Giáo trình kỹ thuật điều khiển 15 docx

Sử dụng một bộ điều khiển PI làm mạch bù có thể làm giảm sai số ở trạng thái thường trực của hệ thống xuống tới không vì hàm chuyển của mạch này có điểm cực nằm ở gốc tọa độ.. Vì vậy, ch

Sai số ở trạng thái thường trực của hệ thống khi đó sẽ là:

) ( ) ( 1

) ( lim

) ( ) ( 1

) ( ) ( 1 ) ( lim

) ( ) ( ) ( lim

) ( lim ) ( lim

0 0 0 0

s H s G

s sR

s H s G

s H s G s

sR

s H s C s R s

s sE t

e

s s s

a s a t

+

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡ +

−

=

−

=

=

→

→

→

→

∞

→

(10.57)

Giả sử tín hiệu vào của hệ thống là tín hiệu nhảy bậc đơn vị, hay R(s) = 1/s Đồng

thời, giả sử hàm chuyển vòng hở của hệ thống đã bù có thể biểu diễn được như

sau:

∏

∏

=

=

−

−

j

j N

M

i

i

p s s

z s K s H s G

1

1

) (

) ( )

( )

Sai số của hệ thống ở trạng thái thường trực trở thành:

∏

∏

∏

=

=

=

→

→

− +

−

−

=

M

i

i Q

j

j N

Q

j

j N

s a t

z s K p s s

p s s

t e

1 1

1 0

0

) ( )

(

) (

lim ) (

Như đã phân tích ở Chương V, sai số của hệ thống phụ thuộc vào giá trị của N,

nghĩa là số điểm cực tại gốc tọa độ trong mặt phẳng s của G(s)H(s):

− Nếu N < 0: s −N → 0 khi s → 0 Vì vậy, sai số ở trạng thái thường trực của

hệ thống sẽ là:

1 ) ( )

(

) (

lim ) ( lim

1 1

1 0

− +

−

−

=

∏

∏

∏

=

−

=

=

→

i

i N

Q

j

j

Q

j

j

s a t

z s K s p s

p s t

− Nếu N = 0:

p M

i

i Q

j

j

Q

j

j

s a

z s K p s

p s t

e

+

=

− +

−

−

=

∏

∏

∏

=

=

=

→

1 ) ( )

(

) (

lim ) ( lim

1 1

1 0

Giá trị của hằng số sai số K càng lớn thì sai số ở trạng thái thường trực

của hệ thống sẽ càng nhỏ khi N = 0

− Nếu N > 0:

0 ) ( )

(

) (

lim ) ( lim

1 1

1 0

− +

−

−

=

∏

∏

∏

=

=

=

→

i

i Q

j

j N

Q

j

j N

s a t

z s K p s s

p s s

t

Như vậy, sai số ở trạng thái thường trực của hệ thống sẽ triệt tiêu nếu hàm

chuyển vòng hở của hệ thống có ít nhất một điểm cực tại gốc tọa độ trong mặt

phẳng s Mỗi điểm cực tại gốc tọa độ của hàm chuyển vòng hở của hệ thống có

thể coi như một phép tích phân Vì vậy, khi độ chính xác của hệ thống ở trạng

thái thường trực không đạt yêu cầu, chúng ta có thể dùng một mạch tích phân để

bù Sử dụng một bộ điều khiển PI làm mạch bù có thể làm giảm sai số ở trạng

thái thường trực của hệ thống xuống tới không vì hàm chuyển của mạch này có

điểm cực nằm ở gốc tọa độ

Để làm ví dụ, xem xét một hệ thống điều khiển phản hồi âm có hàm chuyển

của quá trình là:

1 )

(

1 +

=

s

K s

G

và hàm chuyển của khối phản hồi là:

1

1 ) (

2 +

=

s s

H

Sai số của hệ thống ở trạng thái thường trực với khi tín hiệu vào là hàm nhảy bậc

đơn vị sẽ là:

K s

s K

s s s

H s G

s sR t

e

s s

a

+ +

+

= +

=

→

→

1 ) 1 )(

1 ( 1

) 1 ( lim

) ( ) ( 1

) ( lim

) ( lim

2 1

0 0

τ τ

(10.65)

Chúng ta có thể làm giảm sai số ở trạng thái thường trực của hệ thống bằng cách

tăng K Tuy nhiên, tăng K sẽ làm cho tỷ số cản ζ của hệ thống giảm, vì vậy có thể

dẫn đến việc hiệu suất nhất thời của hệ thống không đáp ứng được yêu cầu đặt ra

Vì vậy, chúng ta sẽ xem xét việc sử dụng mạch bù tích phân có hàm chuyển như

phương trình (10.29) để làm triệt tiêu sai số ở trạng thái thường trực của hệ

thống Thật vậy, sai số ở trạng thái thường trực của hệ thống sau khi bù là:

0 ) (

) 1 )(

1 (

) 1 )(

1 ( lim

) 1 )(

1 (

) (

1

) 1 ( lim

) ( ) ( ) ( 1

) ( lim

) ( lim

2 1

2 1

0

2 1

0 0

= +

+ + +

+ +

=

+ +

+ +

= +

=

→

→

→

∞

→

P I P

s

P I P

s c

s a t

K K s KK s

s s

s s

s

s s

s

K K s KK

s s s

H s G s G

s sR t

e

τ τ

τ τ

τ

Hiệu suất nhất thời của hệ thống khi đó có thể điều chỉnh được bằng cách điều

chỉnh các tham số K, K P và K I

10.7 Bù trong mặt phẳng s sử dụng mạch chậm pha

Như chúng ta đã đề cập ở mục trước, mạch chậm pha trong Hình 10.5 là một

mạch tích phân, có thể sử dụng được để bù cho hệ thống nhằm làm giảm sai số ở

trạng thái thường trực Hàm chuyển của mạch chậm pha này được biểu diễn bằng

phương trình (10.27):

p s

z s s

s s

G c

−

−

⋅

= +

+

=

α ατ

1

1 )

Giả sử hệ thống vòng kín được quan tâm có hàm chuyển vòng hở G(s)H(s)

được biểu diễn bằng phương trình (10.58) và giả sử chúng ta có thể xác định

được bằng phương pháp quỹ tích nghiệm vị trí cặp nghiệm trội với chúng hệ

thống có hiệu suất nhất thời như mong muốn, tương ứng với giá trị K = β Mục

đích của việc sử dụng mạch bù chậm pha cho hệ thống là nhằm làm tăng hằng số

sai số nhưng không gây ảnh hưởng đáng kể tới hiệu suất nhất thời của hệ thống

Gọi K e là hằng số sai số của hệ thống:

∏

∏

=

=

→

−

−

=

j j

M

i

i N

s e

p

z K

s H s G s K

1

1

Phương trình đặc trưng của hệ thống khi có bù là:

0 ) (

) ( 1

1

−

−

⋅

−

−

⋅

+

∏

∏

=

=

Q

j

j N

M

i

i

p s s

z s p

s

z s K

Nếu chọn z và p sao cho |p| < |z| << 1, quỹ tích nghiệm của phương trình đặc

trưng của hệ thống khi có bù sẽ thay đổi rất ít so với khi chưa có bù, vì khi đó

phương trình đặc trưng (10.69) của hệ thống sau khi bù có thể xấp xỉ được bằng

phương trình sau:

0 ) (

) ( 1

1

−

−

⋅

+

∏

∏

=

=

Q

j

j N

M

i

i

p s s

z s K

Phương trình (10.70) sẽ có cặp nghiệm mong muốn như của hệ thống khi chưa có

bù khi K = αβ Như vậy, với z và p được chọn như trên và K = αβ, hiệu suất nhất

thời của hệ thống sau khi được bù sẽ thay đổi không đáng kể so với trước khi có

bù Gọi K ′ là hằng số sai số của hệ thống sau khi có bù, hằng số này sẽ được e

tính như sau:

e Q

j j

M

i i

Q

j

j

M

i i

p

z p

z p

z p

z

α

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

−

−

=

−

−

⋅

⋅

=

′

∏

∏

∏

∏

=

=

=

=

1

1

1

Phương trình (10.71) cho thấy, hằng số sai số của hệ thống sau khi được bù sẽ

tăng với tỷ lệ là α = z/p so với trước khi có bù

Như vậy, các bước cần thiết cho việc thiết kế một mạch bù chậm pha trong

mặt phẳng s được thực hiện theo trình tự sau đây:

1 Xác định quỹ tích nghiệm của hệ thống khi chưa có bù

2 Xác định các yêu cầu đối với hiệu suất nhất thời của hệ thống và xác định

vị trí cặp nghiệm trội trên quỹ tích nghiệm sao cho hiệu suất nhất thời của

hệ thống chưa có bù đáp ứng được các yêu cầu đặt ra

3 Xác định giá trị tham số K của hàm chuyển vòng hở G(s)H(s) và hằng số

sai số K e ứng với cặp nghiệm đã xác định trong bước 2

4 So sánh K e với giá trị hằng số sai số được mong muốn để tính tỷ số α = z/p

cần thiết cho mạch bù

5 Xác định vị trí của điểm không và điểm cực của mạch bù theo tỷ lệ được

xác định ở bước 4 sao cho quỹ tích nghiệm của hệ thống sau khi bù vẫn đi

qua vị trí cặp nghiệm được xác định trong bước 2

ƒ Ví dụ 10.3

Chúng ta lại tiếp tục sử dụng hệ thống trong các ví dụ 10.1 và 10.2, với tỷ số cản

của cặp nghiệm trội được chọn là 0,45 và hằng số sai số của hệ thống không nhỏ

hơn 20 Quỹ tích nghiệm của phương trình đặc trưng của hệ thống chưa có bù

được biểu diễn trên Hình 10.9 Sử dụng đồ thị quỹ tích nghiệm này, chúng ta xác

định được cặp nghiệm ứng với giá trị của tỷ số cản ζ = 0,45 là xấp xỉ −1 ± i2 Giá

trị của K để phương trình đặc trưng của hệ thống có cặp nghiệm phức đó sẽ là:

K = − (−1 + i2)2 − 2(−1 + i2) = 5 (10.72)

Hằng số sai số của hệ thống kiểu-1 là hằng số sai số vận tốc K v Giá trị K v của hệ

thống chưa có bù với K = 5 là:

5 , 2 2

5 =

=

v

Đặt hằng số sai số vận tốc của hệ thống sau khi bù là K v′ =20, tỷ số α = z/p của

mạch bù chậm pha sẽ sử dụng được tính như sau:

8 5 ,

220 =

=

′

=

v

v K

K

Việc còn lại là chọn z và p sao cho |p| < |z| << 1 để quỹ tích nghiệm của hệ thống

sau khi bù gần như không bị thay đổi so với trước khi có bù và thỏa mãn điều

kiện z/p = α Ngoài ra, để đảm bảo tính ổn định của hệ thống người ta thường

chọn z và p nằm bên trái trục ảo trong mặt phẳng s Trong ví dụ này chúng ta có thể chọn z = −0,1 và p = −0,1/8 = −0,0125

0

iω

−1

Hình 10.9 Quỹ tích nghiệm của hệ thống phản hồi có hàm chuyển vòng hở

G(s)H(s) = K/[s(s + 2)]

ζ = 0,45

i2

−i2

10.8 Bù trên đồ thị Bode sử dụng mạch chậm pha

Chúng ta đã thấy trong mục 10.4 sự thuận tiện của việc sử dụng đồ thị Bode để thiết kế mạch bù Với phương pháp bù sử dụng mạch chậm pha, yếu tố được quan tâm không phải là sự chậm pha của mạch bù mà là độ suy giảm −20log10α Mạch chậm pha được sử dụng để làm giảm tần số ωc tại đó giá trị logarit độ lớn của đáp ứng tần số vòng hở của hệ thống bằng 0dB Bằng việc làm giảm tần số

ωc, chúng ta có thể làm tăng dự trữ pha của hệ thống nếu như độ chậm pha của mạch bù tại tần số ωc′ (tần số tại đó giá trị logarit độ lớn của đáp ứng tần số của

hệ thống sau khi bù bằng 0dB) được khống chế ở mức tương đối nhỏ Như vậy, ngoài mục đích để làm giảm sai số ở trạng thái thường trực của hệ thống như đã được trình bày ở mục trên, mạch bù chậm pha còn được sử dụng để làm tăng dự trữ pha, nghĩa là nhằm điều chỉnh hiệu suất nhất thời của hệ thống Phương pháp

bù bằng mạch chậm pha trong Hình 10.5 trên đồ thị Bode được thực hiện bằng các bước như sau:

1 Xác định hệ số của G(iω) để sai số ở trạng thái thường trực của hệ thống thỏa mãn được yêu cầu

2 Ước lượng dự trữ pha của hệ thống chưa có bù Nếu giá trị dự trữ pha này chưa thỏa mãn được yêu cầu đặt ra, thực hiện các bước tiếp theo

3 Xác định tần số ωc′ tại đó giá trị dự trữ pha sẽ thỏa mãn được yêu cầu nếu

giá trị logarit độ lớn của đáp ứng tần số vòng hở tại ωc′ bằng 0dB, có tính

tới một góc chậm pha nhỏ gây ra bởi mạch bù

4 Tính giá trị của α sao cho giá trị logarit độ lớn của G(iω)H(iω) tại tần số

c

ω′ bằng 20log10α

5 Tính giá trị của τ sao cho góc chậm pha của mạch bù tại tần số ωc′ có giá

trị như đã định trong bước 3, từ đó tính ra được điểm không và điểm cực

của G c (s)

ƒ Ví dụ 10.4

Trong ví dụ này, chúng ta sẽ thực hiện bù chậm pha trên đồ thị Bode cho hệ

thống với các yêu cầu về hiệu suất như trong ví dụ 10.1 Tương tự như trong ví

dụ 10.1, chúng ta sẽ chọn được giá trị K = 40 để hệ thống đáp ứng được yêu cầu

về sai số ở trạng thái thường trực Giá trị dự trữ pha của hệ thống khi chưa có bù

là 18o, trong khi yêu cầu được đưa ra là dự trữ pha không nhỏ hơn 45o Để hệ

thống có được dự trữ pha bằng 45o, góc pha của G(iω)H(iω) tại tần số ωc′ phải

bằng −130o, nếu tính thêm một góc chậm pha bằng 5o Vì vậy, chúng ta có thể

xác định được ωc′ bằng cách giải phương trình sau:

o

130 )

2 ( ) ( ) ( )

hay:

o

2 arctan

(10.76)

Từ phương trình (10.76), chúng ta tính được giá trị của tần số ωc′ :

(rad/s) 68

, 1 40 tan

=

c

Chúng ta thiết lập được phương trình sau đây để tính tỷ số α = z/p của mạch bù

chậm pha:

) ( ) ( log 20 log

20 10α = 10G iωc′ H iωc′ (10.78) hay:

4 )

2 (

) ( ) (

2 +

′

′

= +

′

′

=

′

′

=

c c c

c c

c

K i

i

K i

H i G

ω ω ω

ω ω

ω

Thay các giá trị K = 40 và ω′c =1,68 vào phương trình (10.79), chúng ta sẽ tính

được giá trị của α:

1 , 9 4 68 , 1 68 , 1

40

+

=

Như đã đề cập ở trên, góc chậm pha của mạch bù tại tần số ωc′ được đặt bằng 5o,

có nghĩa là:

5 1

+

+

∠

′

= c

i

i

ω ω

αωτ

hay:

arctan(ω′cτ)−arctan(αω′cτ)=−5o (10.82) Lấy tang của cả hai vế phương trình (10.82):

) 5 tan(

o c

c

′ +

′

−

′ τ ω α

τ ω α τ ω

(10.83)

Thay các giá trị ω′c =1,68 và và α = 9,1 vào để giải phương trình (10.83), chúng

ta sẽ tìm được hai nghiệm τ ≅ 6 và τ ≅ 0 Trong hai nghiệm này, chỉ có nghiệm

thứ nhất có thể chấp nhận được Chúng ta đã tìm được hàm chuyển của mạch bù

chậm pha như sau:

018 , 0

17 , 0 11 , 0 6 , 54 1

6 1 6 1 , 9 1

6 1 ) (

+

+

≅ +

+

=

× +

+

=

s

s s

s s

s s

Đồ thị Bode của hàm chuyển vòng hở G c (iω)G(iω)H(iω) của hệ thống sau khi bù

được biểu diễn trong Hình 10.10

φ(ω) (o)

20log 10|Gc GH| (dB)

ω (rad/s)

Hình 10.10 Đồ thị Bode của hàm chuyển G c (iω)G(iω)H(iω) trong ví dụ 10.4

10.9 Mạch bù sớm-chậm pha và bộ điều khiển PID

Trong nhiều trường hợp, chúng ta có thể cần một mạch bù có thể cung cấp cả góc

sớm pha như của một mạch sớm pha và sự suy giảm về độ lớn như của một mạch

chậm pha Một mạch có đặc tính như vậy được gọi là mạch sớm-chậm pha

(lead-lag network) Một mạch sớm-chậm pha sẽ có cả hai thành phần sớm pha và chậm

pha, vì vậy hàm chuyển của mạch sẽ có dạng như sau:

s

s s

s K

p s

z s p s

z s K s

G c

2

2 1

1 1

2

2 1

1

1

1 1

1 )

(

βτ

τ τ

ατ

+

+

⋅ +

+

=

−

−

⋅

−

−

ở đó, |z1| < |p1| và |z2| > |p2|, hay α > 1 và β > 1

Để thiết kế hàm chuyển của mạch bù sớm-chậm pha, chúng ta có thể sử dụng

các phương pháp đã được giới thiệu trong các mục trước, dùng để thiết kế hàm

chuyển cho các mạch bù sớm pha và bù chậm pha Ví dụ, hàm chuyển của mạch

bù sớm-chậm pha có thể thiết kế được trong mặt phẳng s bằng cách xác định

điểm không và điểm cực của thành phần sớm pha sao cho quỹ tích nghiệm của hệ

thống sau khi bù sẽ đi qua vị trí được mong muốn cho cặp nghiệm trội của

phương trình đặc trưng của hệ thống vòng kín, sau đó xác định điểm không và

điểm cực của thành phần chậm pha nhằm làm tăng hằng số sai số ứng với cặp

nghiệm trội đó lên với tỷ lệ là β

Một dạng của mạch sớm-chậm pha được sử dụng rất phổ biến, nhất là trong

các hệ thống điều khiển công nghiệp, là bộ điều khiển tỷ lệ-tích phân-đạo hàm

(proportional-integral-derivative controller hay PID controller), hay còn gọi là

bộ điều khiển ba phương thức (three-mode controller), được biểu diễn bằng

phương trình vi phân có dạng như sau:

∫ + +

=

t I D

dt

t du K t u K t u

0 vào

vào vào

Hàm chuyển của bộ điều khiển PID nói trên sẽ là:

s

K s K K s U

s U s

D P

) (

) ( )

(

vào

Thành phần tỷ lệ (K P) của bộ điều khiển PID có tác dụng làm tăng tốc độ của đáp

ứng và làm giảm (nhưng không làm triệt tiêu được) sai số ở trạng thái thường

trực Thành phần tích phân (K I) có thể làm triệt tiêu sai số ở trạng thái thường

trực, như chúng ta đã đề cập tới ở mục 10.6, nhưng sẽ làm ảnh hưởng đến hiệu

suất nhất thời theo chiều hướng không được mong muốn vì phần trăm quá mức

của đáp ứng nhất thời sẽ tăng khi K I tăng Ngược lại với K I, thành phần đạo hàm

(K D) có tác dụng nâng cao tính ổn định của hệ thống và làm giảm phần trăm quá

mức của đáp ứng nhất thời, nhờ đó cải thiện hiệu suất nhất thời của hệ thống

vòng kín

Đặc biệt, người ta thường sử dụng các bộ điều khiển PID để điều khiển những

quá trình quá phức tạp để có thể thiết lập được các mô hình toán học chính xác,

thường là các quá trình phi tuyến và đa biến Trong những trường hợp đó, với ba

tham số K P , K I và K D của bộ điều khiển PID để điều chỉnh, chúng ta vẫn có thể

hy vọng đạt được hiệu suất mong muốn cho hệ thống mà không cần thực hiện

nhiều bước phân tích và thiết kế phức tạp

Bài tập

Bài 10.1 Một hệ thống điều khiển phản hồi đơn vị âm có hàm chuyển của quá trình là

) 4 (

400 )

(

+

=

s s s

G Chúng ta muốn sử dụng một bộ điều khiển PI để bù cho

hệ thống Hàm chuyển của bộ điều khiển PI là:

s

K K s

G c( )= 1+ 2

Nếu K2 = 1, xác định giá trị của K1 sao cho phần trăm quá mức của hệ thống vào khoảng 20% với tín hiệu vào là hàm nhảy bậc

Bài 10.2 Một hệ thống điều khiển phản hồi đơn vị âm có hàm chuyển của quá trình là:

) 4 )(

2 ( ) (

+ +

=

s s s

K s

G

Chúng ta mong muốn thiết kế một hệ thống có tần số tự nhiên và tỷ số cản của cặp nghiệm phức trội là ωn = 3 và ζ = 0,5 cùng với hằng số sai số K v = 2,7 Xác định hàm chuyển thích hợp cho một mạch bù để hệ thống thỏa mãn được những yêu cầu kể trên

Bài 10.3 Một hệ thống điều khiển phản hồi đơn vị âm có hàm chuyển của quá trình là:

) 1 200 )(

1 100 (

900 15 )

(

+ +

=

s s

s

s G

Một mạch bù có hàm chuyển G c (s) = K1 + K2s được sử dụng để hàm chuyển

G c (iω)G(iω)H(iω) có logarit độ lớn bằng 0dB tại tần số ωc = 500rad/s và dự trữ pha của hệ thống bằng 45o Tính K1 và K2

Bài 10.4 Một hệ thống điều khiển phản hồi đơn vị âm có hàm chuyển của quá trình (bao gồm cả trễ) là

1 )

(

+

= −

s

e s

G s Một mạch bù PI có hàm chuyển như sau:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

=

s K s

G c

τ

1 1 ) (

được sử dụng để hệ thống có phần trăm quá mức là 5% với tín hiệu vào là hàm

nhảy bậc Xác định K và τ

Bài 10.5 Một hệ thống điều khiển phản hồi đơn vị âm được dùng cho một robot lặn có quá trình được biểu diễn bằng một hàm chuyển bậc ba:

) 50 )(

10 ( ) (

+ +

=

s s

s

K s

G

Hiệu suất nhất thời được mong muốn cho toàn bộ hệ thống là phần trăm quá mức

khoảng 7,5% cho tín hiệu vào nhảy bậc và thời gian quá độ khoảng 400ms Xác định hàm chuyển của một mạch bù sớm pha thích hợp cho hệ thống nói trên và

giá trị thích hợp cho K bằng phương pháp bù trong mặt phẳng s

Bài 10.6 Một hệ thống điều khiển phản hồi đơn vị âm được dùng một máy in có hàm chuyển của động cơ và bộ khuyếch đại như sau:

) 1 5 )(

1 (

15 , 0 )

(

+ +

=

s s

s s G

Xác định hàm chuyển của một mạch bù sớm pha có α = 10 để hệ thống có tần số dải thông ωB = 0,75rad/s và dự trữ pha bằng 30o