Giáo trình kỹ thuật điều khiển 10 docx

99Chương VIII CÁC PHƯƠNG PHÁP ĐÁP ỨNG TẦN SỐ Tóm tắt nội dung Chúng ta đã xem xét việc sử dụng các tín hiệu vào thử như tín hiệu xung hay tín hiệu nhảy bậc trong việc phân tích hệ thốn

97

được như một phương pháp phân tích, cho phép người thiết kế so sánh các thiết

kế khác nhau của hệ thống Độ nhạy của nghiệm được dùng như một chỉ số biểu diễn độ nhạy của một hệ thống đối với những biến thiên của tham số được thể

hiện trong mặt phẳng s

Bài tập

Bài 7.1 Xem xét một hệ thống phản hồi có phương trình đặc trưng như sau:

0 2 2

) 4 (

+ +

+ +

s s

s Ks

(a) Vẽ quỹ tích nghiệm của phương trình đặc trưng của hệ thống bằng phương pháp của Evans

(b) Xác định K để phương trình đặc trưng có hai nghiệm bằng nhau và tính

giá trị hai nghiệm này

(c) Xác định thời gian quá độ của hệ thống khi phương trình đặc trưng có hai nghiệm bằng nhau

Bài 7.2 Một thiết bị ghi băng sử dụng một hệ thống điều khiển tốc độ phản hồi

âm với hàm chuyển của khối phản hồi là H(s) = 1 Hàm chuyển của quá trình cần

điều khiển là:

) 5 4 )(

2 ( ) (

2+ + +

=

s s s s

K s

G

Vẽ quỹ tích nghiệm của phương trình đặc trưng của hệ thống khi K thay đổi

Bài 7.3 Xem xét một hệ thống phản hồi có phương trình đặc trưng như sau:

0 ) 6 )(

3 )(

1 (

+ + +

+

s s s

K

(a) Xác định điểm thoát của quỹ tích trên trục thực

(b) Tìm điểm gốc của các đường tiệm cận

(c) Xác định giá trị của K tại điểm thoát của quỹ tích

Bài 7.4 Một thiết bị điều khiển thang máy sử dụng một hệ thống điều khiển phản hồi đơn vị âm có hàm chuyển của quá trình là:

) 50 )(

20 )(

1 (

) 1 ( )

(

+ +

+

+

=

s s

s s

s K s

G

Sử dụng phương pháp quỹ tích nghiệm để xác định giá trị của K sao cho tỷ số

cản ζ của một cặp nghiệm phức có giá trị bằng 0,8

Bài 7.5 Xem xét một hệ thống phản hồi có phương trình đặc trưng như sau:

0 ) 4 )(

1 (

) 1 ( 1

2

2

= + +

+ +

s s

s

s K (a) Vẽ quỹ tích nghiệm của phương trình khi K tăng từ 0 đến +∞

(b) Xác định khoảng giá trị của K để hệ thống ổn định

(c) Với giá trị nào của K trong khoảng 0 đến +∞ phương trình chỉ có nghiệm

phức? Tính giá trị của các nghiệm đó

99

Chương VIII CÁC PHƯƠNG PHÁP ĐÁP ỨNG TẦN SỐ

Tóm tắt nội dung

Chúng ta đã xem xét việc sử dụng các tín hiệu vào thử như tín hiệu xung hay tín hiệu nhảy bậc trong việc phân tích hệ thống Trong chương này, chúng ta sẽ sử dụng tín hiệu vào có dạng sin ở trạng thái thường trực và xem xét đáp ứng của hệ thống khi tần số của tín hiệu dạng sin thay đổi

Chúng ta sẽ nghiên cứu đáp ứng của G(s) khi s = iω và vài dạng đồ thị phức

cho G(iω) khi ω thay đổi Những đồ thị này mang lại cho chúng ta các hiểu biết sâu sắc về hiệu suất của hệ thống Một vài số đo hiệu suất cho đáp ứng tần số của

hệ thống sẽ được đề cập tới Các số đo này có thể sử dụng được như các mô tả định lượng chất lượng của hệ thống và chúng ta có thể điều chỉnh các tham số của hệ thống để thỏa mãn các yêu cầu được định nghĩa trên các số đo hiệu suất

đó

8.1 Giới thiệu

Trong các chương trước, đáp ứng và hiệu suất của hệ thống được mô tả dưới

dạng của biến tần số phức s và vị trí các điểm cực và điểm không trong mặt phẳng s Một phương pháp khác rất quan trọng và rất có tính thực tiễn cho việc phân tích và thiết kế hệ thống là phương pháp đáp ứng tần số Đáp ứng tần số (frequency response) của một hệ thống được định nghĩa là đáp ứng ở trạng thái

thường trực của hệ thống với tín hiệu vào là một tín hiệu dạng sin Với tín hiệu sin là tín hiệu vào duy nhất, tín hiệu ra cho một hệ thống tuyến tính cũng như các tín hiệu chuyển tiếp trong toàn hệ thống đều có dạng sin ở trạng thái thường trực, chỉ khác tín hiệu vào ở biên độ và góc pha

Một thuận lợi đối với phương pháp đáp ứng tần số là rất dễ tìm các nguồn tín hiệu thử dạng sin với nhiều khoảng biên độ và tần số khác nhau Vì vậy, việc xác định đáp ứng tần số của hệ thống bằng thử nghiệm rất dễ thực hiện và là phương pháp đáng tin cậy nhất cũng như ít phức tạp nhất trong việc phân tích hệ thống bằng thực nghiệm Chúng ta còn có thể tìm được hàm chuyển của hệ thống từ đáp ứng tần số được xác định bằng thực nghiệm Thêm nữa, việc thiết kế hệ thống trong miền tần số cho phép chúng ta điều khiển dải thông của hệ thống và một số số đo khác của đáp ứng đối với nhiễu

Thuận lợi thứ hai của phương pháp đáp ứng tần số là hàm chuyển mô tả hành

vi dạng sin ở trạng thái thường trực của hệ thống có thể xác định được bằng cách

dùng iω thay cho s trong hàm chuyển T(s) của hệ thống Hàm chuyển biểu diễn

hành vi dạng sin ở trạng thái thường trực của hệ thống khi đó sẽ là một hàm của

biến phức iω, và bản thân nó cũng là một hàm phức T(iω), được đặc trưng bởi độ

lớn và góc pha Độ lớn và góc pha của T(iω) được biểu diễn bằng các đồ thị, cung cấp cho chúng ta những thông tin quan trọng cho việc phân tích và thiết kế

hệ thống

Điều bất lợi cơ bản của phương pháp đáp ứng tần số trong việc phân tích hệ

thống là mối liên hệ không trực tiếp giữa tần số và miền thời gian Các mối liên

hệ trực tiếp giữa đáp ứng tần số và các đặc tính của đáp ứng nhất thời tương ứng

khá mỏng manh, trong khi trong thực tế, đặc tính của đáp ứng tần số được điều

chỉnh bằng cách sử dụng các điều kiện thiết kế thường được nhằm để mang lại

đáp ứng nhất thời như mong muốn

Trong các chương trước, chúng ta đã sử dụng cặp biến đổi Laplace:

∫

∞

−

=

=

0

) ( )]

( [ ) (s f t f t e dt

và

∫∞

+

∞

−

=

i

i

st ds e s F πi s

F t

f

σ σ

) ( 2

1 )]

( [ )

ở đó biến phức s = σ + iω Tương tự, chúng ta có cặp biến đổi Fourier:

∫

+∞

∞

−

−

=

i

và

∫

+∞

∞

−

π i

F t

2

1 )]

( [ )

Biến đổi Fourier tồn tại cho f(t) khi:

∞

<

∫

+∞

∞

−

dt t

f( )|

Biến đổi Fourier và biến đổi Laplace có mối quan hệ rất gần gũi Khi hàm f(t) chỉ

xác định với t ≥ 0, khoảng lấy tích phân của hai biến đổi là như nhau Khi đó, hai

phép biến đổi chỉ khác nhau về dạng biến phức Vì vậy, nếu chúng ta đã có biến

đổi Laplace F(s) của một hàm f(t), chúng ta có được biến đổi Fourier cũng của

f(t) bằng cách thay s bởi iω trong F(s)

Chúng ta có thể tự hỏi, nếu biến đổi Fourier và biến đổi Laplace gần nhau tới

như vậy, tại sao không luôn sử dụng biến đổi Laplace? Câu trả lời là, biến đổi

Laplace cho phép chúng ta tìm hiểu vị trí của các điểm cực và điểm không của

hàm chuyển T(s) trong mặt phẳng s, còn phương pháp đáp ứng tần số sử dụng

biến đổi Fourier cho phép chúng ta xem xét hàm chuyển T(iω) cùng các đặc tính

về độ lớn và pha của hệ thống, với ω là tần số của tín hiệu vào và ra của hệ

thống Khả năng biểu diễn tính chất của hệ thống bằng các phương trình và đồ thị

của độ lớn và pha là một thuận lợi cho việc phân tích và thiết kế các hệ thống

101

điều khiển

Xem xét đáp ứng tần số của một hệ thống vòng kín, với tín hiệu vào r(t) có

biến đổi Fourier là R(iω) Khi đó, đáp ứng tần số của hệ thống điều khiển phản

hồi được xác định bằng cách thay s bởi iω trong phương trình biểu diễn mối quan

hệ của hệ thống vòng kín, C(s) = T(s)R(s), để có được phương trình sau:

) ( ) ( ) ( 1

) ( )

( ) ( )

ω ω

ω ω

ω

i H i G

i G i

R i T i C

+

=

Áp dụng biến đổi Fourier nghịch cho C(iω), chúng ta sẽ thu được đáp ứng nhất

thời c(t) Tuy nhiên, việc ước lượng biến đổi nghịch này thường khá khó khăn kể

cả cho những hệ thống đơn giản nhất, vì vậy phương pháp tích phân bằng đồ thị

có thể được sử dụng Ngoài ra, một vài số đo của đáp ứng nhất thời có liên hệ tới

các đặc tính tần số cũng có thể sử dụng được cho các mục đích trong việc thiết kế

hệ thống

8.2 Đồ thị của đáp ứng tần số

Hàm chuyển G(s) của một hệ thống có thể mô tả được trong miền tần số bằng

mối quan hệ như sau:

G(iω) = G(s)| s = iω = R(ω) + iI(ω) (8.7)

ở đó:

R(ω) = real[G(iω)] và I(ω) = imag[G(iω)] (8.8)

Chúng ta cũng có thể biểu diễn hàm chuyển bằng độ lớn |G(ω)| và góc pha φ(ω):

ở đó:

) ( ) ( )

(iω R2 ω I2 ω

và:

) (

) ( arctan )

(

ω

ω ω

φ

R

I

Biểu diễn đồ thị của đáp ứng tần số có thể sử dụng phương trình (8.7) hay (8.9)

Đồ thị của phương trình (8.7) được gọi là đồ thị cực (polar plot) của đáp ứng tần

số Các tọa độ của đồ thị cực là phần thực và phần ảo của G(iω)

ƒ Ví dụ 8.1

Một bộ lọc RC đơn giản được biểu diễn trong Hình 8.1 Hàm chuyển của bộ lọc

này là:

1

1 )

(

) ( ) ( 1

2

+

=

=

RCs s

V

s V s

v1(t) R C v2(t)

Hình 8.1 Bộ lọc RC

Thay s bằng iω, chúng ta có được hàm chuyển dạng sin ở trạng thái thường trực:

1

1 1

1 )

(

1+

= +

=

ω ω ω

ω

i RC i i

ở đó ω1 = 1/(RC) Để vẽ đồ thị cực của G(iω), chúng ta cần biểu diễn phương

trình (8.13) dưới dạng của phương trình (8.7) bằng cách như sau:

1 ) (

) ( 1 ) (

1 1

) (

) ( 1 ) (

2 1

1 2

1

2 1

1

+

− +

= +

−

=

ω ω

ω ω ω

ω ω

ω

ω ω

i

Quỹ tích của hàm chuyển G(iω) khi ω tăng từ 0 đến +∞ là nửa đường tròn có tâm

tại điểm (1/2, 0) và bán kính 1/2 trong mặt phẳng cực (Hình 8.2)

R(ω)

I(ω)

1

0

ω = 0

ω = ∞

Hình 8.2 Đồ thị cực cho bộ lọc RC

Hạn chế của đồ thị cực là việc tính toán đáp ứng tần số khá rắc rối và không

thể hiện được ảnh hưởng của từng điểm cực hay điểm không trong đồ thị Vì vậy,

người ta sử dụng đồ thị logarit (logarithmic plot), thường gọi là đồ thị Bode

(Bode plot), để đơn giản hóa việc xác định biểu diễn đồ thị của đáp ứng tần số

Lấy logarit tự nhiên của G(iω) biểu diễn dưới dạng của phương trình (8.9):

Từ đó, chúng ta có thể vẽ đồ thị của φ(ω) và logarit của độ lớn |G(iω)| khi ω thay

đổi Người ta thường biểu diễn logarit của độ lớn |G(iω)| dưới dạng logarit cơ số

10 bằng công thức 20log10|G(iω)| với đơn vị là dB

103

Trở lại ví dụ 8.1, hệ số thời gian của bộ lọc RC là τ = RC Viết lại phương

trình (8.13) dưới dạng sau:

1 1

1 1

1 1

1 )

+

− +

= +

= +

=

τ ω

ωτ τ

ω ωτ

ω

i RC i i

Logarit của độ lớn hàm chuyển là:

) 1

( log 10 1

1 log

20 log

τ

+

=

Ở tần số rất nhỏ, ω << 1/τ, chúng ta có thể dùng công thức xấp xỉ:

(dB) 0 1 log 10 log

Tại ω = 1/τ, chúng ta có được:

(dB) 01 , 3 2 log 10 log

Tần số ω = 1/τ thường được gọi là tần số gãy (break frequency) hay tần số bẻ

góc (corner frequency) Góc pha của bộ lọc là:

) arctan(

) ( real

) ( imag arctan )

G

G

(8.21)

Đồ thị Bode của hàm chuyển G(iω) được thể hiện trong Hình 8.3

20log 10|G| (dB)

φ(ω) (o)

ω (rad/s)

τ

2

1

τ

1

τ

2

3

τ

2

τ

2

5

τ

3

τ

2

7

τ

4

τ

2

9

τ

5

Trong đồ thị Bode, người ta thường sử dụng thang logarit cho tần số ω, vì đồ

thị thay đổi rất chậm khi tần số rất lớn Khoảng nằm giữa hai tần số ω1 và ω2, ở

đó ω2 = 10ω1, được gọi là một quãng mười (decade) Khi tần số rất lớn, ω >>

1/τ, sự sai khác độ lớn của hàm chuyển giữa điểm đầu và điểm cuối một quãng

mười có thể ước lượng được như sau:

(dB) 20 10

1 log 20 log

20

) ( log 20 ) ( log 20

) ( log 10 ) ( log 10

) ( log 20 ) ( log 20

10 2

1 10

1 10 2

10

2 2 1 10 2

2 2 10

1 10 2

10

−

=

=

=

+

−

=

+

−

≅

−

ω ω

τ ω τ

ω

τ ω τ

ω

ω

G

(8.22)

Đồ thị Bode của hàm chuyển sử dụng thang logarit cho trục ω được thể hiện

trong Hình 8.4

20log 10|G| (dB)

τ

logarit cho trục ω

τ

10

1

Lợi ích chính yếu trong việc sử dụng đồ thị logarit là việc chuyển đổi hàm

chuyển từ dạng tích thành tổng Trong trường hợp tổng quát, chúng ta có thể biểu

diễn hàm chuyển G(iω) ở dạng:

105

∏

∏

∏

=

=

=

+ +

+

+

k

n n

k M

m

m N

Q

l

l

k

k i i i

i

i K

i

G

1

2 1

1

] ) (

) )(

2 ( 1 [ ) 1

( ) (

) 1

( )

(

ω ω ω ω ζ ωτ

ω

ωτ

Hàm chuyển này có Q điểm không, N điểm cực tại gốc tọa độ, M điểm cực nằm trên trục thực và R cặp điểm cực liên hợp phức Rõ ràng là việc vẽ đồ thị cực cho

một hàm như thế này là việc cực kỳ khó khăn Logarit của độ lớn hàm chuyển

G(iω) là:

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛ + +

−

+

−

−

+ +

=

R

k

M

m

m Q

l

N

Q

l

l

k k

i i

i i

i K

i G

1

2 10

1

10 1

10

1 10 10

10

2 1 log 20

1 log 20 )

( log 20

1 log 20 log

20 ) ( log 20

ω

ω ω ω ζ

ωτ ω

ωτ ω

(8.24)

Góc pha φ(ω) là tổng các góc pha của các thành phần:

∑

∑

∑

=

=

=

−

−

−

−

=

R

n k M

m

m

Q

l

l

k

k

N

1

1

2 arctan )

arctan(

) 90 (

) arctan(

) (

ω ω

ω ω ζ ωτ

ωτ ω

φ

o

(8.25)

Từ hai công thức trên, chúng ta thấy đồ thị Bode có thể vẽ được bằng cách cộng các đồ thị của các thành phần riêng biệt của hàm chuyển

Như vậy, có bốn kiểu thành phần khác nhau có thể xuất hiện trong hàm chuyển:

1 Hằng số (K)

2 Điểm cực/điểm không tại gốc tọa độ (iω)

3 Điểm cực/điểm không trên trục thực (1 + iωτ)

4 Các cặp điểm cực/điểm không liên hợp phức (1 + 2(ζ/ωn )iω + (iω/ωn)2)

Chúng ta có thể xác định đồ thị logarit của độ lớn và đồ thị góc pha cho từng thành phần của hàm chuyển, sau đó cộng chúng lại để có được đồ thị Bode cho toàn bộ hàm chuyển Chúng ta cũng có thể đơn giản hóa việc vẽ đồ thị bằng cách

sử dụng các xấp xỉ tiệm cận của các đường cong và chỉ tính các giá trị chính xác tại một số tần số đặc biệt

Hằng số (K) Giá trị logarit của hằng số cũng là một hằng số (20log10K), còn

góc pha bằng không

Điểm cực hay điểm không tại gốc tọa độ (iω) Với một điểm cực tại gốc tọa

độ, logarit của độ lớn là:

và góc pha là φ(ω) = −90o Với N điểm cực tại gốc tọa độ, chúng ta sẽ có:

và góc pha là φ(ω) = −90oN Với một điểm không tại gốc tọa độ, logarit của độ

lớn là:

và góc pha là φ(ω) = 90o

Điểm cực hay điểm không nằm trên trục thực (1 + iωτ) Điểm cực nằm trên

trục thực tương ứng với 1/(1 + iωτ) trong hàm chuyển, chính là ví dụ 8.1 chúng

ta đã xem xét Vì vậy, theo phương trình (8.18), logarit của độ lớn là

) 1

( log 10 log

20 10G =− 10 +ω2τ2 và góc pha là φ(ω) = −arctan(ωτ) Đường tiệm

cận của 20log10|G| khi ω << τ có độ dốc bằng không, còn đường tiệm cận khi giá

trị ω >> τ có độ dốc là −20dB/decade Giao điểm của hai đường tiệm cận này

chính tại tần số gãy ω = 1/τ Với điểm không nằm trên trục thực, tương ứng với

(1 + iωt) trong hàm chuyển, logarit của độ lớn là

) 1

( log 10

log

20 10G = 10 +ω2τ2 và góc pha là φ(ω) = arctan(ωτ) Trong trường

hợp này, đường tiệm cận của 20log10|G| khi ω << τ có độ dốc cũng bằng không

và đường tiệm cận khi ω >> τ có độ dốc là 20dB/decade

Các cặp điểm cực hay điểm không liên hợp phức (1 + 2(ζ/ωn )iω + (iω/ωn)2)

Thành phần của hàm chuyển tương ứng với một cặp điểm cực liên hợp phức có

thể biểu diễn dưới dạng 1/(1 + i2ζu − u2), ở đó u = ω/ωn Logarit của độ lớn khi

đó được tính như sau:

] 4 ) 1 [(

log 10

4 ) 1 (

4 ) 1 ( log 20

4 ) 1 (

2 4

) 1 (

1 log

20

2 1

1 log

20

2 2 2 2 10

2 2 2 2

2 2 2 2 10

2 2 2 2 2

2 2 2

2 10

2 10

u u

u u

u u

u u

u i u

u u

u u i

ζ ζ ζ

ζ

ζ ζ

ζ

+

−

−

=

+

−

+

−

=

+

−

− +

−

−

=

− +

(8.29)

và góc pha là:

2 1

2 arctan )

(

u

u

−

−

ω

Khi u << 1, nghĩa là ω << ωn, logarit của độ lớn sẽ xấp xỉ 0dB và góc pha xấp xỉ

0o Còn khi u >> 1, nghĩa là ω >> ωn, logarit của độ lớn sẽ xấp xỉ −10log10(u4) =