Các tiếp tuyến của đường tròn tại B và C cắt nhau tại A gọi H là giao điểm của OA và BC.. a, Chứng minh rằng HB=HC.. b,Tính độ dài OH.. c, Tính dộ dài OA.. Cán bộ coi thi không được giả
Trang 1MA TRẬN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI-CẤP HUYỆN
Môn : toán 9 Năm học: 2010 - 2011
Chủ đề
MỨC ĐỘ
Tổng
Thông hiểu Vận dụng
thấp
Vận dụng cao
4
C1
3
3 7 Đại số
C2 3
C4
4
2
7
2
C6b,c 4
3
6
Tổng
1
2
5
11
2
7
8
20
Trang 2
Câu 1: (3 điểm)
Chứng minh rằng 11 1 { − { 22 2
2n chữ số n chữ số
là một số chính phương
1
1 1 (
) 1 ( 4
) 1 ( 4 )
1 ( 4
− +
+
−
−
x x
x
x x
x x
a.Tìm điều kiện của x để M có nghĩa
b.Rút gọn M
Câu 3 (4 điểm)
a Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, giá trị biểu thức
2 2
n M
+ − +
không thể là một số tự nhiên
b Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
x + y + xy− x y+ + =
Câu 4 (4 điểm).
a.Cho ba số thực không âm a, b, c thỏa mãn abc = 1
Đẳng thức xảy ra khi nào?
b.Tìm giá trị nhỏ nhất của: A = 2 1
− với 0 < x < 2
Câu6: (3 điểm) Cho đường tròn (O, 15cm) dây BC = 24cm Các tiếp tuyến của
đường tròn tại B và C cắt nhau tại A gọi H là giao điểm của OA và BC
a, Chứng minh rằng HB=HC
b,Tính độ dài OH
c, Tính dộ dài OA
Họ và tên thí sinh: Số báo danh
Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm.
PHÒNG GD&ĐT CHIÊM HOÁ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
LỚP 9 THCS - NĂM HỌC 2010-2011
MÔN THI : TOÁN
Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
ĐỀ ĐỀ XUẤT
Trang 3Câu Đáp án Thang
điểm
1
(3đ)
Đặt 11 1{ =k
n chữ số
Ta có 11 1 { − 22 2 { = k.10n + k -2k
2n chữ số n chữ số
= k(10n-1) = k.9k = (3k)2 = (33 3)2
n chữ số
Vậy 11 1 { − { 22 2
2n chữ số n chữ số
là một số chính phương
1
1
0.75
0.25
2
(4đ)
a) M có nghĩa khi: 2
1 0
x
− − >
− ≠
⇔ 1 < x < 2 hoặc x > 2
1.25
0.75 b) M
1
2 2
1 1 1
1 1
2 )
2 (
) 1 1 ( ) 1 1 (
2
2 2
−
−
−
+
− +
−
−
=
−
−
−
+
− +
−
−
=
x
x x
x x
x
x x
x x
- Với 1 < x < 2, ta có: M
x x
x x
x x
−
=
−
−
−
+
− +
−
−
=
1
2 1
2 2
1 1 1
-Với x > 2, ta có: M
1
2 1
2 2
1 1 1
1
−
=
−
−
−
+
− +
−
−
=
x x
x x
x x
0,5
0.75
0.75
3
(4đ)
a Ta có M = ( ) ( )
2
n
=( ) ( )
2
Giả sử M là số tự nhiên với mọi số tự nhiên n Suy ra:
(4n–1) M (3n–1), ∀n
⇒ (12n –3) M (3n – 1), ∀n
Mặt khác: (12n – 4) M (3n – 1 ) , ∀n
Suy ra: [(12n –3) - (12n – 4)] M (3n -1),∀n
Hay 1 M (3n – 1) , ∀n (vô lý)
Vậy M không thể là số tự nhiên (đpcm)
0.5
0.5
0.5 0.5
PHÒNG GD&ĐT CHIÊM HOÁ HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI HỌC SINH GIỎI
CẤP TỈNH LỚP 9 THCS - NĂM HỌC 2010-2011
MÔN THI : TOÁN
Trang 4b Phương trình đã cho tương đương với:
x + x y− + −y = − y
⇔ + − = − (*)
Pt (*) có nghiệm nguyên khi:
y∈Ζ, 8 – 2y2 ≥ 0
⇒ y∈Ζ và y ≤ 2
⇒ y ∈ { 0, - 1, 1, -2, 2 }
+ Với y = 0, ta có: ( x + y – 9 )2 = 8 ( loại )
+ Với y = ± 1, ta có: ( x + y – 9 )2 = 6 ( loại )
+ Với y = ± 2, ta có: ( x + y – 9 )2 = 0
- Nếu y = 2 thì x = 7 (thỏa mãn)
- Nếu y = -2 thì x = 11 (thỏa mãn)
Vậy nghiệm nguyên (x; y) cần tìm:
( 7; 2) , (11; - 2)
0.5
0.5
0.5
0.5
4
(3đ)
a Ta có: a2 – ab + b2 ≥ ab, ∀a, b ≥ 0
⇒ (a+b)( a2 – ab + b2) ≥ ab(a+b), ∀a, b ≥ 0
⇒ a3+b3+1 ≥ ab(a+b+c), ∀a, b, c ≥ 0 (vì abc = 1)
⇒ 3 3 a+b+c
c + + ≥ > , ∀a, b, c ≥ 0 (vì abc = 1)
⇒ 3 3
1 1
c
a b ≤a b c
+ + + + (1)
+ Tương tự, ta chứng minh được:
3 3
1 1
a
b c ≤a b c
+ + + + (2)
và 3 13
1
b
c a ≤a b c
+ + + + (3)
+ Cộng vế theo vế (1), (2) và (3):
1
a b +b c +c a ≤
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c =1
0.25 0.25
0.25
0.25
0.25 0.25
b Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski:
( a2 + b2 ) (x2 + y2 ) ≥ (ax +by )2
Ta có:
÷ ÷ + ÷÷ − + ≥ − + ÷÷
=> 2A ≥( 2 + 1)2 = 3 + 2 2
Suy ra: min 2A =
2
3 2 2
2
x x
x x
−
−
( )2 2
−
⇔ 2x2 =x2 − 4x+ 4
0.25
0.25
0.25
0.25
Trang 5⇔x2 + 4x+ = 4 8
( )2
x
⇔ + =x 2 8 Vì 0 < x < 2
⇔ =x 2 2 2 −
Vậy min A = 1,5 + 2 ⇔ =x 2 2 2 −
0.25
0.25
5
(6đ)
Vẽ hình, ghi Gt,kl :
a Tam giác OBC cân tại O có OH là đường phân giác của ·BOC
nên HB= HC
b OH = OB2 −HB2 = 15 2 − 12 2 =9cm
c Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam tam giác OBA
ta có OB2 = OH.OA => OA = 2 152 25( )
9
OB
cm
OH = =
1
1
2
2
NGƯỜI RA ĐỀ
Nguyễn Tiến Hải
