Phương trình hoành độ giao điểm của Cm và Ox.
Trang 1ĐỀ THI THỬ TN THPT NĂM 2010
MƠN: TỐN
Thời gian: 180 phút khơng kể thời gian giao đề
CÂU I:
Cho hàm số:y= x4 −(m2 +10)x2 +9
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ứng với m=0
2.Chứng minh rằng với mọi m≠0,đồ thị của hàm số luôn cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt Chứng minh rằng trong số các giao điểm đó có hai điểm nằm trong khoảng (-3,3) và có hai điểm nằm ngoài khoảng (-3,3)
CÂU II:
1.Giải bất phương trình : 1+ −x 1− ≥x x
2 Giải phương trình: 2 2
3
2 4 5
3.Cho tam thức bậc hai: f x( )= x2 +ax b+
Chứng minh rằng với mọi giá trị của a và b, trong 3 số f(0) , (1) , ( 1)f f − có ít nhất một số lớn hơn hoặc bằng 12
CÂU III:
Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta luôn có:
3 cos cos cos
2 2 2 sin sin sin
CÂU IV:
Cho hình lập phương ABCD A’B’C’D’ với cạnh bằng a.Giả sử M và N lần lượt là các trung điểm của BC và DD’.
1.Chứng minh rằng MN song song với mặt phẳng (A’BD)
2.Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và MN theo a
CÂU V:
1.Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 thiết lập tất cả các số có sáu chữ số khác nhau.Hỏi trong các số đã thiết lập được,có bao nhiêu số mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau?
2.Tìm họ nguyên hàm của hàm số : ( ) cot
1 sin
gx
f x
x
= +
DAP AN
CÂU I:
Cho: y = x4 – (m2 + 10)x2 + 9 (Cm)
1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m= 0
y = x4 – 10x2 + 9
• TXD: D = R
' 4 20 4 ( 5)
y = x − x= x x −
Trang 20 ' 0
5
x y
x
=
= ⇔ = ±
2 '' 12 20
'' 0
−
⇒ điểm uốn 5; 44 5; 44
• BBT:
• Đồ thị:
0
y
x x
= ⇔ = ⇔ = ±
2) Chứng minh rằng với ∀m≠0, (Cm) luôn luôn cắt Ox tại 4 điểm phân biệt trong đó có hai điểm nằm ∈(-3,3) và 2 điểm nằm ngoài (-3,3).
Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và Ox
4 ( 2 10) 2 9 0
x − m + x + = (1) Đặt t =x t2( 0)≥
Phương trình trở thành:
2 ( 2 10) 9 0
t − m + t+ = (2)
Trang 3Ta có:
∀
>
+
=
>
=
∀
>
− +
=
∆
m m
S P
m m
, 0 10
0 9
, 0 36 ) 10 (
2
2 2
⇒ 0 < t1 < t2
⇒ (1) có 4 nghiệm phân biệt
− < − < <
Đặt f(t) = 2t −(m2+10)t+9
Ta có: af(9)=81 9− m2− + = −90 9 9m2 < ∀ ≠0, m 0
0 1 9 2
2 9 ( 3;3)
2 9 2 ( 3;3) 2
x x
⇔ < < <
< ∈ −
⇔ > ⇔ ∈ −
⇔ − < − < − < < <
Vậy (Cm) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt trong đó 2 điểm ( 3,3)∈ − và 2 điểm ( 3,3)∉ − .
CÂU II:
1) Giải bất phương trình: 1+x − 1+x ≥ x
Điều kiện: 1 0 1 1
x
x x
+ ≥
− ≥
Ta có: Bất phương trình 2
x
x
2x x 1 x 1 x
⇔ ≥ + + − (*)
Xét x =0: Hiển nhiên (*) đúng
Vậy x =0 là nghiệm
Xét − ≤ ≤1 x 0: Khi đó (*) trở thành:2≤( 1+ +x 1−x)
2
4 (1 ) (1 ) 2 1
0
x
⇔ = (loại) Xét 0< ≤x 1 khi đó (*) trở thành: 2≥( 1+ +x 1−x)
⇔ ≥ ⇔ < ≤ .
Tóm lại nghiệm của bất phương trình là: 0≤ ≤x 1
2) Giải phương trình:
2
2
3
2 4 5
Đặt:
2
2 4 5
= + +
Trang 4Hiển nhiên u, v>0, x∀ và v u x− = 2 3 2+ x+ .
Khi đó phương trình trở thành:
log 2
u
v u
v = − (*) Nếu u > v thì u 1
v >
Do đó: VT= log 0
2
u
v >
VP = v-u < 0 Suy ra phương trình vô nghiệm
Nếu u < v thì 0 u 1
v
< <
Do đó:
VT = log2u 0
v <
VP = v – u > 0 Suy ra phương trinh vô nghiệm
Vậy: (*) ⇔ =u v
Nghĩa là:
2 3 2 2 4 5
2 3 2 0
⇔ = − ∨ = −
Tóm lại nghiệm của phương trình là:
x = -1, x= -2
3) Cho f(x)=x2 + ax + b Chứng minh trong 3 số | f(0) |, | f(1) |, | f(-1) | có ít nhất 1 số lớn hơn hay bằng
2
1
Dùng phương pháp chứng minh phản chứng:
Giả sử cả 3 số ( ) , (1) , ( 1)f o f f − đều nhỏ hơn 1
2 nghĩa là:
(1)
b
a b
a b
< − < <
< ⇒ − < <
− < − < − <
− < <
⇒ − < + + <
− < − + <
Trang 5(2) cộng (3) ta được : -1 < 2 + 2b < 1
2 b 2
⇒ − < < − Mâu thuẩn với (1)
Vậy có ít nhất 1 trong 3 số ( ) , (1) , ( 1)f o f f − lớn hơn hay bằng 1
2
CÂU III:
Chứng minh rằng trong mọi ∆ABC ta luôn có:
tg
2
A
+ tg
2
B
+ tg 2
C
=
C B
A
C B
A
sin sin
sin
cos cos
cos 3
+ +
+ +
+
(1)
Ta có:
2 cos cos cos 2cos cos 1 2sin
= 1 2sin cos cos 1 4sin sin sin
sin sin sin 2sin cos 2sin cos
= 2cos cos cos 4 cos cos cos
C A B− + A B+ = A B C
Do đó:
(1) 1 sin sin sin2 2 2
2 2 2 cos cos cos
tg tg tg
+
= +
sin s s sin sin s sin s sin s 1
co
⇔ + = (đúng) Vậy đẳng thức đã cho đúng
CÂU IV:
Cách 1:
Trang 6A ’ F D
C ’
B ’
A
H
O K
E
I D
B
N
1) MN//(A’BD)
Gọi E, F là trung điểm CD và A’D’
Ta có FN và ME cắt nhau tại I AD∈
// '
( ) //( ' ) //( ' ) //
FN A D
ME BD
2) khoảng cách giữa BD và MN
Ta có (A’BD)//(FIM) nên d(BD,MN)=d((A’BD),(FIM))
Vẽ AH ⊥A O'
Ta có BD AH⊥
( ' )
Gọi l là khoảng cách từ A đến (FIM),ta có:
AH Ak
= = ⇒ =l l
(( ' ),( ))
d A BD FIM
a
l Cách 2:
A ’
Z
D ’
D Y B
A
C
M X
N
Chọn hệ trục Axyz như hình vẽ Suy ra: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; a; 0), D(0; a; 0), A’(0, 0, a), B’(a;0;a), C’(a, a, a), D’(0, a, a)
Ta có:
M, N lần lượt là trung điểm của BC và DD’ nên ( , ,0)
2
a
M a và (0, , )
2
a
1) Chứng minh MN//(A’BD):
Ta có: 'uuuurA B=( ,0,a −a)
Trang 7' (0, , )
A D= a a−
uuuur Suy ra pháp véc tơ của (A’BD) là:
2 2 2 ' , ' ( , , )
n=A B A D= a a a
r uuuur uuuur
Ta có véc tơ chỉ phương của MN là:
, ,
2 2
a a
MN = − a
uuuur
Ta lại có: . 3 3 3 0
2 2
n MNr uuuur= − +a + =
//( ' )
n MN
MN A BD
⇒ ⊥
⇒
r uuuur
2) Tính khoảng cách giữa MN và BD
Gọi α là mặt phẳng chứa MN và BD
⇒ Pháp véc tơ α là: , ( 2, 2, 2)
nα =MN BD= − − −
uuur uuuur uuur
Hay nuurα =(1,1,1)
Mặt khác α qua M nên có phương trình là:
1( ) 1( ) ( 0) 0
2
a
x a− + y− + − =z
2x 2y 2z 3a 0
Vậy d(MN, BD) = ( , )
2 3
a
d Bα =
CÂU V:
1)
Số các số có 6 chữ số khác nhau là: p6=720 số
Số các số có 6 chữ số khác nhau và có số 1 và 6 ở cạnh nhau là: (2!4!).5=240 số Suy ra số các số có 6 chữ số khác nhau và có số 1 và 6 không ở cạnh nhau là:
720 -240 = 480 số
2)
Ta có:
1 sin sin (1 sin ) 1
(sin ) sin (1 sin )
(sin ) sin 1 sin
sin
ln sin ln 1 sin ln
1 sin
x
x
=
∫ +
+