PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO

LỜI NÓI ĐẦUTa đã biết cách giải , giải và biện luận, so sánh nghiệm đối với phương trình bậc nhất và bậc hai.. Tuy nhiên, trong thưc tế có những bài toán để giải được chúng ta còn đưa về

LỜI NÓI ĐẦU

Ta đã biết cách giải , giải và biện luận, so sánh nghiệm đối với phương trình bậc nhất và bậc hai Tuy nhiên, trong thưc tế có những bài toán để giải được chúng

ta còn đưa về phương trình bậc ba , bốn, Phương trình có bậc lớn hơn 2,chẳng hạn : phương trình bậc 3, bậc 4 thì ta gọi chung đó là phương trình bậc cao

Phương trình bậc cao là một vấn đề thường xuất hiện trong các cuộc thi học sinh giỏi, thi đại học, cao đẳng, THCN Do đó đây là một vấn đề quan trọng Nhưng

để giải được các phương trình này, học sinh cần phải nắm được các dạng tương ứng với các cách giải cụ thể Nếu học sinh tự đọc sách, tự nghiên cứu, tìm tòi thì khó mà hình thành được các phương pháp giải một cách rõ ràng và đầy đủ các dạng toán

Trên cơ sở đó, để giúp cho các em học sinh có một nền tảng vững chắc về phương trình bậc cao Với kinh nghiệm thực tế qua quá trình giảng dạy, tôi đã đúc kết được một số dạng cùng các phương pháp giải của từng phương trình, giúp các

em định hướng giải một bài toán tốt hơn

Mong rằng chuyên đề này sẽ giúp cho các em học sinh có một kiến thức vững chắc về phương trình bậc cao để các em có thể vận dụng vào giải toán sau này Chuyên đề này chỉ xoay quanh hai phương trình là : phương trình bậc ba và phương trình bậc bốn

NỘI DUNG:

1 Sơ lươc về đa thức

2 Phương trình bậc ba (Các dạng và phương pháp giải)

3 Phương trình bậc bốn (Các dạng và phương pháp giải)

Trong mỗi phương trình đều có các dạng và các cách giải cụ thể , các ví dụ minh họa, giúp học sinh khắc sâu phương pháp giải

Sau đây là nội dung cụ thể :

PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO

I ĐA THỨC :

1) Đa thức bậc n :

 Đa thức bâc n (n nguyên dương) là biểu thức cĩ dạng :

P(x) = anxn + an-1xn-1 + + a1x + ao (an ≠ 0)

 Nếu tồn tại số thực xo sao cho P(xo) = 0 thì xo được gọi là nghiệm của P(x)

 Nếu P(x) cĩ nghiệm là xo thì ta cĩ : P(x) = (x – xo).Q(x), trong đĩ Q(x) là một

đa thức bậc n – 1

 Một đa thức bậc n cĩ nhiều nhất là n nghiệm

2) Phép chia đa thức :

 Với mọi đa thức f(x) và g(x) ( g(x) ≠ 0), tồn tại 2 đa thức Q(x) và r(x) sao cho : f(x) = Q(x).g(x) + r(x), ∀x∈R

 Trong đĩ : r(x) là dư trong phép chia

Q(x) là thương trong phép chia f(x) cho g(x), bậc r(x) bé hơn bậc Q(x)

 Nếu r(x) = 0 thì f(x) = Q(x) g(x) Ta nĩi f(x) chia hết cho g(x)

 Sơ đồ Horner :

Cho đa thức : f(x) = anxn + an-1xn-1 + + a1x + ao (an ≠ 0) Giả sử ta nhẫm được c là một nghiệm của f(x) Ta sẽ thực hiện phép chia f(x) cho (x – c) như sau :

0

bn -1 = c.an+an -1

cộng nhân

an = bn

ao

an -1

an

c

Trong đĩ : bn = an

bn – 1 = c.an + an -1

bn -2 = c.bn -1 + an -2

bo = c.b1 + a1 Khi đĩ : f(x) = (x – c)(bn.xn -1 + bn -1.xn -2 + + bo)

II PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA :

Dạng tổng quát : ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 (a ≠ 0)

1) Giải phương trình bậc ba trong vài trường hợp đặc biệt :

a) Trường hợp nhẩm trước được một nghiệm x 1 :

Chuyển (1) về dạng : (x – x1)(ax2 + mx –

1

d

x ) = 0 (2) (Số m được xác định bởi phép chia đa thức)

Giải (2) bằng cách đặt : f(x) = ax2 + mx –

1

d

x thì :

• (1) có nghiệm kép ⇔ f(x) thỏa δ = 0 hoặc f(x1) = 0

• (1) có nghiệm duy nhất ⇔ f(x) thỏa δ < 0 hoặc ( δ = 0 hoặc f(x1) = 0)

• (1) có 3 nghiệm phân biệt ⇔ f(x) thỏa δ > 0 và f(x1) ≠ 0

Ta có thể nhẩm nghiệm x 1 bằng cách :

• Dùng định lý về nghiệm hữu tỉ của đa thức

• Dùng các điều kiện về nghiệm

• Dùng : a + b + c + d = 0 ⇒ x1 = 1 hay a – b + c – d = 0 ⇒ x1 = - 1

• Dự đoán x1 (bằng kinh nghiệm) rồi thử vào (1)

• Nếu phương trình có tham số, ta viết vế trái (1) thành một đa thức theo tham số ây rồi buộc các hệ số của đa thức này bằng 0 và giải hệ ta tìm được nghiệm cần tìm

Ví dụ 1: Nhẩm một nghiệm của phương trình sau :

x3 + (m – 3)x2 – (3 + 11m)x + 28m – 4 = 0 (*)

Giải : (*) ⇔ (x2 – 11x +28)m + (x3 – 3x2 – 3x – 4) = 0

Xét hệ :

2

x 11x 28 0







Hệ trên có nghiệm x = 4 Phương pháp này chỉ cho các giá trị của x1 độc lập với m, nếu hệ trên vô nghiệm thì không có nghĩa là x1∈∅

b) Trường hợp phương trình dạng : 4x 3 – 3x = a ( a £ 1) (2)

Ta đặt : x cos

a cos



 = α

 Lúc đó (2) trở thành : 4cos

3ϕ - 3cosϕ = a ⇔ cos3ϕ = a = cosα

Từ đó tìm được ϕ và ⇒ x1 (với 0 < ϕ < π)

GHI CHÚ :

• Từ điều kiện a £ 1 có thể thay bằng điều kiện phương trình có một nghiệm thuộc [-1 ; 1] và một số phương trình khác cũng có dạng tương tự

• Phương trình : 32x3 – 6x = a (3) Ta đặt : x t

2

= thì (3) trở thành : 4t3 – 3t = a

• Phương trình : x3 – 3x = a (4) Ta đặt : x = 2t thì (3) trở thành : 4t3 – 3t = a

2

Ví dụ 2: Giải phương trình :

x3 – 3x + 4 = 0

Giải :

Ta có : x3 – 3x + 4 = 0 ⇔ x3 – 3x = - 4

Đặt : x = 2t thì x3 – 3x = - 4 ⇔ 4t3 – 3t = 1

2

Tiếp tục đặt : t = cosϕ, với 0 £ ϕ £ 180o

(*) ⇔ 4cos3ϕ - 3cosϕ = -1 ⇔ cos3ϕ = 1

2

− ⇔ 3ϕ = ±120o + k.360o (k∈Z) ⇔ ϕ = 40o + k.360o , do 0 £ ϕ £

180o

Khi đó ta chọn : ϕ1 = 40 o⇒ x1 = 2cos40o

ϕ2 = 160 o⇒ x2 = 2cos160o = -2cos20o

ϕ3 = 80 o⇒ x3 = 2cos80o = 2sinq10o

c) Định lý Viét :

i) Thuận :

Nếu x1 , x2 , x3 là 3 nghiệm của (1) thì :

1 2 2 3 3 1

1 2 3

b

a c

x x x x x x

a d

x x x

a

 + + = −











(I)

ii) Đảo : Nếu có 3 số x1, x2, x3 nghiệm đúng (I) thì chúng là 3 nghiệm phân biệt của

phương trình : X3 - b

a

− 

2 + c

aX –

d a

− 

Ví dụ 3 : Tìm x1, x2, x3 thỏa mãn hệ :

1 2 3

 + + =



 + + =







Giải :

Từ (2) ⇔ x1x2 + x2x3 + x3x1 = 3x1x2x3 (4)

Thế (3) vào (4) ta được : x1x2 + x2x3 + x3x1 = 3 (2’)

Khi đó theo định lý Viét (đảo) thì hệ gồm : (1) , (2’), (3) cho thấy x1, x2, x3 là

ba nghiệm phân biệt của phương trình :

X3 - 3X2 + 3X –1= 0 ⇔ (X – 1)3 = 0 ⇔ X = 1 Vậy : x1 = x2 = x3 = 1 hay hệ có nghiệm là : (1 ; 1 ; 1)

2) Giải phương trình bậc 3 bằng đồ thị :

a) Phương pháp tiếp tuyến : Dùng để tìm nghiệm gần đúng.

Xem phương trình bậc 3 dạng : f(x) = ax3 + bx2 + cx + d = 0 (a ≠ 0)

(*)

Giả sử tồn tại 2 số thực α, β với α < β sao cho : f(α).f(β) < 0

Ta suy ra cĩ một giá trị x1∈(α ; β) mà f(x1) = 0 hay x1 là nghiệm của (*)

b) Phương pháp đồ thị :

Bằng cách khảo sát hàm bậc 3 ta cĩ thể tìm được nghiệm của phương trình bậc 3

Bài tốn : Tìm điều kiện đối với các số thực a, b, c, d (hoặc của một tham số) để

phương trình bậc 3 : ax3 + bx2 + cx + d = 0 (1) cĩ 3 nghiệm phân biệt

Phương pháp giải : Bằng phương pháp đồ thị, ta nhận thấy rằng (1) cĩ 3

nghiệm phân biệt x1, x2, x3 khi và chỉ khi đồ thị hàm số (C) : y = f(x) = ax3 + bx2 +

cx + d cắt trục hồnh tại 3 điểm phân biệt cĩ hồnh độ x1, x2, x3 , nghĩa là (C) cĩ 2 cực trị thỏa :

yCT < 0 < yCĐ ⇒

CĐ CT

f '(x) 0 có 2 nghiệm phân biệt

=





3) Phương pháp Cacdano :

• Đưa phương trình (1) : ax3 + bx2 + cx + d = 0 (a ≠ 0) về dạng :

x3 + Bx2 + Cx + D = 0 (2) (chia 2 vế phương trình (1) cho a)

• Đặt x = y B

3

− , (2) trở thành : y3 + py + q = 0 (3)

với p = C B2

3

− và q = D BC 2B3

• Tiếp tục đặt : y = u + v, khi đĩ (3) thành : u3 + v3 + (3uv + p)(u + v) + q = 0 (4)

• Chọn uv thỏa : 3uv + p = 0, (4) thành : u3 + v3 + q = 0

(5)

• Do 3uv + p = 0 nên (5) thành : (u3)2 + qu3 –

3 p

27 = 0 (6)

• (6) là phương trình bậc hai theo u3 Từ đây ta tìm được u3 rồi u, v rồi y và cuối cùng là x

Ví dụ 4 : Dùng PP Cacdano để giải phương trình : x3 + 9x2 + 18x + 28 = 0 (1)

Giải :

• Đặt x = y – 3, khi đĩ (*) trở thành : y3 – 9y + 28 = 0 (2)

• Đặt y = u+v, (**) thành : u3 + v3 + (3uv – 9)(u + v) + 28 = 0 (3)

• Chọn uv thỏa uv = 3, khi đĩ (3) thành : (u3)2 + 28u3 + 27 = 0

⇔

3 3 3 3



= −



 = −  = −



Vậy : y = u + v = -4 ⇒ x = -7 hay (1) cĩ nghiệm x = -7

III PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN :

Là phương trình cĩ dạng : ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 (a ≠ 0) (1) Tuy nhiên ta chỉ xét các dạng đặc biệt sau đây :

1) Phương trình trùng phương :

Dạng : ax4 + bx2 + c = 0 (a ≠ 0) (2)

Cách giải : Đặt t = x2 , điều kiện t ³ 0

Phương trình (2) trở thành : at2 + bt + c = 0

Ví dụ 5: Giải pt : x4 – 13x2 + 36 = 0 (*)

Giải : Đặt t = x2 , điều kiện t ³ 0

Phương trình (*) trở thành : t2 – 13t + 36 = 0 ⇔  =t 9t 4=

Với t = 4 ⇒ x = ±2

Với t = 9 ⇒ x = ±3

2) Phương trình dạng : (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = k với :a + b = c + d và k ≠ 0

Cách giải : Đặt t = (x+a)(x+b), điều kiện : t ³ (a b)2

4

−

−

Phương trình mới : t2 + (ab – cd)t – k = 0, giải phương trình này tìm t thích hợp rồi tìm x

Ví dụ 6 : Giải phương trình : (x – 1)(x+5)(x – 3)(x + 7) = 297 (*)

Giải :

Đặt t = (x – 1)(x+5) = x2 + 4x – 5 = (x+2)2 – 9 ³ - 9

⇒ (x – 3)(x+7) = x2 + 4x – 21 = (x+2)2 – 25 = t – 16

Khi đĩ : (*) thành : t(t – 16) = 297 ⇔ t2 – 16t – 297 = 0

⇔  =tt 27 (nhận)= −11 (loại)

Với t = 27 = x2 + 4x – 5 ⇔ x2 + 4x – 32 = 0

⇔  = −x 4x= 8 là nghiệm (*)

3) Phương trình dạng : (x+a) 4 + (x+b) 4 = k , (k ≠ 0)

Cách giải : Đặt t = x + a b

2

+

Phương trình mới : t4 + 12α2t + 2α4 – k = 0 (với α = a b

2

−

)

Ví dụ 7: Giải phương trình : (x+3)4 + (x+5)4 = 16 (*)

Giải :

Đặt t = x + 4 ⇒ x = t – 4

(*) thành : (t – 1)4 + (t+1)4 = 16

⇔ [(t – 1)2 + (t+1)2]2 – 2(t – 1)2.(t+1)2 = 16

⇔ (2t2 + 2)2 – 2(t2 – 1)2 = 16

⇔ 2(t4 + 2t2 +1) – (t4 – 2t2 + 1) = 8

⇔ t4 + 6t2 – 7 = 0

⇔

2

2

t 7 (loại)

 =



= −



Với t = 1 thì x = -3

Với t = -1 thì x = -5

4) Phương trình dạng : ax 4 + bx 3 + cx 2± bx + a = 0

Cách giải : Đặt t = x 1

x

+ hoặc t = x 1

x

− , điều kiện : t ³ 2 Phương trình mới : at2 + bt + c ± 2a = 0 Giải pt này tìm t rồi tìm x

Ví dụ 8: Giải phương trình : 6x4 – 35x3 + 62x2 – 35x + 6 = 0 (*)

Giải :

Vì x = 0 khơng là nghiệm (*) nên chia 2 vế (*) cho x2, ta được :

2

2

35 6

x x

Đặt : t = x 1

x

+ , điều kiện : t ³ 2

⇒ x2 12

x

+ = t2 – 2 (*) thành : 6(t2 – 2) – 35t + 62 = 0

⇔ 6t2 – 35t + 50 = 0

⇔

10 t 3 5 t 2

 =





 =



Từ đĩ : (*) ⇔

x 3

x

x 2

=





⇔

5) Phương trình dạng : ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = 0 với  

 ÷

 

2

c d

=

a b Cách giải : Đặt t = x với d

Phương trình mới : at2 + bt + c – 2βa = 0 Giải pt này tìm t rồi tìm x

Ví dụ 9: Giải phương trình : x4 – 5x3 + 4x2 – 10x + 4 = 0 (*)

Giải :

Ta thấy

−

−

Vì x = 0 khơng là nghiệm (*) nên chia 2 vế (*) cho x2, ta được :

2

2

10 4

⇔ 2 2

x

Đặt t = x 2

x

x

(**) thành : t2 – 4 – 5t + 4 = 0 ⇔ t2 – 5t = 0 ⇔  =t 0 (loại, do điều kiện)t 5 (nhận)=

Do đĩ : (*) ⇔ x+2x = 5 ⇔ x2 – 5x + 2 = 0 ⇔ x 5 17

2

±

=

6) Phương trình dạng : a(x – 1) 2 + b(x 2 + x + 1) 2 + c(x 3 – 1) = 0

Hay dạng tổng quát : aA(x) + bB(x) + cC(x) = 0 với A(x).B(x) = C 2 (x)

Cách giải : Chia 2 vế cho B(x) = (x2 + x + 1)2 rồi đặt t = 2x 1

− + +

Phương trình mới : at2 + ct + b = 0

Ví dụ 10: Giải phương trình : (x – 1)2 + 4(x2 + x + 1)2 – 5(x3 – 1) = 0(*)

Giải :

Vì x2 + x + 1 > 0, ∀x nên chia 2 vế (*) cho (x2 + x + 1)2, ta được :

2

Đặt : t = 2x 1

− + + Khi đĩ (**) thành : t

2 – 5t + 4 = 0 ⇔ t = 1 ∨ t = 4

• Với t = 1 = 2x 1

− + + ⇔ x2 = -2 (vơ lý)

• Với t = 4 = 2x 1

− + + ⇔ 4x2 + 3x + 5 = 0, pt này vơ nghiệm vì D =

-11 < 0

Vậy pt (*) vơ nghiệm