cho những thiếu sót của hiệu suất Thiết bị bù có thể là một thiết bị điện, cơ khí, thủy lực, khí hay

nhiều kiểu thiết bị hay mạch khác, được gọi là bộ bù (compensator) Thường thì

trong các hệ thống điều khiển, bộ bù là một mạch điện, vì thế còn thường được

gọi là mạch bù (compensation network) Hàm chuyển của một bộ bù có dạng

G c (s) = Era(s)/Evào(s), ở đó Evào(s) và Era(s) là biến đổi Laplace của tín hiệu vào và

ra của bộ bù Bộ bù có thể được đặt ở một vị trí phù hợp trong cấu trúc của hệ thống Vài kiểu bù cho một hệ thống điều khiển phản hồi một vòng đơn giản

được thể hiện trong Hình 10.1 Bộ bù được đặt trên đường cấp tiếp (feedforward

path) được gọi là bộ bù nối tiếp (cascade compensator) (Hình 10.1a) Ngoài ra còn các sơ đồ bù khác như bù phản hồi (feedback compensator), bù tín hiệu ra hay tải (output/load compensator), bù tín hiệu vào (input compensator) Việc lựa

chọn sơ đồ bù cho một hệ thuộc vào các yêu cầu đối với hệ thống, mức công suất tại các nút tín hiệu trong hệ thống và các thiết bị bù sẵn có Tuy nhiên, các sơ đồ

bù thường được sử dụng nhất vẫn là bù nối tiếp và bù phản hồi (HÌnh 10.1a và b)

−H(s)

Bù

−H(s)

(a) Bù nối tiếp

G c (s)

(b) Bù phản hồi

−H(s) (c) Bù tín hiệu ra hay tải

−H(s) (d) Bù tín hiệu vào

Hình 10.1 Các kiểu bù

Thường thì cách tốt nhất và đơn giản nhất để cải thiện hiệu suất của một hệ thống điều khiển là thay đổi bản thân quá trình nếu có thể Tuy nhiên, chúng ta cũng thường gặp các trường hợp ở đó quá trình là không thể thay đổi hay đã được thay đổi tới mức tối đa có thể được nhưng vẫn không đạt được hiệu suất mong muốn Khi đó việc thêm các mạch bù vào hệ thống trở nên rất hữu ích cho việc cải thiện hiệu suất của hệ thống Trong chương này chúng ta sẽ giả thiết rằng

quá trình đã được cải thiện tới mức tốt nhất có thể, vì thế hàm chuyển G(s) của

quá trình là không thể thay đổi thêm được nữa

10.2 Các phương pháp bù

Chúng ta đã biết từ các chương trước rằng hiệu suất của một hệ thống điều khiển

có thể mô tả được bằng các số đo hiệu suất trong miền thời gian, như thời gian

tới đỉnh, phần trăm quá mức, thời gian quá độ Ngoài ra, người ta còn đặt ra

mức sai số ở trạng thái thường trực lớn nhất được phép cho một số tín hiệu vào

thử và nhiễu Các yêu cầu về hiệu suất này có mối quan hệ với vị trí của các điểm

cực và điểm không của hàm chuyển của hệ thống trong mặt phẳng s Chúng ta có

thể sử dụng phương pháp quỹ tích nghiệm để xác định vị trí thích hợp cho các

nghiệm của phương trình đặc trưng của hệ thống nhằm thỏa mãn các yêu cầu về

hiệu suất Tuy nhiên, khi việc sử dụng phương pháp quỹ tích nghiệm không cho

ra được một cấu hình ưng ý cho hệ thống, cần phải thêm một mạch bù vào hệ

thống để thay đổi quỹ tích của các nghiệm Vì vậy, phương pháp quỹ tích nghiệm

có thể sử dụng kết hợp với bù để tìm được cấu hình cho phép hệ thống đạt được

hiệu suất như mong muốn

Cách khác để mô tả hiệu suất của hệ thống điều khiển phản hồi là sử dụng các

số đo hiệu suất trong miền tần số như độ lớn cực đại của đáp ứng tần số, tần số

cộng hưởng, dự trữ pha của hệ thống Chúng ta có thể thêm mạch bù vào hệ

thống nếu cần nhằm thỏa mãn được các yêu cầu về hiệu suất Việc thiết kế mạch

bù G c (s) được xây dựng dựa trên đáp ứng tần số mô tả bằng đồ thị cực, đồ thị

Bode hay biểu đồ Nichols Do hàm chuyển nối tiếp có thể thể hiện được một

cách dễ dàng trên đồ thị Bode bằng cách cộng các đáp ứng tần số, phương pháp

bù trên đồ thị Bode là phương pháp thường được sử dụng nhất

Mục đích của chương này là mô tả các phương pháp bù trong miền tần số cho

hệ thống điều khiển phản hồi Đầu tiên, chúng ta sẽ xem xét các mạch bù sớm

pha và mô tả cách thiết kế mạch bù bằng các kỹ thuật quỹ tích nghiệm và đáp

ứng tần số Sau đó, chúng ta sẽ mô tả việc thiết kế các mạch bù tích phân (chậm

pha), cũng với cả hai phương pháp quỹ tích nghiệm và đáp ứng tần số

10.3 Các mạch bù nối tiếp

Trong mục này chúng ta sẽ xem xét thiết kế của mạch bù nối tiếp và phản hồi

được biểu diễn trong Hình 10.1a và 10.1b Mạch bù có hàm chuyển G c (s) được

nối tiếp với một quá trình không thể thay đổi có hàm chuyển là G(s) Hàm

chuyển vòng hở của hệ thống vòng kín khi đó sẽ là G c (s)G(s)H(s) Rõ ràng là

mạch bù G c (s) có thể làm thay đổi quỹ tích nghiệm hay đáp ứng tần số của hệ

thống Chúng ta sẽ chọn các mạch bù có hàm chuyển dưới dạng như sau:

∏

∏

=

=

−

−

= N

j

j

M

i

i c

p s

z s K s G

1

1

) (

) ( )

Khi đó, vấn đề cần giải quyết chỉ là lựa chọn các điểm cực và điểm không của

mạch bù Để minh họa cho các thuộc tính của mạch bù, trước hết chúng ta sẽ

xem xét một mạch bù bậc nhất Phương pháp bù được phát triển trên cơ sở của

mạch bù bậc nhất sau đó sẽ được mở rộng cho các mạch bù bậc cao hơn

Xem xét mạch bù bậc nhất với hàm chuyển như sau:

p s

z s K s

G c

−

−

)

Vấn đề thiết kế mạch bù trở thành việc lựa chọn các giá trị của K, z và p sao cho

hệ thống đạt được hiệu suất mong muốn Khi |z| < |p|, mạch bù được gọi là mạch

sớm pha (phase-lead network) hay mạch vi phân (differentiator network) Nếu |p|

rất lớn, còn điểm không nằm tại gốc tọa độ của mặt phẳng s, chúng ta sẽ có một

mạch vi phân với hàm chuyển có dạng:

s p

K s

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

= )

Đặc trưng tần số của mạch vi phân (10.3) có dạng như sau:

2 / π )

p

K p

K i i

G ω = ⎜⎜⎝⎛ ⎟⎟⎠⎞ω=⎜⎜⎝⎛ ω⎟⎟⎠⎞ (10.4)

Góc pha của G c (iω), thường được gọi là góc sớm pha, trong trường hợp này bằng

90o

Đáp ứng tần số của mạch bù bậc nhất có hàm chuyển (10.2) được biểu diễn

như sau:

[ ]

1

) 1 (

1 ) (

1 ) ( ) ( ) (

) ( )

+

+

=

−

−

=

−

−

=

ωτ

ωατ ω

ω ω

ω ω

i

i K p

i

z i p Kz p

i

z i K i

ở đó K1 = Kz/p, α = p/z và τ = −1/p Góc pha của Gc (iω) khi đó sẽ là:

φ(ω) = arctan(αωτ) − arctan(ωτ) (10.6)

Đặc trưng tần số của mạch sớm pha khi K1 = 1 được biểu diễn trong Hình 10.2

Hàm chuyển bù sớm pha có thể có được bằng cách sử dụng mạch điện trong

Hình 10.3 Phương trình của dòng điện trong mạch sớm pha này là:

2

2 2

1 1

2

R

t v dt

t dv t dv C R

t v t v

=

− +

−

(10.7)

Thực hiện biến đổi Laplace cho phương trình (10.7) với các điều kiện ban đầu

bằng không, chúng ta có được phương trình:

2

2 2

1 1

2

)]

( ) ( [ ) ( ) (

R

s V s V s V Cs R

s V s

hay:

) ( ) (

) ( ) 1

Vì vậy, hàm chuyển của mạch là:

Cs R R R R

Cs R R

R

R Cs

R R R R

Cs R R s

V

s V

s

G c

] (

[ 1

1 )

1 ( )

(

) ( )

(

2 1 2 1

1 2

1

2 2

1 2 1

1 2 1

2

+ +

+

⋅ +

= +

+

+

=

20log 10 α

φ(ω) (o)

20log10|G c| (dB)

Hình 10.2 Đồ thị Bode của mạch sớm pha

10log 10 α

R

R

R

R

2 1

2 1

+

=

2

2 1

R

R

R +

=

α , phương trình (10.10) trở thành:

s

s s

G c

τ

ατ

+

⋅

= 1

1 1 )

C

R1

R2

Hình 10.3 Một mạch sớm pha

Đó chính là hàm chuyển (10.5) với K1 = 1/α Để loại trừ ảnh hưởng suy giảm của

mạch bù do thành phần 1/α < 1, chúng ta cần dùng thêm một mạch khuyếch đại

có hệ số khuyếch đại α, khi đó chúng ta sẽ có mạch bù với K1 = 1

Để xác định tần số ωm mà tại đó góc sớm pha có giá trị lớn nhất, giải phương

trình sau đây:

0 ) ( = ω

ω φ

d d

(10.12)