Điều kiện Nyquist Để hệ thống ổn định, tất cả các nghiệm của phương trình đặc trưng Fs = 0 đều phải nằm bên trái trục ảo trong mặt phẳng s.. Điều kiện ổn định Nyquist được phát biểu nh
Trang 1×
σ
iω
u
iv
0 0
Hình 9.3 Ví dụ minh họa định lý của Cauchy
iω
u
iv
0 0
Hình 9.4 Ví dụ minh họa định lý của Cauchy
9.3 Điều kiện Nyquist
Để hệ thống ổn định, tất cả các nghiệm của phương trình đặc trưng F(s) = 0 đều
phải nằm bên trái trục ảo trong mặt phẳng s Chọn một chu tuyến Γ s sao cho chu
tuyến này nằm ở nửa bên phải trục ảo trong mặt phẳng s, đồng thời toàn bộ vùng
bên phải cũng nằm bên trong vùng đóng kín bởi chu tuyến này Chu tuyến
Nyquist là một chu tuyến đáp ứng được điều kiện nêu trên Chu tuyến này được
tạo thành bởi trục ảo của mặt phẳng s và một nửa đường tròn nằm bên phải trục
ảo, có tâm tại gốc tọa độ và bán kính r → ∞ (Hình 9.5)
Xem xét một hệ thống vòng kín có phương trình đặc trưng được biểu diễn
dưới dạng của phương trình (9.1) Điều kiện Nyquist sẽ sử dụng ánh xạ bởi hàm
P(s) của chu tuyến Nyquist thay cho hàm F(s), vì P(s) thường đã được biểu diễn
ở dạng đã nhân tử hóa nên xác định các điểm không và điểm cực của P(s) dễ
dàng hơn là của F(s) Các điểm cực của P(s) cũng chính là các điểm cực của
F(s) Vì P(s)=F(s)−1, điểm gốc tọa độ trong mặt phẳng F(s) sẽ trở thành điểm
(−1, 0) trong mặt phẳng P(s) Điều kiện ổn định Nyquist được phát biểu như sau:
Một hệ thống phản hồi ổn định khi và chỉ khi chu tuyến ΓP trong mặt phẳng P(s)
không bao quanh điểm (−1, 0) khi số điểm cực của P(s) nằm ở nửa bên phải của
Trang 2mặt phẳng s bằng không, hoặc số lần chu tuyến ΓP bao quanh điểm (−1, 0) theo
chiều ngược chiều quay của kim đồng hồ đúng bằng số điểm cực của P(s) nằm ở
nửa bên phải của mặt phẳng s Chúng ta có thể thấy rất rõ ràng rằng, điều kiện
Nyquist chính là một hệ quả của sự kết hợp giữa điều kiện cân bằng dựa trên vị
trí các nghiệm của phương trình đặc trưng, nghĩa là các điểm không của F(s),
trong mặt phẳng s và định lý của Cauchy nêu trên
iω
σ
0
r → ∞
Hình 9.5 Chu tuyến Nyquist
Ví dụ 9.1
Một hệ thống phản hồi âm có hàm chuyển của quá trình là:
) 1 (
1 )
(
+
=
s s s G
và hệ số phản hồi K Phương trình đặc trưng của hệ thống có dạng:
Vì vậy, chúng ta có được:
) 1 ( ) ( )
(
+
=
=
s s
K s
KG s
P
Trong trường hợp này, do P(s) có một điểm cực nằm ở gốc tọa độ, để có thể áp
dụng định lý của Cauchy cho chu tuyến Nyquist, chúng ta cần phải tránh điểm
gốc tọa độ trong mặt phẳng s theo một nửa đường tròn nhỏ tâm tại gốc tọa độ có
bán kính ε → 0 (Hình 9.6a) Chúng ta sẽ chia chu tuyến Nyquist ra làm bốn phần
và xác định ánh xạ của từng phần bởi hàm P(s) như sau:
(a) Gốc tọa độ trong mặt phẳng s: Đoạn chu tuyến tránh gốc tọa độ trong mặt
phẳng s được biểu diễn bằng phương trình s = εe iφ, ở đó góc φ thay đổi từ −90o
tại ω = 0− đến +90o tại ω = 0+ Vì ε → 0, chúng ta xác định được ánh xạ P(s):
Trang 3φ ε
φ ε
φ φ ε
i i
i
e
K e
e
K s
→
→
→
+
=
0 0
0
) 1 (
lim ) (
Vì vậy, ánh xạ của đoạn chu tuyến quanh gốc tọa độ trong mặt phẳng s là nửa
đường tròn có tâm tại gốc tọa độ trong mặt phẳng P(s), bán kính bằng ∞ và có
góc cực thay đổi từ +90o tại ω = 0− đến −90o tại ω = 0+ (Hình 9.6b)
(b) Đoạn trên trục ảo trong mặt phẳng s từ ω = 0 + đến ω = +∞: Ánh xạ của
đoạn này chính là đồ thị cực của hàm P(iω) với ω thay đổi từ 0+ đến +∞ Khi ω
tiến đến +∞, độ lớn của hàm P(iω) được tính như sau:
0 lim
) 1 (
lim ) ( lim = 2 =
+
=
∞
→
∞
→
∞
ω
K i
i
K i
Giá trị của góc cực ∠P(iω) khi ω → +∞ được tính như sau:
o
180 π
) arctan(
lim 2 π
)]
1 (
) ( [ lim ) ( lim
−
=
−
=
−
−
=
+
∠
−
−∠
=
∠
∞
→
∞
→
∞
→
ωτ
ωτ ω
ω
ω
ω
(9.12)
iω
σ
r → ∞
Hình 9.6 Chu tuyến Nyquist và ánh xạ bởi hàm P(s) = K/[s(τs + 1)]
ε → 0
ω = 0−
ω = 0+
ω = −∞
ω = +∞
u
iv
ω = 0−
ω = 0+
ω = +∞ ω = −∞
−1
r' → ∞
(c) Nửa đường tròn từ ω = +∞ đến ω = −∞: Đường tròn này được biểu diễn
trong mặt phẳng s bằng phương trình s = re iφ, ở đó r → ∞ và góc φ thay đổi từ
+90o tại ω = +∞ đến −90o tại ω = −∞ Ánh xạ của đoạn này trong mặt phẳng P(s)
được xác định như sau:
φ φ
φ
φ
τ
2 2
lim ) 1 (
lim ) (
r i
i r
i
r
K re
re
K re
∞
→
∞
→
∞
+
Trang 4Phương trình (9.13) là phương trình của một đường tròn có bán kính tiến tới
không và góc cực thay đổi từ −180o tại ω = +∞ đến +180o tại ω = −∞
(d) Đoạn trên trục ảo trong mặt phẳng s từ ω = −∞ đến ω = 0−: Ánh xạ của
đoạn này chính là đồ thị cực của hàm P(iω) với ω thay đổi từ −∞ đến 0− hay là đồ
thị cực của hàm P(−iω) với ω thay đổi từ +∞ đến 0+ Ánh xạ của đoạn này đối
xứng với ánh xạ của đoạn ω = 0+ đến ω = +∞ đã xét ở trên qua trục thực trong
mặt phẳng P(s)
Sau khi đã xác định được chu tuyến ΓP trong mặt phẳng P(s), chúng ta sẽ xem
xét đến tính ổn định của hệ thống Vì P(s) không có điểm không nào và số điểm
cực của P(s) nằm ở nửa bên phải của mặt phẳng s cũng bằng không, để hệ thống
ổn định, chu tuyến ΓP không được bao quanh điểm (−1, 0) trong mặt phẳng P(s)
Điều đó luôn đúng với mọi giá trị của K và τ, vì vậy hệ thống trong ví dụ này
luôn ổn định
Từ ví dụ trên, chúng ta có thể rút ra hai kết luận chung:
1 Đồ thị của chu tuyến ΓP trong khoảng −∞ < ω < 0− là liên hợp phức của
đồ thị trong khoảng 0+ < ω < +∞ Vì vậy, chu tuyến ΓP có dạng đối xứng
với trục đối xứng là trục thực của mặt phẳng P(s)
2 Độ lớn của P(s) tiến tới không hoặc là một hằng số khi s nằm trên đường
tròn tâm ở gốc tọa độ của mặt phẳng s và có bán kính r → ∞
9.4 Tính ổn định tương đối và điều kiện Nyquist
Chúng ta đã đưa ra một định nghĩa tính ổn định tương đối của hệ thống như một
thuộc tính trong mặt phẳng s được đo bằng thời gian quá độ tương đối tương ứng
với mỗi nghiệm hay cặp nghiệm của phương trình đặc trưng của hệ thống Chúng
ta sẽ đưa ra một số đo tương tự của tính ổn định tương đối để sử dụng cho
phương pháp đáp ứng tần số Điều kiện Nyquist cung cấp cho chúng ta những
thông tin thích hợp để xem xét tính ổn định tuyệt đối và còn có thể sử dụng để
định nghĩa và xác định tính ổn định tương đối của hệ thống
Điều kiện ổn định Nyquist được định nghĩa dựa trên điểm (−1, 0) trên đồ thị
cực, tương ứng với các giá trị 0dB và −180o trong đồ thị Bode Điểm này được
gọi là điểm ổn định Khoảng cách giữa đồ thị của P(iω) và điểm ổn định là một
số đo tính ổn định tương đối của hệ thống
Ví dụ 9.2
Một hệ thống phản hồi âm có hàm chuyển của quá trình là:
) 1 )(
1 (
1 )
(
2
=
s s
s s G
τ
và hệ số phản hồi K Vì vậy, chúng ta có được:
) 1 )(
1 ( ) ( )
(
2
=
=
s s
s
K s
KG s
P
τ
τ (9.15)
Theo những kết luận trong mục trước, để xem xét tính ổn định của hệ thống,
Trang 5chúng ta chỉ cần xác định phần của chu tuyến ΓP là đồ thị cực của hàm P(iω) khi
ω thay đổi từ 0+ đến +∞ để suy ra toàn bộ chu tuyến ΓP P(iω) được biểu diễn
như sau:
) 1 )(
1 (
) (
2
=
ωτ ωτ
ω
ω
i i
i
K i
Khi ω → 0+, độ lớn của P(iω) tiến tới vô cùng và góc cực ∠P(iω) được tính như
sau:
o
90 2
π 0 0 2 π
)]
arctan(
) [arctan(
lim 2 π
)]
1 (
) 1 (
) ( [ lim
2 1
0
2 1
0
−
=
−
=
−
−
−
=
+
−
−
=
+
∠
− +
∠
−
−∠
+
+
→
→
ωτ ωτ
ωτ ωτ
ω
ω
(9.17)
Khi ω → +∞, chúng ta sẽ có:
0
1 lim )
( lim
3 =
=
∞
→
∞
ω P i (9.18)
và
o
270 2
3π 2
π 2
π 2 π
)]
arctan(
) [arctan(
lim 2 π
)]
1 (
) 1 (
) ( [ lim
2 1
2 1
−
=
−
=
−
−
−
=
+
−
−
=
+
∠
− +
∠
−
−∠
+∞
→
+∞
→
ωτ ωτ
ωτ ωτ
ω
ω
(9.19)
Dạng của chu tuyến ΓP được thể hiện trong Hình 9.7 Để tính giao điểm của hàm
P(iω) với trục thực của đồ thị, chúng ta cần giải phương trình sau đây:
0 )
( 1
) 1
)(
1 ( )]
( [ imag
2 2
2 1 4 2 2
2 1
2
= +
+ +
−
−
=
τ τ ω τ τ ω
τ τ ω ω
i
Giải phương trình (9.20), chúng ta có được:
0
1−ω2τ1τ2 = hay
2 1
1
τ τ
ω= (9.21)
Vì vậy, hàm P(iω) cắt trục thực của đồ thị tại điểm:
2 1
2 1 2
1 ) (
real
τ τ
τ τ τ
τ
+
−
=
= P i K
Trang 6Hình 9.7 Đồ thị Nyquist với P(s) = K/[s(τ1s + 1)(τ2s + 1)]
u
iv
ω = 0+
ω = +∞
−1
Vì P(s) không có điểm không nào và số điểm cực của P(s) nằm ở nửa bên phải
của mặt phẳng s cũng bằng không, để hệ thống ổn định, chu tuyến ΓP không
được bao quanh điểm (−1, 0) trong mặt phẳng P(s), nghĩa là:
1
2 1
2
1 >− +
−
τ τ
τ τ
K
hay
2 1
2 1 τ τ
τ
τ +
<
K (9.23)
Khi
2
1
2 1
τ
τ
τ
τ +
=
K , chu tuyến ΓP sẽ đi qua điểm ổn định (−1, 0) Giá trị
2
1
2
1
τ
τ
τ
τ +
=
r
K được gọi là giá trị ranh giới Khi K càng nhỏ so với giá trị ranh
giới thì tính ổn định tương đối của hệ thống càng cao, vì vậy sự chênh lệch giữa
giá trị ranh giới K r và K có thể sử dụng để thể hiện tính ổn định tương đối Số đo
này được gọi là dự trữ gia lượng (gain margin) và được định nghĩa là nghịch đảo
của độ lớn của P(iω) tại tần số mà ở đó góc pha đạt ±180o (hay imag[P(iω)] = 0)
Trong ví dụ 9.2, dự trữ gia lượng được tính như sau:
K
K K
i P
r
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ +
=
−1 2 1
2 1
) (
1
τ τ
τ
τ
Dự trữ gia lượng còn có thể được định nghĩa dưới dạng logarit (dB):
(dB) log
20 log
20
) ( log 20 ) (
1 log 20
10 10
10 10
K K
i P i
P
r −
=
−
= ω
Như vậy, số đo dự trữ gia lượng biểu thị một hệ số mà gia lượng K của hệ thống
Trang 7có thể tăng thêm trước khi hệ thống đạt tới ranh giới của trạng thái ổn định
Một lựa chọn khác cho số đo tính ổn định tương đối được định nghĩa dưới
dạng chênh lệch góc pha giữa một hệ thống nhất định và một hệ thống nằm ở
ranh giới của trạng thái ổn định Số đo này, được gọi là dự trữ pha (phase
margin), được định nghĩa là góc pha mà hàm P(iω) phải quay đi để điểm có
|P(iω)| = 1 trùng với điểm (−1, 0) trong mặt phẳng P(iω) Số đo này biểu thị mức
chậm pha có thể thêm trước khi hệ thống trở nên không ổn định, và có thể xác
định được từ đồ thị Nyquist như trong Hình 9.7
Dự trữ gia lượng (dB) và dự trữ pha đều có thể ước lượng được từ đồ thị
Bode Đây là một thuận lợi lớn, vì việc vẽ đồ thị Bode thường là dễ dàng hơn so
với đồ thị cực Hình 9.8 thể hiện phương pháp xác định dự trữ gia lượng (dB) và
dự trữ pha của hệ thống với P(iω) như sau từ đồ thị Bode của P(iω):
) 1 2 , 0 )(
1 (
1 )
(
+ +
=
ω ω
ω
ω
i i
i i
20log 10|P(iω )| (dB)
Hình 9.8 Xác định dự trữ gia lượng và dự trữ pha trên đồ thị Bode
Dự trữ gia lượng
Dự trữ pha
Sử dụng các số đo dự trữ gia lượng và dự trữ pha, chúng ta có thể trả lời được
câu hỏi hệ thống nào ổn định hơn trong hai hệ thống được so sánh
Một câu hỏi nữa được đặt ra là các số đo trong miền tần số thực có quan hệ
như thế nào với đáp ứng nhất thời của hệ thống? Chúng ta sẽ tìm cách trả lời câu
hỏi này trong ví dụ sau bằng cách xác định mối liên hệ giữa dự trữ pha với tỷ số
cản ζ của một hệ thống vòng kín bậc hai Xem xét một hệ thống phản hồi đơn vị
âm có hàm chuyển của quá trình là:
Trang 8) 2 ( ) (
2
n
n
s s s G
ζω
ω
+
Chúng ta có được hàm chuyển của hệ thống như sau:
2 2
2
2 )
(
n n
n
s s
s T
ω ζω
ω
+ +
Các nghiệm của phương trình đặc trưng của T(s) là:
2
1 ζ ω
−
= n i n
Tiếp theo, chúng ta sẽ xác định đáp ứng tần số của P(s) = G(s)H(s):
) (
2
) ( ) 2 ( ) ( ω φ ω
ζω ω ω
ω
n
i i i
+
ở đó độ lớn của P(iω) được tính như sau:
2 2 2
2 2
2 2 4
2
4 4
) (
n
n n
n
i P
ω ζ ω ω
ω ω
ω ζ ω
ω ω
+
= +
và góc pha của P(iω) là:
n n
i i
ζω
ω ζω
ω ω
ω φ
2
arctan 2
π ) 2 ( ) ( ) ( =−∠ −∠ + =− − (9.32)
Để xác định dự trữ pha của hệ thống, chúng ta cần xác định tần số ωc ở đó độ lớn
|P(iω)| = 1:
1
4 2 2
2
2
= + n
c c
n
ω ζ ω ω
ω
(9.33)
hay:
4 2 2 2
2( c 4 n) n
ω + = (9.34) Giải phương trình (9.34), chúng ta tính được ωc:
1 4
2 2+ 4+
−
=ω ζ ζ
ωc n (9.35)
Từ đó, chúng ta tính được dự trữ pha của hệ thống:
Trang 91 4 2
2 arctan
2
1 4 2
arctan 2
π
2
arctan 2
π π
) π ( ) (
4 2
4 2
+ +
−
=
+ +
−
−
=
−
−
=
−
−
=
ζ ζ
ζ ζ
ζ ζ
ζω ω
ω φ φ
n c
c pm
(9.36)
Đồ thị của φpm khi ζ thay đổi được biểu diễn trong Hình 9.9 Chúng ta có thể
dùng xấp xỉ tuyến tính φpm = 100ζ (o) khi ζ ≤ 0,7 Xấp xỉ này cũng có thể dùng
cho các hệ thống có bậc cao hơn, nếu như đáp ứng nhất thời của hệ thống phụ
thuộc chủ yếu vào cặp nghiệm trội Ví dụ, hệ thống bậc ba với P(iω) được biểu
diễn bằng phương trình (9.26) có dự trữ pha được xác định từ đồ thị Bode trong
Hình 9.8 là 45o Khi đó, chúng ta có thể xác định được giá trị của tỷ số cản ζ của
hệ thống:
ζ
φpm (o)
Hình 9.9 Đồ thị của dự trữ pha φpm khi tỷ số cản ζ thay đổi
Chúng ta cũng có thể tính được xấp xỉ của giá trị cực đại Mp của đáp ứng nhất
thời bằng cách sử dụng công thức (5.20) dùng để tính Mp cho hệ thống bậc hai:
2 , 1
1+ π 1 2 ≅
= e−ζ −ζ
Trang 10Qua mối liên hệ giữa dự trữ pha và giá trị cực đại của đáp ứng nhất thời được
thể hiện ở trên, chúng ta có thể kết luận rằng dự trữ pha cũng có thể sử dụng như
một chỉ số để mô tả hiệu suất nhất thời của hệ thống
9.5 Đáp ứng tần số của hệ thống vòng kín
Hiệu suất nhất thời của một hệ thống phản hồi có thể ước lượng được từ đáp ứng
tần số của hàm chuyển vòng kín, nghĩa là từ đáp ứng tần số của hàm chuyển
T(iω) Trong mục trước, chúng ta đã đề cập tới điều kiện Nyquist và chỉ số dự trữ
pha, đều được định nghĩa trên hàm P(iω) = G(iω)H(iω) Một chỉ số hiệu suất
trong miền tần số nữa là độ lớn cực đại của đáp ứng tần số của hệ thống, M pω, đã
được đề cập tới ở Chương VIII Chúng ta cũng đã xác định được mối quan hệ
giữa M pω và tỷ số cản ζ của hệ thống vòng kín có hàm chuyển T(s) như ở phương
trình (9.28) bằng công thức (8.32):
2 1 khi 1
2
1
2 <
−
ζ ζ
ω
p
Vì mối quan hệ giữa M pω và tỷ số cản ζ thể hiện mối quan hệ giữa đáp ứng tần số
và đáp ứng nhất thời của hệ thống, chúng ta sẽ muốn xác định được M pω từ đồ thị
Nyquist Về ý nghĩa, điều đó cho phép chúng ta xác định đáp ứng tần số của hệ
thống vòng kín từ đáp ứng tần số của P(iω) = G(iω)H(iω), chính là hàm chuyển
vòng hở của hệ thống vòng kín
Chúng ta sẽ xem xét mối quan hệ giữa đáp ứng tần số của hệ thống vòng kín
và của hệ thống vòng hở, khi H(iω) = 1 Khi đó, hàm chuyển của hệ thống vòng
kín sẽ là:
) ( 1
) ( )
(
ω
ω ω
i G
i G i
T
+
Đặt G(iω) = u + iv, với u và v là các tọa độ trong mặt phẳng G(iω) Độ lớn của
đáp ứng tần số vòng kín được tính như sau:
2 2
2 2
) 1 ( 1
) ( ) (
v u
v u iv
u
iv u i
T M
+ +
+
= + +
+
=
= ω
Phương trình (9.41) có thể viết lại như sau:
2 2 2 2
2[(1 u) v ] u v
M + + = + (9.42) hay:
2 2 2 2
2
1 ( −M u − M u+ −M v =M (9.43) Chia cả hai vế của phương trình (9.43) cho (1 − M2), sau đó cộng [M2/(1 − M2)]2
vào cả hai vế, chúng ta có được phương trình sau:
