Giáo trình kỹ thuật điều khiển 14 potx

Góc pha của mạch chậm pha cũng đạt được độ lớn cực đại tại tần số zp m = Một dạng của mạch chậm pha được gọi là bộ điều khiển tỷ lệ-tích phân proportional-integral controller, hay PI co

hay:

0 )]

[arctan(

)]

ω

ωτ ω

αωτ

d

d d

d

(10.13) Khai triển phương trình (10.13):

0 1

+

−

τ τ

ω α

Giải phương trình (10.14), chúng ta xác định được tần số ωm:

α τ

Như vậy, giá trị lớn nhất của góc sớm pha là:

α α

α α

τ α τ

τ α τ α

ω φ φ

2

1 arctan

1 arctan arctan

1 arctan

1 arctan

) (

−

=

−

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

m

(10.16)

Phương trình (10.16) được sử dụng để tính tỷ số α giữa giá trị điểm cực và giá trị

điểm không của mạch bù để có được góc sớm pha mong muốn Đồ thị của φm

theo α được thể hiện trên Hình 10.4 Theo đồ thị, góc pha của mạch bù này có

giá trị khó có thể quá 70o Vì vậy, nếu yêu cầu đưa ra là góc sớm pha lớn nhất

phải lớn hơn 70o, chúng ta có thể phải sử dụng tới hai mạch bù nối tiếp

α

φm ( o )

Hình 10.4 Đồ thị của góc pha lớn nhất của mạch sớm pha khi α thay đổi

Một dạng của mạch sớm pha được gọi là bộ điều khiển tỷ lệ-đạo hàm

(proportional-derivative controller, hay PD controller), vì phương trình của nó

bao gồm hai thành phần, tỷ lệ và đạo hàm, có dạng như sau:

t du K t u K t

u ( ) P ( ) D vào( )

vào

Hàm chuyển của bộ điều khiển PD có dạng:

D P

s U

s U s

) (

) ( )

(

vào

Sử dụng mạch bù có hàm chuyển GPD(s) này, chúng ta có thể điều chỉnh ảnh

hưởng của mạch bù, qua đó điều chỉnh đáp ứng của hệ thống bằng cách thay đổi

hai tham số K P và K D Mạch sớm pha như trong Hình 10.3 có thể sử dụng để làm

bộ điều khiển PD Khi đó, chúng ta phải chọn các phần tử của mạch sao cho hệ

số thời gian τ của mạch sớm pha phải rất nhỏ để có thể bỏ qua được thành phần

τs, trong khi α lại phải khá lớn để thành phần ατs không quá nhỏ Hàm chuyển

của mạch sớm pha khi đó có thể xấp xỉ được như sau:

s K K s K

s

s K

s

τ

ατ

1 1 1

1

1

) 1 ( 1

) 1 ( )

+

+

Đó chính là dạng của hàm chuyển của bộ điều khiển PD

Người ta còn thường sử dụng một mạch bù nối tiếp có đặc tính chậm pha

Một mạch chậm pha (phase-lag network) được thể hiện trong Hình 10.5 Các

phương trình hiệu điện thế của mạch chậm pha này là:

) ( ) ( )

1i t v t v t

và:

) ( )

(

1 )

0

2 i d v t C

t i R

t

=

C

R1

R2

Hình 10.5 Một mạch chậm pha

i(t)

Thực hiện biến đổi Laplace cho các phương trình (10.20) và (10.21) với các điều

kiện ban đầu bằng không, chúng ta có được các phương trình sau:

) ( ) ( )

1

2

) (

R

s V s V s

(10.22) và:

) ( ) ( 1 )

2 V s

s

s I C s I

Thay (10.22) vào (10.23):

) ( )]

( ) ( [

1

2 2

1 1 1

2 V s V s V s Cs

R R

R

=

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

(10.24)

hay:

) ( ] ) (

1 [ ) ( ) 1

( +R2Cs V1 s = + R1+R2 Cs V2 s (10.25) Hàm chuyển của mạch chậm pha là:

Cs R R

Cs R s

V

s V s

G c

) (

1

1 )

(

) ( ) (

2 1

2 1

2

+ +

+

=

Đặt τ = R2C và

2

2 1

R

R

R +

=

α , phương trình (10.26) trở thành:

p s

z s s

s s

G c

−

−

⋅

= +

+

=

α ατ

1

1 )

ở đó z = −1/τ và p = z/α Hàm chuyển của mạch chậm pha này cũng tương tự

hàm chuyển của mạch sớm pha chúng ta đã xét ở trên, nhưng có |z| > |p| Vì α >

1, điểm cực của Gc(s) sẽ nằm gần với gốc của trục tọa độ trong mặt phẳng s Kiểu

mạch bù như vậy còn được gọi là mạch tích phân (integrator network) Đồ thị

Bode của mạch chậm pha được biểu diễn trong Hình 10.6 Nhìn vào đồ thị,

chúng ta thấy rằng đáp ứng tần số của mạch chậm pha suy giảm theo thời gian,

trái với mạch sớm pha có đáp ứng tần số tăng theo thời gian, nhưng với cùng tốc

độ Góc pha của hai mạch cũng có giá trị bằng nhau, tuy nhiên có dấu ngược

nhau Góc pha của mạch chậm pha cũng đạt được độ lớn cực đại tại tần số

zp

m =

Một dạng của mạch chậm pha được gọi là bộ điều khiển tỷ lệ-tích phân

(proportional-integral controller, hay PI controller), vì phương trình của nó bao

gồm hai thành phần, tỷ lệ và tích phân, có dạng như sau:

∫

+

=

t I

K t u

0 vào vào

Hàm chuyển của bộ điều khiển PI có dạng:

s

K K s U

s U s

P

) (

) ( )

(

vào

Tương tự như đối với bộ điều khiển PD, khi sử dụng mạch bù có hàm chuyển

G PI (s) này, chúng ta có thể điều chỉnh ảnh hưởng của mạch bù, qua đó điều chỉnh

đáp ứng của hệ thống bằng cách thay đổi hai tham số K P và K I Chúng ta có thể

sử dụng mạch chậm pha như trong Hình 10.5 để làm bộ điều khiển PI Khi đó,

các phần tử của mạch phải được chọn sao cho α rất lớn để hàm chuyển của mạch

chậm pha có điểm cực gần bằng không Hàm chuyển của mạch chậm pha khi đó

có thể xấp xỉ được như sau:

s s

s s

s s

1

1 1 1

1 )

α τ α

τ α

ατ

+

+

⋅

= +

+

Đó chính là dạng của hàm chuyển của bộ điều khiển PI

−20log 10 α

φ(ω) ( o )

20log 10|G c| (dB)

ω (rad/s)

Hình 10.6 Đồ thị Bode của mạch chậm pha

zp

−10log 10 α

Trong các mục tiếp sau, chúng ta sẽ áp dụng các mạch bù này vào các hệ

thống để có được đáp ứng tần số hay vị trí nghiệm của phương trình đặc trưng

trong mặt phẳng s như mong muốn Mạch sớm pha được sử dụng để tạo ra một

góc sớm pha, nhờ đó có được dự trữ pha như mong muốn cho hệ thống Việc sử

dụng mạch sớm pha cũng có thể biểu diễn được trên mặt phẳng s như một

phương pháp làm thay đổi quỹ tích nghiệm của phương trình đặc trưng Còn

mạch chậm pha, mặc dù có ảnh hưởng làm giảm tính ổn định của hệ thống,

thường được sử dụng để cung cấp sự suy giảm nhằm làm giảm sai số ở trạng thái

thường trực của hệ thống

10.4 Bù trên đồ thị Bode sử dụng mạch sớm pha

Khi một mạch bù nối tiếp được sử dụng trong hệ thống, đáp ứng tần số của hệ

thống được bù sẽ là tổng của đáp ứng tần số của mạch bù và đáp ứng tần số của

hệ thống khi chưa được bù Điều đó có thể biểu diễn được một cách dễ dàng trên

đồ thị Bode Vì vậy, trong các loại đồ thị của đáp ứng tần số, đồ thị Bode thường

được sử dụng nhất cho việc thiết kế mạch bù

Hàm chuyển vòng hở của hệ thống phản hồi trong Hình 10.1a là

G c(iω)G(iω)H(iω) Để thiết kế mạch bù cho sơ đồ đó, trước tiên chúng ta cần vẽ

đồ thị Bode cho hàm chuyển G(iω)H(iω), sau đó xác định hai giá trị p và z thích

hợp cho Gc(iω) để đáp ứng tần số của hệ thống có được hình dạng như mong

muốn Chọn giá trị cho tham số của G(iω) sao cho sai số ở trạng thái thường trực

là chấp nhận được Sau đó, kiểm tra dự trữ gia lượng và giá trị cực đại M p của

đáp ứng nhất thời của hệ thống vòng kín (chưa bù) xem chúng có thỏa mãn các

yêu cầu được đặt ra hay không Nếu không, một góc sớm pha có thể được cộng

vào góc pha của hệ thống bằng cách đặt một mạch bù Gc(iω) vào một vị trí thích

hợp Để giá trị tăng thêm cho dự trữ pha là lớn nhất, chúng ta sẽ muốn đặt mạch

bù sao cho tần số ωm tương ứng với giá trị góc pha lớn nhất của G c (iω) nằm tại

điểm mà độ lớn của đáp ứng tần số của Gc(iω)G(iω)H(iω) có giá trị bằng một

(hay bằng không nếu tính bằng dB) Theo đồ thị trong Hình 10.2, độ lớn của đáp

ứng tần số vòng hở tại tần số ωm khi được bù sẽ tăng thêm một lượng là 10log10α

so với trước khi được bù Giá trị của α được chọn để có được giá trị góc sớm pha

lớn nhất φm phù hợp, theo phương trình (10.16) Như vậy, để xác định mạch bù

sớm pha, chúng ta cần thực hiện các bước sau đây:

1 Xác định tham số của G(iω) để sai số ở trạng thái thường trực của hệ

thống thỏa mãn được yêu cầu

2 Ước lượng dự trữ pha của hệ thống chưa có bù

3 Xác định giá trị thích hợp cho góc sớm pha lớn nhất φm của mạch bù

4 Xác định α từ φm bằng phương trình (10.16)

5 Xác định tần số ở đó logarit độ lớn của đáp ứng tần số của hàm chuyển

vòng hở khi chưa có bù G(iω)H(iω) bằng −10log10α Đó chính là tần số

ωm tương ứng với góc sớm pha lớn nhất φm của mạch bù

6 Vẽ đồ thị Bode của đáp ứng tần số của G c (iω)G(iω)H(iω) Nếu đáp ứng

tần số này chưa thỏa mãn được yêu cầu, lặp lại từ bước 1

ƒ Ví dụ 10.1

Xem xét một hệ thống phản hồi đơn vị âm có hàm chuyển của quá trình là:

) 2 ( ) (

+

=

s s

K s

Yêu cầu về hiệu suất đối với hệ thống là sai số ở trạng thái thường trực với tín

hiệu vào là hàm dốc phải nhỏ hơn 5% độ dốc của tín hiệu vào và giá trị nhỏ nhất

của dự trữ pha của hệ thống bằng 45o

Đặt tín hiệu vào của hệ thống là hàm dốc r(t) = at và c(t) là đáp ứng theo thời

gian Sai số ở trạng thái thường trực của hệ thống vòng kín được tính như sau:

)]

( ) ( ) ( [ lim

)]

( ) ( [ lim

)]

( ) ( [ lim

0

0

s T s R s R s

s C s R s

t c t r e

s s t

−

=

−

=

−

=

→

→

∞

→

(10.32)

Thay R(s) = a/s2 và (10.31) vào (10.32), chúng ta có được:

K a s

K s

a s

s

K s

a e

s s

2 2

lim )

2 ( 1

1 lim

0

+ +

=

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

+ +

⋅

=

→

Yêu cầu đối với sai số ở trạng thái thường trực của hệ thống là e ≤ 0,05a, nghĩa

là:

K

a

05 , 0

Chọn K = 40, chúng ta có được hàm chuyển vòng hở của hệ thống chưa có bù

như sau:

) 1 5 , 0 (

20 )

2 (

40 )

( ) (

+

= +

=

ω ω ω

ω ω ω

i i i

i i H i

Đồ thị Bode của đáp ứng tần số của G(iω)H(iω) được thể hiện trên Hình 10.7 Để

xác định dự trữ pha của hệ thống, trước hết chúng ta cần xác định tần số ωc ở đó

độ lớn |G(iω)H(iω)| = 1 bằng cách giải phương trình sau:

1 1 ) 5 , 0 (

20

+ ω

20log 10|GH| (dB)

Hình 10.7 Đồ thị Bode của hàm chuyển G(iω)H(iω) trong ví dụ 10.1

Phương trình (10.36) tương đương với phương trình:

ω2(0,25ω2+1)=400 (10.37) hay:

0 1600

4 2

Giải phương trình (10.38), chúng ta xác định được tần số ωc ≅ 6,2rad/s Góc pha

của G(iω)H(iω) tại tần số này là:

o

o 162

) 5 , 0 arctan(

90

) 1 5 , 0 ( ) ( )]

( ) ( [

−

≅

−

−

=

+

∠

−

−∠

=

∠

c

c c

c

i G

ω

ω ω

ω ω

(10.39)

Vì vậy, dự trữ pha của hệ thống chưa có bù là:

φpm = −162o − (−180o) = 18o (10.40) Như vậy, so với yêu cầu, giá trị dự trữ pha còn thiếu khoảng 45o − 18o = 27o

Chúng ta sẽ bù một góc sớm pha lớn hơn khoảng còn thiếu này một chút vì tần số

để xác định dự trữ pha của hệ thống với bù sẽ không phải là ωc Chọn mạch bù có

góc sớm pha lớn nhất φm = 30o Thay vào phương trình (10.16), chúng ta có:

o 30 2

1 arctan − =

α

α

(10.41) hay:

3

1 30 tan 2

1

=

=

α

α

(10.42)

Phương trình (10.42) có hai nghiệm, α = 3 và α = 1/3 Tuy nhiên, vì α phải lớn

hơn một nên α = 3 chính là giá trị cần tìm Để xác định tần số ωm, chúng ta tìm

trên đồ thị Bode của G(iω)H(iω) tần số ứng với độ lớn là −10log10α ≅ 4,8dB

hoặc giải phương trình sau:

α ω

ω

1 1 ) 5 , 0 (

20

2 =

hay:

0 4800

4 2

Giải phương trình (10.44), chúng ta tìm được tần số ωm ≅ 8,2rad/s Theo phương

trình (10.15):

2 , 8 3

1

=

τ α τ

từ đó tính được τ = 0,07 Điểm cực và điểm không của G c (iω) được tính như sau:

2 , 14

1

−

≅

−

= τ

p và = ≅−4,7

α

p

Hàm chuyển của mạch bù sớm pha là:

2 , 14 1

7 , 4 1 ) (

s

s s

G c

+

+

Hàm chuyển vòng hở của hệ thống đã được bù khi đó sẽ là:

) 1 2 , 14 )(

1 5 , 0 (

) 1 7 , 4 ( 20 )

( ) ( ) (

+ +

+

=

ω ω

ω

ω ω

ω ω

i i

i

i i

H i G i

Góc pha của hệ thống đã được bù tại tần số ωm = 8,2rad/s:

o

o 136,1

2 , 14 arctan )

5 , 0 arctan(

90 7 , 4 arctan )

m

m m

ω ω

ω ω

Dự trữ pha của hệ thống đã được bù, được xác định tại chính tần số ωm, khi đó sẽ

là −136,1o − (−180o) = 43,9o (Hình 10.8) Giá trị dự trữ pha này chưa đạt được

mức tối thiểu theo yêu cầu là 45o Vì vậy, chúng ta cần tăng giá trị góc sớm pha

lớn nhất φm của mạch bù và thực hiện lại các bước trên

φ(ω) (o)

20log 10|G c GH| (dB)

ω (rad/s)

Hình 10.8 Đồ thị Bode của hàm chuyển G c (iω)G(iω)H(iω) trong ví dụ 10.1

10.5 Bù trong mặt phẳng s sử dụng mạch sớm pha

Việc thiết kế mạch bù sớm pha có thể thực hiện được trong mặt phẳng s Mục

đích của phương pháp thiết kế này là làm thay đổi quỹ tích của các nghiệm của

phương trình đặc trưng của hệ thống, để làm quỹ tích đó đi qua các vị trí nghiệm

thỏa mãn được yêu cầu đặt ra cho hệ thống Như chúng ta đã biết ở Chương VII,

quỹ tích nghiệm của phương trình đặc trưng của hệ thống vòng kín có dạng

)

(

1+KP s = khi K thay đổi được xác định từ các điểm không và điểm cực của

P(s) Vì vậy, khi chúng ta sử dụng mạch bù nối tiếp như trong Hình 10.1a với

hàm chuyển của mạch bù có dạng:

p s

z s s

G c

−

−

= )

quỹ tích nghiệm của phương trình đặc trưng 1 + G c (s)G(s)H(s) = 0 sẽ được thay

đổi nhờ vào giá trị điểm cực và điểm không của Gc(s)

Việc đầu tiên chúng ta phải làm theo phương pháp này là xác định vị trí của

cặp nghiệm trội tương ứng với các giá trị được mong muốn cho tỷ số cản ζ và tần

số tự nhiên ωn, được xác định từ các yêu cầu về hiệu suất trên đáp ứng nhất thời

của hệ thống Điểm không của G c (s) thường được chọn là điểm có giá trị đúng

bằng giá trị thực của cặp nghiệm trội mong muốn để tạo một góc sớm pha bằng

90o Để đảm bảo rằng cặp điểm được chọn sẽ nằm trên quỹ tích nghiệm của

phương trình đặc trương của hệ thống sau khi bù, điểm cực của G c (s) phải được

chọn sao cho góc cực của Gc(s)G(s)H(s) phải bằng ±180o tại các điểm đó Tóm

lại, phương pháp bù trong mặt phẳng s sử dụng mạch sớm pha bao gồm các bước

như sau:

1 Chuyển các yêu cầu về hiệu suất của hệ thống thành các giá trị tương ứng

cho tỷ số cản ζ và tần số tự nhiên ωn và xác định vị trí cặp nghiệm mong

muốn trong mặt phẳng s từ các giá trị này

2 Vẽ quỹ tích nghiệm của phương trình đặc trưng của hệ thống chưa có bù

và xác định xem quỹ tích đó có đi qua các vị trí đã chọn hay không Nếu

câu trả lời là không, chúng ta sẽ thiết kế mạch bù trong các bước tiếp sau

3 Đặt điểm không của mạch bù trên trục thực của mặt phẳng s sao cho giá

trị của điểm không này đúng bằng giá trị phần thực của cặp nghiệm mong

muốn

4 Xác định vị trí điểm cực của mạch bù trên trục thực của mặt phẳng s sao

cho góc cực của G c (s)G(s)H(s) bằng ±180o tại vị trí cặp nghiệm mong

muốn

5 Xác định tham số của G(s) để hệ thống sau khi bù có được cặp nghiệm

trội của phương trình đặc trưng như mong muốn, sau đó xác định sai số ở

trạng thái thường trực của hệ thống

6 Nếu sai số không thỏa mãn yêu cầu đặt ra cho hệ thống, xác định lại vị trí

cặp nghiệm mong muốn và lặp lại các bước như trên

ƒ Ví dụ 10.2

Trong ví dụ này, chúng ta lại xem xét hệ thống đã đề cập tới trong ví dụ 10.1 Giả

sử yêu cầu về hiệu suất của hệ thống là phần trăm quá mức Po ≤ 20% và thời gian

quá độ Ts ≤ 1s với tín hiệu vào nhảy bậc

Theo phương trình (5.21), chúng ta có thể xác định được khoảng giá trị của tỷ

số cản ζ tương ứng với điều kiện Po ≤ 20% là ζ ≥ 0,45 Vì tốc độ của đáp ứng

nhất thời tỷ lệ nghịch với tỷ số cản ζ, chúng ta sẽ chọn giá trị mong muốn cho ζ

là 0,45

Thời gian quá độ Ts của hệ thống bậc hai được tính theo ζ và ωn bằng công

thức (5.10) Vì vậy, theo điều kiện T s ≤ 1s nêu trên chúng ta có:

1

4 ≤

n

Phần thực của cặp nghiệm tương ứng với các giá trị nói trên của ζ và ωn là

−ζωn Vì ảnh hưởng của cặp nghiệm này càng lớn nếu chúng nằm càng gần trục

ảo, chúng ta sẽ chọn vị trí gần trục ảo nhất có thể mà vẫn thỏa mãn điều kiện

(10.51), nghĩa là ζωn = 4 hay ωn = 9 Như vậy, vị trí được mong muốn cho cặp

nghiệm trội của phương trình đặc trưng của hệ thống là cặp điểm

2

1 ζ ω

− n i n = −4 ± i8 Khi đó, điểm không của Gc(s) sẽ là z = −4 Để

xác định giá trị điểm cực của G c (s), chúng ta cần giải phương trình sau đây:

o

o ( 4 8) ( 4 8) ( 4 2 8) 180

90 −∠ − − p+i −∠ − +i −∠ − + +i =− (10.52)

hay:

4

8

+

Giải phương trình (10.53), chúng ta xác định được giá trị điểm cực của G c (s) là

8

,

10

−

≅

p Giá trị của K để phương trình đặc trưng của hệ thống sau khi bù có

được cặp nghiệm như mong muốn sẽ được tính như sau:

0 ) 8 , 10 8 4 )(

2 8 4 )(

8 4 (

) 4 8 4 (

+ +

− + +

− +

−

+ +

− +

i i

i

i K

(10.54) hay:

8 , 96 ) 8 8 , 6 )(

8 2 )(

8 4 (

+ +

− +

−

=

i i

i

i

10.6 Phương pháp bù sử dụng mạch tích phân

Với nhiều hệ thống điều khiển, mục tiêu chủ yếu là đạt được độ chính xác cao ở

trạng thái thường trực Thêm nữa, hiệu suất nhất thời của các hệ thống cũng cần

được duy trì trong một giới hạn hợp lý Như đã phân tích trong Chương IV,

chúng ta có thể làm tăng độ chính xác ở trạng thái thường trực của hệ thống phản

hồi bằng cách tăng hệ số khuyếch đại trên chiều thuận của hệ thống Tuy nhiên,

cách đó có thể làm cho đáp ứng nhất thời của hệ thống trở nên không thể chấp

nhận được, thậm chí không ổn định Vì vậy, người ta thường sử dụng mạch bù

trên chiều thuận của hệ thống điều khiển phản hồi nhằm đạt được độ chính xác

cần thiết ở trạng thái thường trực cho hệ thống

Xem xét hệ thống phản hồi với hàm chuyển vòng hở G(s)H(s) Thay cho sai

số E(s) = R(s) − C(s), chúng ta sẽ sử dụng tín hiệu sai khác Ea(s), đã được định

nghĩa ở Chương IV: